"拟NEWTON方程-研究生最优化方法课件"
这篇课件主要介绍了拟牛顿法这一优化方法,它是非线性优化中的一个重要技术,特别是在研究生层次的最优化课程中被广泛讲解。拟牛顿法是牛顿法的一种变体,旨在解决牛顿法在实际应用中遇到的问题,例如需要计算Hessian矩阵的逆,这在高维问题中可能会非常复杂和昂贵。
拟牛顿法的核心思想是对牛顿法的迭代公式进行近似,以避免直接计算Hessian矩阵的逆。在牛顿法中,如果目标函数是二次的,那么Hessian矩阵是精确已知的,迭代公式可以写为\( x_{k+1} = x_k - H_k^{-1} g_k \),其中\( H_k \)是Hessian矩阵,\( g_k \)是梯度向量。然而,对于非二次函数,Hessian矩阵可能不可逆或难以计算。
在拟牛顿法中,引入了一个近似的Hessian矩阵逆,记作\( H_k^{-1} \),通常称为拟Hessian矩阵。这个近似是通过一系列的迭代步骤逐步形成的,目的是使迭代过程能够逼近牛顿法的轨迹。具体来说,课件提到了一种构建拟Hessian矩阵的方法,即使用泰勒展开:
\[ g_k \approx g_{k+1} + G_{k+1}(x_k - x_{k+1}) \]
当\( G_{k+1} \)非奇异时,有\( G_{k+1}^{-1} y_k \approx s_k \),其中\( s_k = x_{k+1} - x_k \)是搜索方向,\( y_k = g_{k+1} - g_k \)是梯度差。为了实现这种近似,使用\( H_{k+1} \)来代替\( G_{k+1}^{-1} \),从而得到拟牛顿方程:
\[ H_{k+1} y_k = s_k \]
这种方法的优点在于,它可以避免直接计算Hessian矩阵的逆,而只需要估计Hessian的信息,从而简化了计算过程,适合于处理大规模的优化问题。
课件还概述了最优化方法的基本内容和学习方法。最优化是一门涵盖了广泛领域的学科,包括经典方法如线性规划、非线性规划等,以及现代方法如随机规划、模拟退火算法等。学习最优化方法不仅需要理解和掌握理论,还要通过实践来提升数学建模和解决实际问题的能力。推荐的参考书籍提供了深入学习最优化方法的路径,包括线性规划、无约束和约束最优化的具体方法。
在实例部分,课件给出了运输问题的例子,展示了如何将实际问题转化为数学模型,然后通过最优化方法求解最小化成本的调运方案。这样的例子有助于学生理解最优化方法在实际生活和工业问题中的应用。