用牛顿法求解方程x=e^-x在x0=0.5附近的根

牛顿法（Newton's method）是一种常用的数值优化方法，可以用于求解非线性方程的根。对于给定的函数 $f(x)$，牛顿法通过不断迭代来找到使 $f(x)=0$ 的解，具体方法如下：

1. 选择一个初始点 $x_0$，计算 $f(x_0)$ 和 $f'(x_0)$。
2. 计算下一个迭代点 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。
3. 重复步骤 2，直到满足终止条件为止。

对于给定的方程 $x=e^{-x}$，我们可以将它转化为 $f(x)=x-e^{-x}=0$ 的形式，然后使用牛顿法求解它的根。下面是一个简单的 Python 代码实现：

import math

# 牛顿法求解方程根
def newton_method(f, f_prime, x0, eps=1e-6, max_iter=100):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        fx = f(x)
        if abs(fx) < eps:
            break
        fp = f_prime(x)
        if abs(fp) < eps:
            break
        x = x - fx / fp
    return x

# 测试
f = lambda x: x - math.exp(-x)
f_prime = lambda x: 1 + math.exp(-x)
root = newton_method(f, f_prime, 0.5)
print(root)

这段代码实现了牛顿法的迭代过程，并使用给定的函数和初始点进行了求解。其中，输入参数 f 和 f_prime 分别表示函数和它的导函数，x0 表示初始点，eps 表示终止条件的精度，默认为 $10^{-6}$，max_iter 表示最大迭代次数，默认为 100。输出的 root 表示求解得到的方程根。

在上面的测试中，我们使用初始点 $x_0=0.5$ 进行求解，得到的方程根为 $0.56714329$。可以验证，将这个根代入原方程中，得到的结果非常接近 0，说明求解的结果比较准确。