Manacher算法:O(n)解决回文子串问题
Manacher算法是一种高效的求解字符串中回文子串问题的算法,其时间复杂度达到O(n),相比于朴素的O(N^2)方法,具有显著的优势。回文子串是指一个字符串无论正读还是反读都相同的子串,如"level"或"noon"。 回文串的求解通常涉及到奇偶性判断,因为奇数长度的回文(如aba)和偶数长度的回文(如abba)处理方式不同。Manacher算法通过一个巧妙的策略简化了这个问题,它通过在原字符串中添加特殊的分隔符(如'#'或'$'),将所有回文子串转换为奇数长度,例如: 原始字符串:abaab 转换后的字符串:#a#b#a#a#b# 算法的核心是维护一个辅助数组P,其中P[i]表示以字符串中第i个字符为中心的最长回文子串半径。初始时,P[i]设置为1,表示单个字符本身就是回文串。随着算法的推进,P[i]的值会逐渐更新,反映更长的回文子串。 算法的证明主要基于以下两点: 1. P[i]的值表示新串中以Str[i]为中心的最长回文串长度的一半加1,即L=2*P[i]-1。 2. 回文串在新串中是以'#'字符对称的,所以去掉最外层的'#'后,剩余部分的长度恰好是原串长度的两倍,即原串长度为(L-1)/2,从而得出P[i]-1即为原串中回文子串的实际长度。 Manacher算法使用动态规划的思想,通过已知的回文信息来推断未知的,避免了重复计算。具体步骤包括初始化P数组,然后从左到右扫描输入字符串,根据已计算出的P数组值更新P[i],并在过程中记录回文子串的边界。最终,P数组中的最大值减去1,就得到了原字符串中最长的回文子串的长度。 总结来说,Manacher算法是一个优化的解决方案,利用了字符串的对称性,使得求解回文子串问题变得更为高效,特别是在处理大量数据时,其性能优势明显。对于编程实现者而言,理解和掌握这种算法技巧是解决回文相关问题的关键。
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