EM算法原理与三枚硬币问题解析
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更新于2024-08-08
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"这篇文档主要介绍了期望最大化(Expectation-Maximization, EM)算法的理论推导,并通过一个具体的三枚硬币问题进行实例解析。文章首先解释了EM算法的基本结构,包括E步(期望)和M步(极大化),然后详细阐述了如何运用EM算法解决三枚硬币问题,其中涉及到了隐含变量和观察变量的概念。同时,文档还提到了极大似然估计在解决此类问题中的应用,并展示了如何通过最大似然估计求解问题的具体步骤。此外,文档中还提到了一些数学基础,如数学期望、凸函数与凹函数以及詹森不等式,这些都是理解EM算法的重要背景知识。"
期望最大化(EM)算法是一种在统计学和机器学习中常用的迭代方法,用于处理含有隐变量的概率模型的参数估计问题。在EM算法中,E步(期望)是指计算当前参数下隐变量的期望值,而M步(极大化)则是根据E步得到的期望值来更新模型参数,使其更接近真实的参数值。
在三枚硬币问题中,我们有三枚硬币A、B、C,它们正面出现的概率分别为π、p和q。实验中,先投掷硬币A,根据结果决定接下来投掷B或C。由于我们只能看到最终的投掷结果,无法直接得知每枚硬币的具体概率,因此引入隐变量Z来指示结果来源于哪枚硬币。通过EM算法,我们可以逐步逼近每枚硬币正面出现的概率。
在极大似然估计中,我们寻找使得观察数据出现概率最大的模型参数。在这个问题中,我们设法估计π、p和q的值,以使观察到的硬币投掷序列(例如:1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)出现的概率最大。通过建立适当的数学模型并应用EM算法,可以逐步优化这些参数的估计,直到收敛到最优解。
在文档中,还提到了一些数学工具,如凸函数和凹函数,它们在优化问题中起到关键作用。例如,EM算法的目标函数通常是一个凸函数,这保证了算法在每次迭代后都能得到全局最优解或者局部最优解。詹森不等式则用来分析函数的平均值和期望值之间的关系,对于理解和证明EM算法的收敛性有重要意义。
这篇文档详细地阐述了EM算法的理论基础和实际应用,通过三枚硬币问题提供了直观易懂的例子,有助于深入理解EM算法的工作原理和实际操作。
2021-09-15 上传
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赵guo栋
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