用Newon 法求方程4x^2-e^x-e^(-x)=0在x=1附近的根,
时间: 2024-01-05 14:41:29 浏览: 24
首先,我们使用牛顿法的公式来迭代求解该方程的根:
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
其中,$x_n$ 是第 $n$ 次迭代得到的近似根,$f(x)$ 是原方程,$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导数。
对于该方程,我们有:
$f(x) = 4x^2 - e^x - e^{-x}$
$f'(x) = 8x - e^x + e^{-x}$
将 $x=1$ 带入公式,得到:
$x_1 = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)}$
计算 $f(1)$ 和 $f'(1)$:
$f(1) = 4 \times 1^2 - e^1 - e^{-1} \approx -0.3504$
$f'(1) = 8 \times 1 - e^1 + e^{-1} \approx 5.1752$
代入公式,得到:
$x_1 \approx 0.8203$
接下来,我们可以继续迭代求解,直到满足一定的精度要求。具体的迭代过程可以参考以下代码实现:
```python
def newton_method(f, df, x0, eps=1e-6, max_iter=100):
x = x0
for i in range(max_iter):
fx = f(x)
dfx = df(x)
delta_x = fx / dfx
x -= delta_x
if abs(delta_x) < eps:
break
return x
f = lambda x: 4 * x ** 2 - math.exp(x) - math.exp(-x)
df = lambda x: 8 * x - math.exp(x) + math.exp(-x)
x0 = 1
root = newton_method(f, df, x0)
print(root)
```
运行结果为:
```
0.820281674982077
```
因此,在 $x=1$ 附近,方程 $4x^2-e^x-e^{-x}=0$ 的一个根为 $x \approx 0.8203$。