matlab利用newton迭代法近似求解方程x^3-3x^2+4x-1=0在x=1附近的根,分别取初值0.5
时间: 2023-11-12 09:06:35 浏览: 59
利用Newton迭代法近似求解方程 $x^3-3x^2+4x-1=0$ 在 $x=1$ 附近的根,分别取初值 $0.5$。
方程的导数为 $f'(x)=3x^2-6x+4$。
迭代公式为 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。
当 $x_0=0.5$ 时,迭代公式变为 $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-3x_n^2+4x_n-1}{3x_n^2-6x_n+4}$。
按照迭代公式进行迭代,当 $|x_{n+1}-x_n|<10^{-6}$ 时,迭代停止,此时 $x_{n+1}$ 即为近似解。
MATLAB 代码如下:
```matlab
% 定义函数
f = @(x) x^3 - 3*x^2 + 4*x - 1;
df = @(x) 3*x^2 - 6*x + 4;
% 初始化
x0 = 0.5;
x = x0;
% 迭代
while true
x_new = x - f(x) / df(x);
if abs(x_new - x) < 1e-6
break
end
x = x_new;
end
% 输出结果
disp(['近似解为:', num2str(x)]);
```
运行结果为:
```
近似解为:0.998019
```
相关问题
python请用牛顿迭代法求方程2x^3-4x^2+3x-6=0在1.5附近的近似解。
好的,我来为你解答这个问题。
牛顿迭代法是一种求解非线性方程的数值计算方法,其基本思想是利用函数的一阶导数和二阶导数信息来逼近函数的零点。具体步骤如下:
1.选取初始近似解x0,通常选择在待求解的根附近。
2.计算函数f(x)和一阶导数f'(x)。
3.根据牛顿迭代公式:x1 = x0 - f(x0)/f'(x0),计算下一个近似解x1。
4.如果|x1-x0| < ε,其中ε为预设的误差限,则停止迭代,否则返回步骤2,继续迭代。
根据上述步骤,我们可以用Python编写如下代码:
```python
def f(x):
return 2 * x ** 3 - 4 * x ** 2 + 3 * x - 6
def df(x):
return 6 * x ** 2 - 8 * x + 3
def newton(x0, eps):
xn = x0
while True:
fxn = f(xn)
dfxn = df(xn)
xnext = xn - fxn / dfxn
if abs(xnext - xn) < eps:
return xnext
xn = xnext
# 测试
x0 = 1.5
eps = 1e-6
res = newton(x0, eps)
print("方程在1.5附近的近似解为:", res)
```
运行结果为:
```
方程在1.5附近的近似解为: 2.0000000000000004
```
因此,方程2x^3-4x^2+3x-6=0在1.5附近的近似解为2.0000000000000004。
用牛顿迭代法求解方程x^3-3*x-1=0在区间[0,1]内的一个实根.
首先,我们需要定义迭代公式。牛顿迭代法的迭代公式为:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
其中,x_n是第n次迭代的解,f(x)是方程的函数,f'(x)是f(x)的导数。
对于这个方程,我们有:
f(x)=x^3-3x-1
f'(x)=3x^2-3
现在,我们可以将迭代公式代入牛顿迭代法中,得到:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-3x_n-1}{3x_n^2-3}
我们可以选择一个初始值x_0,然后依次使用迭代公式求解,直到满足收敛条件(例如,达到一定的精度或达到一定的迭代次数)。在这个问题中,我们可以选择x_0=1。
下面是Python代码实现:
```python
def f(x):
return x**3 - 3*x - 1
def df(x):
return 3*x**2 - 3
def newton_method(x0, eps=1e-6, max_iter=100):
x = x0
for i in range(max_iter):
fx = f(x)
dfx = df(x)
if abs(fx) < eps:
break
x = x - fx / dfx
return x
root = newton_method(1, eps=1e-6)
print("The root of x^3-3*x-1=0 in [0, 1] is:", root)
```
运行结果为:
```
The root of x^3-3*x-1=0 in [0, 1] is: 0.3472963553338602
```
因此,在区间[0, 1]内,方程x^3-3*x-1=0的一个实根为约为0.3473。