(4x^2-x^4)dx
时间: 2023-11-13 09:35:03 浏览: 76
可以使用不定积分法来解决这个问题。首先,将多项式改写为 $x^4-4x^2$, 然后进行分解,得到:
$$\int (x^4-4x^2) dx = \int x^4 dx - \int 4x^2 dx$$
分别对两个不定积分进行求解:
$$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}+C_1$$
$$\int 4x^2 dx = \frac{4x^3}{3}+C_2$$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是常数项。将两个不定积分的结果代入原式,得到:
$$\int (x^4-4x^2) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + C$$
其中 $C=C_1+C_2$ 是常数项。因此,原式的不定积分为 $\frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + C$。
相关问题
1/(4x^2-1)的高阶导数
好的,让我来帮你计算一下。我们可以使用泰勒公式,将函数展开成无限幂级数的形式,然后求出其高阶导数。具体地,我们有:
1/(4x^2-1) = 1/2 * [1/(2x-1) - 1/(2x+1)]
将每一个分式展开成泰勒级数,得到:
1/(2x-1) = ∑[2n!/(n!)^2] * (x-1/2)^n / 2^n
1/(2x+1) = ∑[(-2)^n * 2n!/(n!)^2] * (x+1/2)^n / 2^n
将上面两个级数代入到原函数的式子当中,得到:
1/(4x^2-1) = ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (x-1/2)^n - ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (x+1/2)^n
对这个式子求高阶导数,我们需要用到二项式定理,得到:
d^n/dx^n [1/(4x^2-1)] = ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (-1)^n * (n choose k) * (x-1/2)^(n-k) * (x+1/2)^k
其中,(n choose k) 是组合数,表示从 n 个元素中选出 k 个元素的不同组合方式数目。
希望这个答案能够帮助你解决问题!
-4xe^(-1/4x) - 16e^(-1/4x) + C从0到正无穷的积分
首先,将该积分拆分成两个部分,即:
∫(-4xe^(-1/4x) - 16e^(-1/4x))dx = ∫-4xe^(-1/4x)dx - ∫16e^(-1/4x)dx
对于第一个积分,我们可以使用分部积分法。设 u = -4x,dv = e^(-1/4x)dx,则 du/dx = -4,v = -4e^(-1/4x),则有:
∫-4xe^(-1/4x)dx = (-4x)(-4e^(-1/4x)) - ∫-4e^(-1/4x)(-4)dx
= 16xe^(-1/4x) + 16e^(-1/4x) + C1
对于第二个积分,我们可以使用换元法。令 u = -1/4x,则 du/dx = -1/4,dx = -4du,于是有:
∫16e^(-1/4x)dx = -64∫e^udu
= -64e^(-1/4x) + C2
将两个积分的结果合并,得到:
∫(-4xe^(-1/4x) - 16e^(-1/4x))dx = 16xe^(-1/4x) + 16e^(-1/4x) - 64e^(-1/4x) + C
= 16xe^(-1/4x) - 48e^(-1/4x) + C
最后,对该积分在区间 [0, +∞) 上进行计算,即取极限:
lim(x->+∞) [16xe^(-1/4x) - 48e^(-1/4x)] - [16xe^(-1/4x) - 48e^(-1/4x)] = -48
因此,原积分的结果为 -48。