次正定复矩阵次Schur补的性质与不等式

"这篇论文是2014年由郑建青发表在《纯粹数学与应用数学》期刊上的一篇学术论文，主要探讨了次正定复矩阵的次Schur补的性质及其行列式不等式。它将相关研究从次正定次Hermite矩阵扩展到了次正定复矩阵领域。" 正文: 次正定复矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它们在矩阵理论的多个分支以及应用科学如统计学和数值计算中都占有核心地位。次正定矩阵指的是那些满足所有特征值都非负的复矩阵，这样的矩阵在处理线性代数问题时具有特殊的性质和便利性。 矩阵的Schur补是一种矩阵变换，常用于矩阵理论的研究中，它涉及到矩阵的切割和替换。具体来说，如果一个矩阵A可以被划分为四个块：A = [A11 A12; A21 A22]，其中A12和A21是同阶子矩阵，那么A关于A12的次Schur补定义为S = A22 - A21 * A12^(-1) * A11。这个操作在矩阵理论和应用中有着广泛的应用，例如在系统理论、控制理论和优化问题中。 郑建青的这篇论文专注于次正定复矩阵的次Schur补，研究了其特有的性质。通过对复矩阵的次Schur补进行深入分析，作者得出了关于次正定复矩阵次Schur补的若干行列式不等式。这些不等式扩展了以前仅针对次正定次Hermite矩阵的结果，次Hermite矩阵是复共轭对称矩阵的一个特例，而次正定复矩阵的范围更广，包括了所有特征值非负的复矩阵。 论文中，作者使用了一些矩阵的特殊表示，如共轭转置（AT）、共轭次转置（AS）以及单位矩阵（In），并定义了矩阵的次主子阵和非奇异次主子阵。通过这些工具，郑建青能够推导出次正定复矩阵次Schur补的性质，这些性质对于理解矩阵的结构和行为至关重要。 此外，文章还讨论了矩阵的半正定性和半次正定性，以及它们之间的关系。矩阵的半正定性和半次正定性是矩阵正定性和次正定性的推广，允许矩阵有一些零特征值。在这些矩阵的背景下，作者探讨了次Schur补如何影响矩阵的这些性质，进一步揭示了次Schur补在保持或改变矩阵正定性方面的潜在作用。 论文中引用的文献展示了矩阵次正定性和Schur补在不同领域的应用，强调了该研究的理论价值和实际意义。通过这项工作，郑建青为矩阵理论的进一步发展和应用提供了新的见解和工具。 这篇论文是对复矩阵次正定性和Schur补理论的重要贡献，它扩展了我们对这一领域的理解，并可能为未来的理论研究和实际应用提供基础。