EM算法原理与三枚硬币问题解析

"这篇文档主要介绍了期望最大化(Expectation-Maximization, EM)算法的理论推导，并通过一个具体的三枚硬币问题进行实例解析。文章首先解释了EM算法的基本结构，包括E步（期望）和M步（极大化），然后详细阐述了如何运用EM算法解决三枚硬币问题，其中涉及到了隐含变量和观察变量的概念。同时，文档还提到了极大似然估计在解决此类问题中的应用，并展示了如何通过最大似然估计求解问题的具体步骤。此外，文档中还提到了一些数学基础，如数学期望、凸函数与凹函数以及詹森不等式，这些都是理解EM算法的重要背景知识。" 期望最大化(EM)算法是一种在统计学和机器学习中常用的迭代方法，用于处理含有隐变量的概率模型的参数估计问题。在EM算法中，E步（期望）是指计算当前参数下隐变量的期望值，而M步（极大化）则是根据E步得到的期望值来更新模型参数，使其更接近真实的参数值。 在三枚硬币问题中，我们有三枚硬币A、B、C，它们正面出现的概率分别为π、p和q。实验中，先投掷硬币A，根据结果决定接下来投掷B或C。由于我们只能看到最终的投掷结果，无法直接得知每枚硬币的具体概率，因此引入隐变量Z来指示结果来源于哪枚硬币。通过EM算法，我们可以逐步逼近每枚硬币正面出现的概率。 在极大似然估计中，我们寻找使得观察数据出现概率最大的模型参数。在这个问题中，我们设法估计π、p和q的值，以使观察到的硬币投掷序列（例如：1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0）出现的概率最大。通过建立适当的数学模型并应用EM算法，可以逐步优化这些参数的估计，直到收敛到最优解。 在文档中，还提到了一些数学工具，如凸函数和凹函数，它们在优化问题中起到关键作用。例如，EM算法的目标函数通常是一个凸函数，这保证了算法在每次迭代后都能得到全局最优解或者局部最优解。詹森不等式则用来分析函数的平均值和期望值之间的关系，对于理解和证明EM算法的收敛性有重要意义。 这篇文档详细地阐述了EM算法的理论基础和实际应用，通过三枚硬币问题提供了直观易懂的例子，有助于深入理解EM算法的工作原理和实际操作。