混合近似邻近点算法求解凸函数优化

"该资源是一篇2014年发表在重庆师范大学学报自然科学版的学术论文，主要探讨了一种混合近似邻近点算法，用于解决极小化两个凸函数之和的无约束优化问题。作者是陈雍梅和白富生。文章通过将邻近点算法转化为一系列子问题，利用线性模型和二次模型交替优化，最终在临近点算法框架下求得原问题的最优解。文中还包括三个算例验证算法的有效性。" 本文关注的焦点是优化理论中的一个问题，即如何极小化两个凸函数之和。这个问题在许多科学和工程领域都有应用，如机器学习、信号处理和经济学。传统的优化方法可能在处理非线性问题时遇到挑战，尤其是在函数具有复杂结构时。因此，作者提出了一种新的混合近似邻近点算法，旨在有效地解决这类问题。 邻近点算法（Proximal Point Algorithm, PPA）是优化理论中的一个重要工具，最初由B.Martinet和R.T.Rockafellar提出。PPA的基本思想是通过迭代的方式，每次寻找目标函数的一个局部最小点，然后逐步接近全局最小值。然而，对于包含多个凸函数的情况，直接应用PPA可能会变得复杂。 陈雍梅和白富生的创新之处在于他们提出的混合近似策略。他们将原问题分解为一系列子问题，每个子问题中，选择一个函数用线性模型近似，另一个函数用二次模型近似。线性模型适用于非线性程度较低的函数，而二次模型则适合处理非线性程度较高的函数。这种交替优化的方法使得算法能够在每一步迭代中同时考虑到两个函数的影响，从而更有效地逼近全局最小值。 算法的具体步骤如下： 1. 初始化：选择一个初始点x_1。 2. 迭代过程：在第k步，找到满足条件x_{k+1} = argmin_x f(x) + \frac{1}{2}\beta_k\|x - x_k\|^2的点，其中\beta_k是调整参数，用来平衡目标函数与距离项的权重。 3. 在每个子问题中，根据函数的非线性程度选择线性或二次模型进行优化。 4. 重复步骤2，直到达到预定的收敛条件。 通过这种方式，算法能够逐步收敛到原始问题的最优解。为了证明算法的可行性，作者提供了三个算例，这些实例展示了算法在实际问题中的表现，证明了算法的有效性和实用性。 这篇论文为解决无约束的多凸函数优化问题提供了一个新的途径，它结合了线性与二次模型的优点，提高了优化效率。这种方法不仅在理论上具有重要的贡献，而且在实际应用中也具有广泛的价值。