算法笔记：数论与欧几里得算法解析

"这是一份综合性的算法笔记，包含了作者多年的算法学习与实践经验，主要涵盖了数据结构、图论以及各种算法知识。笔记中详细讲解了数论基础，如整除关系、公约数、互质数、唯一因子分解、最大公约数等概念。此外，还深入探讨了扩展欧几里得算法及其在解同余方程中的应用，以及五大常见的数论定理，包括中国余数定理、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理和卢卡斯定理。同时，笔记也涉及到了快速幂运算和如何求解模线性方程。此外，提到了欧拉函数在数论中的重要作用，以及素数测试的方法，如素数定理。这份笔记对于想要深入学习算法和数论的读者来说是宝贵的参考资料。" 笔记内容详细分析： 1. 数论基础： - 整除关系：讨论了整数a能被d整除的条件。 - 公约数：定义了两数的最大公约数（gcd）及其计算方法。 - 互质数：如果两个数的最大公约数为1，则它们互质。 - 唯一因子分解定理：每个正整数可以唯一地表示为质数的乘积。 2. 最大公约数： - 提到了递归求最大公约数的方法和欧几里得算法。 - 欧几里得算法的推广形式用于解同余方程。 3. 扩展欧几里得算法： - 解决了形如ax ≡ b (mod m)的同余方程，给出了通解的形式。 4. 五大数论定理： - 中国余数定理：描述了多个同余方程的解的关系。 - 欧拉定理：涉及到模运算下a的指数的性质。 - 费马小定理：对于质数p，若a与p互质，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。 - 威尔逊定理：素数p满足(p-1)! ≡ -1 (mod p)。 - 卢卡斯定理：提供了计算模p下binomial系数的简便方法。 5. 快速幂运算： - 提供了一种高效计算a^n的方法，分n为偶数和奇数两种情况。 6. 模线性方程： - 如何将ax ≡ b (mod n)转化为标准形式，并解释了求解的条件。 7. 欧拉函数： - 描述了欧拉函数的性质，尤其是在模运算下的作用。 8. 素数测试： - 素数定理给出了估算小于等于n的素数数量的公式。 这份笔记不仅适合初学者入门，也适合有经验的程序员深入研究算法和数论问题。通过学习，读者可以提升在算法设计和问题解决上的能力。