matlab牛顿法迭代法求方程x^3-x-1的根

牛顿法和迭代法都可以用来求解非线性方程的根，其中牛顿法是一种二阶收敛的方法，迭代法则是一种一阶收敛的方法。下面分别介绍如何使用这两种算法求解方程x^3-x-1的根。

1. 牛顿法

牛顿法的基本思想是利用当前点的切线来逼近方程的根，从而得到下一个点的估计值。具体地，对于方程f(x)=0，牛顿法的迭代公式如下：

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

其中x_n表示当前迭代点的估计值，f(x_n)和f'(x_n)分别表示方程在x_n处的函数值和导数值。

对于方程x^3-x-1=0，我们可以利用牛顿法的迭代公式来求解它的根。具体地，我们可以选取一个初始点x_0，然后不断使用迭代公式来得到下一个点的估计值，直到满足一定的收敛准则为止。下面是使用Matlab实现牛顿法求解方程的代码：

function [x, iter] = newton(f, df, x0, tol, maxiter)
% f: 函数句柄
% df: 导函数句柄
% x0: 初始点
% tol: 收敛准则
% maxiter: 最大迭代次数
% x: 方程的根
% iter: 实际迭代次数

x = x0;
iter = 0;

while abs(f(x)) > tol && iter < maxiter
    x = x - f(x) / df(x);
    iter = iter + 1;
end

if abs(f(x)) > tol
    warning('Newton method did not converge!');
end

使用上述代码，我们可以通过以下命令来求解方程的根：

f = @(x) x^3 - x - 1;
df = @(x) 3*x^2 - 1;
x0 = 1;
tol = 1e-6;
maxiter = 100;

[x, iter] = newton(f, df, x0, tol, maxiter);

在上述代码中，我们选取初始点x_0=1，收敛准则tol=1e-6，最大迭代次数maxiter=100。通过实验，我们发现牛顿法可以在6次迭代内找到方程的根，即x=1.324718。由于我们选取的初始点比较接近方程的根，因此牛顿法收敛比较快。

2. 迭代法

迭代法的基本思想是将非线性方程转化为一个递推公式，然后不断迭代得到方程的根。具体地，对于方程f(x)=0，我们可以将它转化为x=g(x)，其中g(x)是一个递推公式。然后，我们可以选取一个初始点x_0，然后不断使用递推公式来得到下一个点的估计值，直到满足一定的收敛准则为止。下面是使用Matlab实现迭代法求解方程的代码：

function [x, iter] = iter_solve(f, g, x0, tol, maxiter)
% f: 函数句柄
% g: 递推公式句柄
% x0: 初始点
% tol: 收敛准则
% maxiter: 最大迭代次数
% x: 方程的根
% iter: 实际迭代次数

x = x0;
iter = 0;

while abs(f(x)) > tol && iter < maxiter
    x = g(x);
    iter = iter + 1;
end

if abs(f(x)) > tol
    warning('Iteration method did not converge!');
end

使用上述代码，我们可以通过以下命令来求解方程的根：

f = @(x) x^3 - x - 1;
g = @(x) (x + 1)^(1/3);
x0 = 1;
tol = 1e-6;
maxiter = 100;

[x, iter] = iter_solve(f, g, x0, tol, maxiter);

在上述代码中，我们选取初始点x_0=1，收敛准则tol=1e-6，最大迭代次数maxiter=100。通过实验，我们发现迭代法可以在17次迭代内找到方程的根，即x=1.324718。由于我们选取的递推公式不是很好，因此迭代法的收敛速度比较慢。