相平面法解析：负阻尼运动与系统响应

"负阻尼运动-第7章--相平面法" 相平面法是一种分析非线性控制系统响应性能的重要工具，特别适用于研究二阶或一阶动态系统。它通过将状态变量绘制在相平面上，形成相轨迹，从而揭示系统的运动规律。在描述负阻尼运动时，相轨迹表现为对数螺旋线，但与正阻尼情况不同，其运动趋势是振荡发散，这样的奇点被称为不稳定的焦点。 在二阶线性控制系统中，状态变量可以是任意一组能够完全表征系统状态的变量，比如输出量y(t)和输入量c(t)，或者误差信号e(t)和输出量y(t)。状态变量之间的关系通常由微分方程定义。例如，对于二阶系统，如果输出响应y(t)和其导数c(t)满足微分关系，它们就可以作为相变量。值得注意的是，状态变量和相变量的选择不是唯一的，但它们必须满足导数关系。 相平面图由相轨迹构成，这些轨迹展示了系统随着时间变化的行为。在图7-28中，相轨迹的运动方向显示了负阻尼运动的振荡发散特性。通过观察相轨迹，我们可以分析出系统的动态特性，如最大超调量、延迟时间、上升时间、峰值时间和调节时间等关键时域指标。 相平面法的核心是将常微分方程转化为相轨迹方程，通过积分求解得到相轨迹表达式。对于线性系统，相轨迹的形状和性质由特征方程的根决定。特征方程的根可以是实数或复数，它们决定了系统的稳定性。如果根为负实数，系统呈现稳定状态；若为共轭复数，则可能表现为正弦或余弦振荡；而负阻尼情况下，根为正实数，导致不稳定的振荡行为。 例如，二阶系统的微分方程可以写为二阶常微分形式，通过变换为相坐标，可以更直观地理解系统动态。相轨迹在这个坐标系中的行为提供了关于系统响应的丰富信息，包括系统如何从初始条件演变到最终稳定状态，以及在此过程中可能出现的各种动态行为。 总结来说，相平面法是一种强大的分析工具，它以图形化的方式揭示非线性系统尤其是二阶和一阶系统的行为。通过研究相轨迹，工程师可以深入理解系统的动态特性，优化控制策略，改善系统性能。对于负阻尼系统，相平面法帮助识别不稳定行为，为系统设计提供关键指导。