连续时间系统分析：微分积分性质与经典法

"郑君里的《信号与系统引论》课件，主要讲解了连续时间系统的时域分析，特别是关于二微分积分的性质。" 在《信号与系统引论》中，第二章“连续时间系统的时域分析”深入探讨了如何在时域内对系统进行分析，这是学习各种变换域方法的基础。时域分析方法直接处理系统的微分和积分方程，具有直观且物理意义清晰的优点。在本课程中，主要关注输入输出描述法，即通过一元n阶微分方程来描述系统。 系统分析通常包括以下几个步骤： 1. 建立系统数学模型：基于元件特性和网络拓扑约束，如电路中的电阻、电容和电感的伏安关系，以及基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。 2. 列写微分方程：例如，一个RCL并联电路可以得到一个二阶微分方程，用于描述端电压v(t)与激励is(t)之间的关系。 3. 解微分方程：这里介绍了经典法，它在电路分析中已经有所涉及，但对于与激励函数相关的响应仍有待解决。另一种方法是卷积积分法，它通过冲激响应来求解任意激励下的零状态响应。 卷积积分法是解决线性时不变系统问题的关键工具，它指出任意激励下的零状态响应可以通过系统的冲激响应来计算。这一性质使得即使面对复杂的激励信号，也能通过已知的系统响应模板来求解问题。卷积积分法相比于经典法，提供了一种更简便的求解方式。 举例来说，一个二阶微分方程可以用来描述包含电阻、电感和电容的电路。通过应用元件特性（如欧姆定律和法拉第电磁感应定律）和网络约束（KCL和KVL），我们可以建立描述电路动态行为的微分方程。然后，通过解这个微分方程，可以找到系统的响应函数，如电压或电流随时间的变化。 这一部分的学习旨在掌握如何利用微分积分性质和时域分析方法解决连续时间系统的动态问题，特别是在电路理论中的应用。这不仅需要理解微分方程的基本理论，还需要熟悉元件特性和网络约束条件，以及如何将这些知识应用于实际问题中。通过深入理解和熟练运用这些方法，可以为后续的变换域分析打下坚实的基础。