求 $\int \frac{x^4+4x^3+6x^2+4x+1}{(x+1)^3} dx$.
时间: 2023-05-14 15:05:22 浏览: 72
首先,我们可以将分子展开,得到:
$$\int \frac{x^4 4x^3 6x^2 4x 1}{(x 1)^3} dx = \int \frac{4x^7 + 6x^6 + 4x^5 + x^4}{(x-1)^3} dx$$
接下来,我们可以使用分部积分法来求解这个积分。令 $u = x^4$,$dv = \frac{4x^3}{(x-1)^3} dx$,则 $du = 4x^3 dx$,$v = -\frac{2}{x-1} - \frac{2}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^3}$。于是,原积分可以表示为:
$$\int \frac{4x^7 + 6x^6 + 4x^5 + x^4}{(x-1)^3} dx = -\frac{2x^4}{x-1} - \frac{2x^3}{(x-1)^2} - \frac{x^2}{(x-1)^3} + C$$
其中 $C$ 为常数。
相关问题
X倍根号下1+4X^2的原函数
这道题可以使用三角代换来解决。
我们令 $x = \frac{\tan t}{2}$,则有:
$$\begin{aligned} \sqrt{1+4x^2} &= \sqrt{1+4\left(\frac{\tan t}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \sqrt{\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \frac{1}{\cos t} \end{aligned}$$
同时,我们有:
$$\begin{aligned} dx &= \frac{1}{2} \sec^2 \frac{t}{2} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{\cos^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \end{aligned}$$
于是,原函数可以表示为:
$$\begin{aligned} \int x\sqrt{1+4x^2} dx &= \int \frac{\frac{\tan t}{2}}{\cos t} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{\sin t}{\cos^3 t} dt + \frac{1}{4} \int \frac{\tan t}{\cos^2 t} dt \\ &= -\frac{1}{4\cos t} + \frac{1}{4} \ln |\cos t| + C \\ &= -\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C \end{aligned}$$
因此,原函数为 $-\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C$。
求柱面x^2+y^2=2x被锥面x^2+y^2=z^2所截剩下部分面积
首先,将柱面的方程化为标准形式:$(x-1)^2+y^2=1$。
然后,锥面的方程为 $x^2+y^2=z^2$。
将 $z$ 消去,得到 $x^2+y^2=(\sqrt{x^2+y^2})^2=z^2=x^2+y^2$,即 $x^2+y^2=0$ 或 $x^2+y^2\neq 0$。
显然,$x^2+y^2=0$ 对应的是顶点,不在所求范围内。因此,我们只需考虑 $x^2+y^2\neq 0$ 的情况。
将 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 代入柱面的方程,得到 $(x-1)^2+y^2=1$,即 $x^2-2x+1+y^2=1$,即 $x^2+y^2=2x$。
将 $x^2+y^2=2x$ 代入锥面的方程,得到 $2x=z^2$。
因此,所求部分的面积可以表示为:
$$
\begin{aligned}
S&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{z_x}{z_z})^2+(\frac{z_y}{z_z})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+(\frac{1}{2\sqrt{x}})^2+(\frac{0}{2\sqrt{x}})^2}dxdy \\
&=\iint_D \sqrt{1+\frac{1}{4x}}dxdy \\
&=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4r\cos^2\theta}}rdrd\theta \\
&=\frac{\pi}{2}\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4r}}rdr \\
&=\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)
\end{aligned}
$$
因此,所求柱面被锥面截剩下部分的面积为 $\frac{\pi}{12}(5\sqrt{5}-1)$。