估计互素整数下同余方程解数的平均上界

本文主要探讨了一类同余方程解数的均值估计问题，针对给定的两个互素整数P和q，方程中的变量x满足χe=1 (mod pq)。研究的核心在于确定当整数e在特定集合内变化时，该方程解的数量T(e, n)的上界估计。这种估计在密码学领域，尤其是RSA公钥加密体制的安全性分析中具有重要意义，因为它涉及到方程pe = P (mod n)，其中0 < p < n，不动点个数的研究。 文中首先引入了几个关键的引理来支持研究： 1. 引理1阐述了如果一个多项式在模m和模mi (i ≠ j)下的解的个数分别为T和1'i，那么解的总数可以通过它们的乘积得到。 2. 引理2着重于欧拉函数ψ(n)，它在判断同余方程Xk = a (mod n)是否有解及其解的个数上起到决定性作用。当n是不同质因数的乘积时，ψ(n)给出了具体公式。 3. 引理3指出，对于素数p，存在原根g模p。 4. von Mangoldt函数A(d)的定义被用来表示自然数n的素因子分解中的素数个数。 5. 引理5给出了π(x)，即不超过x的素数个数的大致上界，表明存在常数a使得素数数量增长速度可以近似表示。 作者于秀源教授基于这些引理，对所考虑的同余方程解数的统计性质进行了深入研究，给出了T(e, n)的上界估计，这不仅有助于理解同余方程解的分布规律，也对RSA加密算法的分析提供了重要的数学工具。研究结果可能在数论和密码学理论中具有广泛的应用价值，尤其是在处理公钥加密系统的安全性评估时。最后，论文还提到了国家自然科学基金项目和浙江省自然科学基金项目的资助，以及作者的学术背景和研究兴趣。