Manacher算法详解：高效求解最长回文子串

"Manacher算法是解决寻找最长回文子串问题的一种高效算法，具有线性时间复杂度O(N)。该算法通过巧妙处理字符串，将奇数和偶数长度的回文串统一考虑，以便更有效地查找回文串。" Manacher算法的核心在于构建一个辅助数组P，其中P[i]表示以字符Str[i]为中心的最长回文串的半径。P数组的初始化是基于回文串的基本性质，即每个字符至少可以形成一个长度为1的回文串（自身）。 在处理字符串时，Manacher算法会在每个字符之间插入一个不包含在原串中的分隔符，例如'#'，使得所有回文串都可以看作是以分隔符为中心的奇数长度回文串。这样做的好处是可以简化判断回文串的过程，并且在处理回文串的奇偶性时更加灵活。 算法的优化之处在于它利用了回文串的对称性，当计算P[i]时，可以借鉴已知的回文串信息，如P[j]，其中j为i的镜像位置，即j = 2 * id - i，id是当前已知的最远回文串的右边界。如果i位于已知回文串的范围内，那么可以避免重复计算，直接更新P[i]。这种优化大大减少了计算量，使得时间复杂度降为线性。 以下是Manacher算法的大致伪代码： ```python def manacher(s): # 插入分隔符，构建新串 t = '#' + '#'.join(s) + '#' n = len(t) p = [0] * n max_id = 0 for i in range(n): # 利用已知回文串信息 if i < max_id and p[2 * (max_id - i)] < i - max_id: p[i] = min(p[2 * (max_id - i)], i - max_id) else: p[i] = 1 j = i - 1 while 0 <= j < n and t[i - j - 1] == t[i + j]: p[i] += 2 j += 1 # 更新最大回文串的右边界 if i + p[i] > max_id: max_id = i + p[i] # 最长回文子串半径对应的原始字符串下标 max_len = max(p) center = p.index(max_len) return s[(center - max_len) // 2 : (center + max_len) // 2] ``` 这个算法在处理回文串问题时非常有效，尤其是在输入字符串长度较大的情况下，它能显著提高求解最长回文子串的效率，避免了传统方法中O(N^2)的时间复杂度。在实际编程竞赛和面试中，Manacher算法是一个值得掌握的工具，尤其是在字符串处理和算法优化方面。