(4x^2-x^4)dx

可以使用不定积分法来解决这个问题。首先，将多项式改写为 $x^4-4x^2$, 然后进行分解，得到：

$$\int (x^4-4x^2) dx = \int x^4 dx - \int 4x^2 dx$$

分别对两个不定积分进行求解：

$$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}+C_1$$

$$\int 4x^2 dx = \frac{4x^3}{3}+C_2$$

其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是常数项。将两个不定积分的结果代入原式，得到：

$$\int (x^4-4x^2) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + C$$

其中 $C=C_1+C_2$ 是常数项。因此，原式的不定积分为 $\frac{x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + C$。

相关问题

1/(4x^2-1)的高阶导数

好的，让我来帮你计算一下。我们可以使用泰勒公式，将函数展开成无限幂级数的形式，然后求出其高阶导数。具体地，我们有：

1/(4x^2-1) = 1/2 * [1/(2x-1) - 1/(2x+1)]

将每一个分式展开成泰勒级数，得到：

1/(2x-1) = ∑[2n!/(n!)^2] * (x-1/2)^n / 2^n

1/(2x+1) = ∑[(-2)^n * 2n!/(n!)^2] * (x+1/2)^n / 2^n

将上面两个级数代入到原函数的式子当中，得到：

1/(4x^2-1) = ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (x-1/2)^n - ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (x+1/2)^n

对这个式子求高阶导数，我们需要用到二项式定理，得到：

d^n/dx^n [1/(4x^2-1)] = ∑[2^(2n-1)/(n!)^2] * (-1)^n * (n choose k) * (x-1/2)^(n-k) * (x+1/2)^k

其中，(n choose k) 是组合数，表示从 n 个元素中选出 k 个元素的不同组合方式数目。

希望这个答案能够帮助你解决问题！

integrate y ^ 2 * e ^ (- y) dy from 0 to ∞ * integrate 2e ^ (- 2x) dx from y to ∞ + integrate 8x ^ 2 * e ^ (- 2x) dx from 0 to ∞ * integrate e ^ (- y) dy from x to ∞ 的计算方法和结果

这是一个复杂的积分问题，需要使用多个积分技巧来解决。

首先，考虑第一个积分：∫y^2*e^(-y)dy从0到∞。我们可以使用分部积分法来解决这个积分。设u=y^2，dv=e^(-y)dy，则du=2ydy，v=-e^(-y)，则原积分变为∫y^2*e^(-y)dy = [-y^2*e^(-y)-2y*e^(-y)-2*e^(-y)]从0到∞。将∞代入式子中，可以得到积分结果为2。

其次，考虑第二个积分：∫2e^(-2x)dx从y到∞。我们可以使用变量代换法来解决这个积分。设t=2x，则dt/dx=2，dx=dt/2，则原积分变为∫e^(-t)dt从2y到∞，即[-e^(-t)]从2y到∞，将∞代入式子中，可以得到积分结果为e^(-2y)。

然后，考虑第三个积分：∫8x^2*e^(-2x)dx从0到∞。我们可以使用分部积分法来解决这个积分。设u=x^2，dv=e^(-2x)dx，则du=2xdx，v=-1/2*e^(-2x)，则原积分变为∫8x^2*e^(-2x)dx = [-4x^2*e^(-2x)-4xe^(-2x)-e^(-2x)]从0到∞。将∞代入式子中，可以得到积分结果为2。

最后，考虑第四个积分：∫e^(-y)dy从x到∞。我们可以使用变量代换法来解决这个积分。设t=-y，则dt/dy=-1，dy=-dt，则原积分变为∫e^t(-dt)从-x到∞，即[e^t]从-x到∞，将∞代入式子中，可以得到积分结果为e^(-x)。

综上所述，原问题的计算结果为：2*e^(-2y) + 2 - 8 + e^(-x)。