寻找两条最大化数字和的路径

"该问题是一个典型的动态规划问题，涉及到路径规划和二维数组处理。目标是在一个N*N的方格图中找到两条路径，从左上角A到右下角B，使得路径上数字之和最大。题目给出了输入的格式和样例输出。解题的关键在于理解如何利用动态规划的状态来描述问题，并建立有效的状态转移方程来求解。" 问题详解： 这个问题的核心是找到两个人分别从左上角A到右下角B的两条最优路径，路径上可以取走正整数，要求取得的数字之和最大。由于人只能向下或向右移动，我们可以将其划分为不同的阶段，每个阶段对应于当前人所能到达的格子的行和列之和。 1. **问题建模**：定义状态`f[I][x1][x2]`表示在第`I`阶段，第一个人在第`x1`列，第二个人在第`x2`列时，两人取到的最大数值之和。因为是二维格子，所以`x1`和`x2`的范围是`1`到`N`。 2. **阶段划分**：每个阶段`I`表示两个人都位于行加列等于`I+1`的格子中。例如，在阶段`I`，两个人可能位于`x+y=I+1`的格子，其中`x`是第一人的列坐标，`y`是第二人的列坐标。 3. **状态转移**：状态转移方程描述了如何从上一阶段的状态计算当前阶段的状态。在这个问题中，我们需要考虑两个人上一步可能来自的格子，即他们可能从阶段`I-1`的`x1-1`、`x1`或`x1+1`列，以及`x2-1`、`x2`或`x2+1`列来到当前的位置。因此，状态转移方程可以表示为： `f[I][x1][x2] = max{ f[I-1][x1-1][x2], f[I-1][x1][x2-1], f[I-1][x1][x2], f[I-1][x1+1][x2], f[I-1][x1][x2+1] } + w[x1][x2]` 其中，`w[x1][x2]`表示在格子`(x1, x2)`中的数值，这将被添加到路径的和中，一旦取走，该格子的值变为0。 4. **边界条件**：对于阶段`0`，即初始状态，两个人都在第一列，所以`f[0][x1][x2]`只在`x1=x2=1`时有定义，其值等于`w[1][1]`。 5. **初始化**：所有未初始化的状态`f[I][x1][x2]`的初始值设为负无穷大，以确保在状态转移过程中，有效的路径和会被优先选取。 6. **计算结果**：最终答案是`f[N][N][N]`，即最后一个阶段的最大和。 7. **空间复杂度与时间复杂度**：状态总数是`N^3`，每次转移的时间是常数，因此总的时间复杂度是`O(N^3)`。空间复杂度也是`O(N^3)`，用于存储所有状态。 给出的参考程序中，`f`数组用来存储状态，`w`数组存储格子的数值，`n`和`m`可能是表示网格大小的变量，`i`, `j`, `k`, `s`, `x1`等变量用于遍历和计算状态。 解决此问题的关键在于理解动态规划的思想，正确地定义状态和状态转移方程，然后通过循环和数组操作来实现状态的转移，最后得到最优解。在编程实现时，需要注意边界条件的处理和优化空间使用，以减少不必要的计算和存储开销。