清华大学《现代科学计算》课后答案解析

"《现代科学计算》清华大学出版社-课后答案，包括高等数值分析的相关习题解答和提示。" 在《现代科学计算》一书中，涉及的高等数值分析内容主要体现在矩阵的存储优化、对称正定矩阵的分解以及特征值问题的求解等方面。以下是对这些知识点的详细说明： 1. **稀疏矩阵存储优化**：对于某些矩阵，如在科学计算中常见的大型稀疏矩阵，只存储下三角及对角线元素是一种有效的内存优化策略。这是因为许多实际问题产生的矩阵非零元素相对较少，这种存储方式可以大大减少存储需求，提高计算效率。 2. **对称正定矩阵的Cholesky分解**：对于对称正定矩阵A，可以进行Cholesky分解，即\( A = LL^T \)，其中L是一个下三角矩阵。这种分解在数值线性代数中有广泛应用，例如求解线性方程组。在本题中，利用Cholesky分解，可以简化计算并优化求解过程。 3. **LUD分解**：LUD分解是将矩阵A分解为\( LUD = A \)，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，D是对角矩阵。这里提到了\( LDL^T \)分解，它是LUD的一种特殊情况，适用于对称正定矩阵。通过这种分解，可以求解线性方程组，同时用于判断矩阵的正定性。 4. **特征值问题**：题目中提到了计算区间[a, b]内矩阵A特征值的个数。对于矩阵\( A - \lambda I \)，如果其\( LDL^T \)分解中的对角矩阵D的所有对角元素\( d_j \)满足\( d_j > 0 \)，则\( \lambda \)不是矩阵A的特征值。通过比较\( A - aI \)和\( A - bI \)的分解中非零对角元素的个数，可以确定特征值的个数。 5. **二分法求解特征值**：当直接方法难以求解时，可以采用二分法来寻找矩阵的特征值。通过不断缩小区间，直到满足一定的精度要求，可以找到近似的特征值。 6. **Householder变换**：Householder变换是一种用于对向量进行反射操作的线性变换，常用于QR分解。在本题中，它被用来处理n-1阶向量，通过Householder变换可以简化矩阵的形式，为后续计算提供便利。 这些知识点在现代科学计算中具有重要价值，尤其是在解决大规模数值问题时，高效的矩阵运算和优化策略是必不可少的工具。通过理解和掌握这些概念，能够更好地应用于实际的工程计算和科学研究中。