解决九宫格问题:检查排列是否满足魔方阵条件
"九宫格问题,也称为九空格问题,是经典的数学智力游戏,目标是在一个奇数乘奇数的矩阵(如3x3的九宫格)中填入1到n²的数字,使得每行、每列以及两条主对角线上的数字之和都相等。这种排列形成的矩阵被称为魔方阵。本文主要讨论了一种非递归的算法来解决此问题。 算法的核心思想是从1开始填数,初始时将1放在矩阵的中间位置(即第一行的中间单元格)。之后,每次填充下一个数字时,会尝试向左上角移动,当遇到边界时,根据边界情况进行调整: 1. 如果左上角位置超出矩阵范围(上方出界),则在最下一行的对应位置填入下一个数字。 2. 如果左上角位置的左边出界,那么在最右边的对应位置填入下一个数字。 3. 如果左上角已经有数字,那么在同一列的下一行填入下一个数字。 通过不断迭代这个过程,可以完成整个矩阵的填充。在实际实现中,使用两个变量p和q分别表示当前单元格的有效行和列下标。初始时,p和q分别为(n-1)/2(n为矩阵的边长),在填充过程中,如果p和q对应的单元格已经有数字,那么p加2,q加1,保持在同一列的下一行填充。整个算法用伪代码表示如下: ```cpp void square(int a[][n], int n) { int p = 0, q = (n - 1) / 2; a[0][q] = 1; // 在第0行中间位置填1 for (int i = 2; i <= n * n; i++) { p = (p - 1 + n) % n; // 左上角位置有效行下标 q = (q - 1 + n) % n; // 左上角位置有效列下标 if (a[p][q] > 0) { // 左上角位置已有数字 p = (p + 2) % n; // 在同一列的下一行填数字 q = (q + 1) % n; } a[p][q] = i; } } ``` 此外,为了验证填充的矩阵是否满足条件(即每行、每列、对角线的和相等),可以编写一个函数`Print`,计算每行和每列的和,并检查它们是否等于预期的总和(对于3x3的矩阵,这个和为中间数字n²的平方根,例如15对于3x3的矩阵)。如果所有行和列的和都相等,说明填充是正确的。 ```cpp void Print(int k[], int len) { int n = sqrt(len); int row_sum[n], col_sum[n]; memset(row_sum, 0, sizeof(row_sum)); memset(col_sum, 0, sizeof(col_sum)); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { row_sum[i] += k[i * n + j]; col_sum[j] += k[j * n + i]; } } for (int i = 0; i < n; i++) { if (row_sum[i] != 15 || col_sum[i] != 15) { return; // 行或列和不正确,直接返回 } } // 打印结果或其他操作 } ``` 以上就是解决九宫格问题的一种非递归算法及其验证方法。通过这个算法,我们可以生成并检查符合要求的九宫格矩阵。"
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