求下列同余方程的解数:-① x^2=-2(mod 67);-|||-② x^2=2(mod 67);-|||-③ x^2=-2(mod 37) ;-|||-④ x^2=2(mod 37)
时间: 2024-06-15 22:06:02 浏览: 7
对于同余方程,我们可以使用模运算的性质求解。首先,我们需要找到模数的平方根的候选解,然后验证这些候选解是否满足同余方程。
对于① x^2=-2(mod 67),我们可以先找到模数67的平方根的候选解。由于67是一个质数,我们可以使用费马小定理来简化计算。根据费马小定理,如果p是一个质数且a不是p的倍数,则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。因此,我们可以计算出2^33 ≡ 1 (mod 67)。然后,我们可以得到候选解为x ≡ ±2^17 (mod 67)。进一步计算,得到x ≡ ±13107 (mod 67)。因此,同余方程的解为x ≡ 13107 或 x ≡ -13107 (mod 67)。
对于② x^2=2(mod 67),同样地,我们可以先找到模数67的平方根的候选解。根据费马小定理,我们可以计算出2^33 ≡ 1 (mod 67)。然后,我们可以得到候选解为x ≡ ±2^16 (mod 67)。进一步计算,得到x ≡ ±65536 (mod 67)。因此,同余方程的解为x ≡ 65536 或 x ≡ -65536 (mod 67)。
对于③ x^2=-2(mod 37),我们可以先找到模数37的平方根的候选解。由于37是一个质数,我们可以使用费马小定理来简化计算。根据费马小定理,我们可以计算出2^18 ≡ 1 (mod 37)。然后,我们可以得到候选解为x ≡ ±2^9 (mod 37)。进一步计算,得到x ≡ ±512 (mod 37)。因此,同余方程的解为x ≡ 512 或 x ≡ -512 (mod 37)。
对于④ x^2=2(mod 37),同样地,我们可以先找到模数37的平方根的候选解。根据费马小定理,我们可以计算出2^18 ≡ 1 (mod 37)。然后,我们可以得到候选解为x ≡ ±2^9 (mod 37)。进一步计算,得到x ≡ ±512 (mod 37)。因此,同余方程的解为x ≡ 512 或 x ≡ -512 (mod 37)。
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