非卖空约束下的方差优化：理论与数值模拟

本文主要探讨了非卖空方差优化的问题，针对独立但非同分布的投资组合进行研究。在高维限制的背景下，研究假设投资组合包含的资产数量 \( N \) 和样本量 \( T \) 都很大，但资产与样本比例 \( r = \frac{N}{T} \) 保持在有限值。关键的约束条件是不允许进行空头交易。 作者们首次通过分析方法处理了这一约束优化问题，利用了来自“无序系统理论”的工具。非卖空约束在这里起到了非对称 \( \ell_1 \) 正则化的作用，它使得某些投资组合权重被设定为零，同时保持了样本外方差估计的可控制性，避免了在无正则化情况下可能出现的过度拟合现象。然而，有趣的是，当 \( r \) 达到临界值 2 时，最优投资组合权重对回报变化的敏感性会变得极度敏感，这表明禁止空头并没有完全消除问题的相变，而是将临界点从非正则化的 \( r = 1 \) 移至 2。 在 \( r = 2 \) 时，尽管样本外方差保持有限，但样本内方差会消失。文章通过数值模拟验证了理论结果，发现当 \( N/T < 2 \) 时，结果是一致的。对于对称分布的回报，有限大小样本的实验表明，当 \( r \) 超过临界点后，找到样本内方差为零的解的概率迅速增加，这在大 \( N \) 限制中成为一个显著特征。然而，这些解并不稳定，对输入参数的变化非常敏感，特别是它们在不同样本间的波动性很大。 正则化在此起到了平衡作用，它限制了最佳权重向量的垂直波动（对回报变化的响应），但无法消除水平波动（资产权重的剧烈变动）。研究还展示了在随机样本上，正则化器倾向于移除那些方差较大的资产，这符合我们的直觉和经济预期。 本文提供了一个深入理解非卖空方差优化问题的重要分析框架，揭示了约束条件如何影响优化结果以及临界点的特殊性质。这些发现对于实际投资组合管理具有理论指导意义，尤其是在处理大规模资产和数据时。