Lie群的轨道积分与特征解析
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更新于2024-07-18
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"轨道积分与特征"
这篇论文深入探讨了Lie群G的轨道积分与离散级数在复简连通半单群的实形式背景下的应用。文章由James Arthur撰写,发表在"Inventiones mathematicae"期刊上,研究的核心是Lie群的平方可积表示及其矩阵系数。
首先,Lie群G被假定为一个实形式的简单连通复半单群。平方可积表示是Lie群理论中的一个重要概念,它允许我们用函数来描述群的表示,这些函数在特定意义下是平方可积的。在这个上下文中,"f"被定义为属于单位等价类"co"的一个平方可积表示的矩阵系数。矩阵系数是刻画群表示的重要工具,它们是由群元素作用于表示空间的基向量所产生的线性变换。
Harish-Chandra的工作在此处扮演关键角色,他展示了一个方法来计算与G共轭的正规半单类上的积分。对于任何正规半单元素"h",存在一个中心化"h"的Cartan子群"T"。这里的Cartan子群是Lie群的一个特殊子群,它在很多方面都与群的结构紧密相关。固定一个Cartan对合"Q"后,可以假设"T"对此对合稳定。Cartan对合是一种群自同构,用于分类群的根系统和表示。
接下来,文章提到"T"可以分解为一个紧致子群"T_I"和一个向量群"T_R"的直和。这种分解是与选定的Cartan对合相关的。根据Harish-Chandra的公式,轨道积分可以表示为群的特性函数与Cartan子群的乘积,其中特性函数"0,_"针对的是"T"的每个元素,并在"T"为紧致时取值1,在其他情况下取值0。
这个公式的前提是积分在左侧绝对收敛,且在"T"不紧致时积分值为0。这表明轨道积分在分析群表示的性质时具有重要的作用,特别是在离散级数的研究中。离散级数是Lie群表示理论中的一个重要类别,它们在数学物理和数论等领域有广泛应用。
这篇论文通过轨道积分的方法深入解析了Lie群的离散级数表示,提供了一种计算和理解这些表示特性的新视角。James Arthur的工作对Lie群理论以及相关领域的研究者来说,提供了宝贵的工具和洞察。
2014-04-10 上传
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2023-05-25 上传
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