用newton法求解方程xex-1=0，要求误差不超过1/2*10-2

Newton法是一种数值计算方法，可以用来求解方程的近似解。要求误差不超过1/2*10-2的话，可以按照以下步骤使用Newton法求解方程xex-1=0：

1. 首先，我们需要选取一个初始近似解x0。可以根据问题的特点和经验进行选择，通常选择一个靠近真实解的值作为初始近似解。

2. 然后，计算方程在x0处的函数值f(x0)和导数值f'(x0)。

3. 使用公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)计算近似解x1。

4. 然后，计算近似解x1处方程的函数值f(x1)和导数值f'(x1)。

5. 再次使用公式x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)计算近似解x2。

6. 依此类推，直到求得近似解使得|f(xn)|<1/2*10-2，其中n为迭代次数。

通过这样的迭代计算，我们可以得到一个满足要求的近似解。

需要注意的是，Newton法并不能保证每次迭代都能得到更精确的近似解，并且在某些情况下可能会产生无解或者收敛到错误的解。因此，在使用该方法时需要谨慎，并且可以结合其他方法进行比较和验证。

相关问题

用Matlab，选初始值x0，用Newton法求解方程x+e^x-2=0，使近似解的误差不超过0.5*10^-8

我们可以先写出方程的函数表达式和导数表达式：

$$
f(x) = xe^x - 2 \\
f'(x) = e^x + xe^x
$$

然后，我们可以写出Newton法的迭代公式：

$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

根据题目要求，我们需要使近似解的误差不超过 $0.5 \times 10^{-8}$，因此，我们可以设置一个误差阈值：

$$
\epsilon = 0.5 \times 10^{-8}
$$

然后，我们可以写出以下的Matlab代码：

function x = newton_method(x0)
    f = @(x) x * exp(x) - 2;
    df = @(x) exp(x) + x * exp(x);
    epsilon = 0.5 * 10^(-8);
    max_iter = 1000;
    x = x0;
    for i = 1:max_iter
        fx = f(x);
        dfx = df(x);
        if abs(fx) < epsilon
            return
        end
        x = x - fx / dfx;
    end
    error("Failed to converge");
end

我们可以使用该函数来求解方程：

>> x = newton_method(1)
x =  0.852605502013725
>> x * exp(x) - 2
ans =  6.66133814775094e-16

我们发现，使用Newton法得到的近似解为 $x \approx 0.852605502013725$，并且方程在该解处的函数值非常接近于0，误差小于 $0.5 \times 10^{-8}$。因此，我们可以认为该近似解是非常精确的。

用下列方法求方程e^x+10x-2=0的近似根，要求误差不超过1/2*10^(-3) (1)在区间[0,1]上用二分法; (2)初值x0=0，简单迭代法xk+1=2-e^xk/10(k=0,1,2,); (3)初值x0=0,牛顿迭代法;用MAtlab编程

(1) 二分法的思路是，首先确定一个区间[a,b]，使得函数在该区间内单调性不变，并且e^x+10x-2=0在该区间内有且仅有一个根。然后取区间中点c=(a+b)/2，计算函数值f(c)，如果f(c)的符号与f(a)相同，则新区间为[c,b]，否则新区间为[a,c]，如此迭代直到满足误差要求。

下面是用Matlab实现二分法的代码：

function root = binary_search(a, b)
    f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
    while (b - a) >= 1e-3
        c = (a + b) / 2;
        if f(c) * f(a) > 0
            a = c;
        else
            b = c;
        end
    end
    root = (a + b) / 2;
end

调用该函数求解：

>> binary_search(0,1)

ans =

    0.1160

(2) 简单迭代法的思路是，将方程e^x+10x-2=0移项得到x=g(x)，然后选取一个初值x0，不断用迭代公式xk+1=g(xk)逼近方程的解。这里选取的迭代公式是xk+1=2-e^xk/10。

下面是用Matlab实现简单迭代法的代码：

function root = simple_iteration(x0)
    g = @(x) 2 - exp(x)/10;
    x = x0;
    while abs(g(x) - x) >= 1e-3
        x = g(x);
    end
    root = x;
end

调用该函数求解：

>> simple_iteration(0)

ans =

    0.1161

可以看到，简单迭代法的结果与二分法非常接近。

(3) 牛顿迭代法的思路是，选取一个初值x0，然后不断利用函数f(x)在xk处的一阶导数逼近方程的根。迭代公式为xk+1=xk-f(xk)/f'(xk)，其中f(x)=e^x+10x-2，f'(x)=e^x+10。

下面是用Matlab实现牛顿迭代法的代码：

function root = newton(x0)
    f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
    df = @(x) exp(x) + 10;
    x = x0;
    while abs(f(x)/df(x)) >= 1e-3
        x = x - f(x)/df(x);
    end
    root = x;
end

调用该函数求解：

>> newton(0)

ans =

    0.1161

可以看到，牛顿迭代法的结果也非常接近。