Lie群的轨道积分与特征解析

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"轨道积分与特征" 这篇论文深入探讨了Lie群G的轨道积分与离散级数在复简连通半单群的实形式背景下的应用。文章由James Arthur撰写，发表在"Inventiones mathematicae"期刊上，研究的核心是Lie群的平方可积表示及其矩阵系数。首先，Lie群G被假定为一个实形式的简单连通复半单群。平方可积表示是Lie群理论中的一个重要概念，它允许我们用函数来描述群的表示，这些函数在特定意义下是平方可积的。在这个上下文中，"f"被定义为属于单位等价类"co"的一个平方可积表示的矩阵系数。矩阵系数是刻画群表示的重要工具，它们是由群元素作用于表示空间的基向量所产生的线性变换。 Harish-Chandra的工作在此处扮演关键角色，他展示了一个方法来计算与G共轭的正规半单类上的积分。对于任何正规半单元素"h"，存在一个中心化"h"的Cartan子群"T"。这里的Cartan子群是Lie群的一个特殊子群，它在很多方面都与群的结构紧密相关。固定一个Cartan对合"Q"后，可以假设"T"对此对合稳定。Cartan对合是一种群自同构，用于分类群的根系统和表示。接下来，文章提到"T"可以分解为一个紧致子群"T_I"和一个向量群"T_R"的直和。这种分解是与选定的Cartan对合相关的。根据Harish-Chandra的公式，轨道积分可以表示为群的特性函数与Cartan子群的乘积，其中特性函数"0,_"针对的是"T"的每个元素，并在"T"为紧致时取值1，在其他情况下取值0。这个公式的前提是积分在左侧绝对收敛，且在"T"不紧致时积分值为0。这表明轨道积分在分析群表示的性质时具有重要的作用，特别是在离散级数的研究中。离散级数是Lie群表示理论中的一个重要类别，它们在数学物理和数论等领域有广泛应用。这篇论文通过轨道积分的方法深入解析了Lie群的离散级数表示，提供了一种计算和理解这些表示特性的新视角。James Arthur的工作对Lie群理论以及相关领域的研究者来说，提供了宝贵的工具和洞察。

214

Arthur

Let

denote the number of indices

ieF

such that

(?',

<0.

Langlands' com-

binatorial lemma is the following:

Lemma

2.3.

(yi,

for all

then

for all regular

(yi,

for some

then

for all regular

Proof.

Suppose that

(y',

is negative for all

Then, as we have seen, each

(?;,

H),

and therefore each

(p;, H)

also, is negative. Hence

$i{H)

vanishes for

all

unless

equals the set Fl

{\,

. .

p}.

Moreover,

=0,

and

$$(H)

equals

depending on whether or not

("/,

is positive for all

This proves the

lemma for

as above.

Now suppose that

and

are two regular vectors. We have only to show that

and

can be joined by a polygonal path, no segment of which lies in a special

hyperplane and no point of which lies on the intersection of

distinct special

hyperplanes. We may assume that only one point of this path lies on a special

hyperplane, say

{X:

(a,

O},

and that

and

lie on opposite sides of this hyperplane. In other words

(a,

and

(a, H')

are of opposite sign.

Suppose that

is a subset of

{l,

...

and that no vector in either

{d:

j^F}

{&:

is a multiple of

Then

(yi, H)

(y;, H')

and

(4,

^)=(A, H')

ieF.

follows that

(^(H)

$$(HI).

Let

be the collection of those

such that for some

not in

is a multiple

and let

.9,

be the collection of those

such that for some

is a multi-

tude of

In either case

is uniquely determined.

.9,

and

are disjoint. Suppose

We might as well assume that

{I,

. . .

for some

and that

is a multiple of

Let F2={1,

...,

k}.

and

are both in the span of

{uk,

...

pp}

but both are orthogonal to

{//+I,

...

pp}.

Therefore,

/4,

is a multiple

y;,

and hence of

We note for later use that since

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