2Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，281埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems审查文件关于松弛余度与邻近点算法Abdellatif Moudafia，*，Zhenyu Huangba法属西印度群岛大学，Ceregmia-Scienti fic Department，97200 Schelcher，Martinique，Franceb南京大学数学系，南京210093接收日期：2013年2月6日;修订日期：2013年3月14日;接受日期：2013年3月24日2013年5月8日在线发布摘要本文的目的是通过（a，r）-松弛余度的概念研究两个近似算法的收敛性。我们将证明，这个概念是足够的，以获得一些有趣的收敛定理没有任何Lipschitz连续性假设。松弛余度的情况下也进行了研究。数学潜规则分类：小学49J53 65K10中学49M37 90C25？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。内容1.导言和附件2822.主要的收敛结果282致谢284参考文献2841. 引言和附录在整个过程中，H是一个实希尔伯特空间，H是一个实希尔伯特空间。首先，我们回想一下，算子A是（a，r）-松弛余强制的，如果存在常数aP0，r>0，使得*通讯作者。联系电话：+596 0596727363。电子邮件地址：abdellatif.mouda martinique.univ-ag.fr（A.Mouda fi），zhenyu@nju.edu.cn，profzhenyu@gmail.com（Z.黄）。同行评审由埃及数学学会负责hAx-Ay;x-yiP-akAx-Aykrkx-yk对于所有x;y2H：1：1，最近，这一概念被用来建立变分不等式和变分不等式组算法的收敛性，参见例如[1值得一提的是，这一概念与具有正常数c的c-Lipschitz连续性相结合，即对所有x，y2HkAx-Ayk6ckx-yk;1：21110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.014制作和主办：Elsevier关键词松弛余强制性;松弛单调性;邻近点算法;强收敛;变分不等式2--ð Þ ¼A2 AA2 AKK一个2K2A2AKKKKKK利用Axx-JAx和A yy-JAy这一事实，我们KKKKK一一一参数为k的A的算子与其Yosida近似值（即Ax：<$x-JAx）的 关系为：P-k-I-JkðyÞ¨KKKK二、JAx-JAy;x-ykx-yk2-JAx-JAy2KKÞ-KKKKKK一KKK一ð Þ 2.ð ÞΣð Þ 2 .ðÞΣk-- 你好kkk克克克¨-ð Þ-是的我-杰 克 斯 -。I-J：1/42。JAx-JAy;x-y¨¨A2 AKKA2 A282 A. Mouda fi，Z. 黄意味着算子A是（rac2）-强单调的，即现在，让我们证明解算算子的以下关键性质。22hAx-Ay;x-yiPr-ackx-yk条件是（rac2）> 0。因此，与变分不等式和变分不等式组相关的梯度投影型方法的收敛性如下：经典结果的优点。因此，条件（1.2）与（1.1）的组合太强，因为提案2.1. 设算子A是（a，r）-松弛余强制算子，则对所有的x，y2H，有“JAx-JAy"26Lkkx-yk2-jk"。我-. I-JAA PleasantPleasant2;12：50所得的收敛结果与经典结果非常接近自然会产生以下问题1其中，Lk：<$12kr和j k：k-2 a.k12kr问题：如果没有Lipschtzian连续性假设（1.2），我们能得到收敛结果吗？本文的目的是部分回答上述问题，通过证明的庆祝隐式方法的强收敛性和弱收敛性的结果，是最接近的点算法和它的放松版本的Yosida近似，证据 由于Akx A J Ax和Aky A JA y，定义（2.4）产生hAkx-Aky;Jkx-JkyiP-akAkx-Akyk你好，我是说，第众所周知，由proxi生成的序列-当A是强单调的时，奇点算法按范数收敛到A的唯一零点。然而，如果A是单调的，并且参数有界远离零，我们只有弱收敛。相反，混合邻近算法可以写. x-JAxK Kkkkky JA y;Jx-Jy例如，见[6]。我们还想强调的是，最近在广义单调性概念下得到了邻近点算法的新收敛结果，例如见[7近点算法也被验证-x JA xP-a？k- y-JkyrüJAx-JAy2;广泛应用于各种领域，如图像恢复和信号恢复，例如参见[10]。值得一提的是，如果r=0，则该算子被称为松弛余强制或余次强制。单调此外，松弛的余强制算子A被称为或等效地. x-y-。JAx-JAy;JAx-JAyA2 A是最大的，如果除了它的图，gph¼ 2 2P-a-x-J-A-x - J -。y-JAy2krJx-Jy：A：{（x，y）H·H：y A（x）}，未正确包含在任何其他松弛余强制算子或其他字A-1是最大的次单调，例如参见[11]。KK因此K俄 罗 斯联邦当k>0时，算子JA：<$$>IkA <$-1称为预解式。ΣK“。- 是的Σ¨KK的1第1章：Akx2AJkx。最后，回想一下逆A运算符定义为x2A-1（y）（）y2A（x）。2. 主要收敛结果A的K K另一方面，我们也有12：60形式的变分包含求x<$2H使得02A<$x<$$>;n2 ：3<$其中A：Hf2H是希尔伯特空间H上的集值算子，为实际中出现的许多问题提供了一种方便的形式例如，最小化问题可以写在这个通过设置A= of形成，其中of是A A2K K考虑到公式2.6，我们推断，kx-yk-Jx -Jy。我-. I-JA目标函数f。其他问题，如鞍点问题，变分不等式和互补问题，P-2a-。我-. I-JAA2 A以这种形式写，例如[12]。在整个页面中-per，我们将考虑以下（a，r）-余强制性的概念：一个集值算子A将被称为（a，r）-余强制性，如果存在P0，r>0使得对于所有x，y2H，2001年1月1日，第一次世界大战爆发，因此2a存在着二 、 你好。一个小女孩 。A2hg-n;x-yiP-akg-nk∈rkx-yk，对于所有g2Ax;n2Ay：2：4kx-yk -1-k¨I-JkxP12kr？Jx-Jy？：ðyÞ¨应该注意，当（2.4）与（1.1）运算符是单值的。除以（1+2kr），我们最终得到所需的结果，即22一一2Jk x- Jky; x- yx一þþ14arω221AAωA22 AK22N-Kn1个dKK12krk12krKK1n¼0an-jn1-an1 ，j：n 则n1nnnKnnnn 1Knn1KnnKn1年 4月nKKK2K¨¨“。- 是的Σ¨关于邻近点算法的松弛余度和收敛性283JAx-JAy261kx-yk2-k-2a（ii）假设正则化参数满足以下条件：条件k2（a，2a），控制序列{an}为是的。我-. I-JA：QP选择 所以 的 an2（j，1） 为 所有 n2I N和松弛规则K现在，我们可以证明以下收敛性近似点算法的定理及其应用 放松x¼ax1-aJx，其中a为20; 1;版本.定理2.1. 设算子A是（a，r）-松弛余强制算子.然后用邻近点算法生成序列2019 -01-2200：00：00弱收敛于A的零点证据(i) 关系式（2.8）与参数条件相结合，得出2Kn强收敛于x*，问题的唯一解kxn1— xωk26k xn — xωk2-dk xn1— xnk：找到A的零，假设正则化参数{kn}对所有n2 IN满足knP2 a.证据由于寻找A的零点等价于寻找相关预解算子的固定点的问题，因此使用（2.5）和kP 2 a很容易看出预解算子是1-压缩，因此问题（2.3）具有唯一解。*由此推论序列{ixn-x*i2}在IR中收敛，{xn}有界且渐近正则，即{ixn+1-xni}范数收敛于0.现在让如果x<$是序列{xn}的弱聚点，则存在{xn}的一个子序列（我们仍然记为{xn}）弱收敛到x<$。通过传递到以下等效公式（2.7）中的极限，第十条 另一方面，使用（2.7）和事实，knP2a，我们可以写. x-x轴kx-xk1-jnxk2 -jn xk 1-6kx-xωk2;考虑到A-1的图是弱强闭的（因为A-1是极大次闭的），由此我们推断由（2.7）生成的{xn}强收敛于x*。H现在，极限情况r=0，即：存在P0，使得对于所有x，y2H，对所有g2A<$x<$;n2A<$y<$;motone算子，例如见[11，命题4]），我们在极限处得到x<$是A的零点。弱聚点的唯一性以及整个序列（xn）的弱收敛性与Rockafellar [12]的经典结果具有相同的论证。(ii) 在这种情况下，关系式（2.8）与参数条件相结合，得出这是非常有趣的，对应于放松的余势。这种情况已被研究，例如，[7，8]和其中的参考文献，使用Yos的局部最大单调性，IDA近似值。 在下面的内容中，我们的方法是不同的并基于预解算子的性质（2.5）Jkx-Jky 6kx-yk好的。我-. I-JAAPleasantPleasant2;2019 -02- 29在这种情况下，其中，j1/2 a-1 2/0;1/2。因此，预解算子是一个j-JA6kx-yk2-。1-2a严格的伪压缩和结果如下[13，Theo-rem 3.1]，以及事实上，不动点的预解式opera-kk k×I-JAx-I-JAy2：2：8下面的定理总结了我们的收敛结果。定理2.2. 假设运算符A是一个带零的松弛cocer-cive，则以下断言成立：(i)由邻近点算法（2.7）生成的序列，即xn1JAxn弱收敛于，x*，A的零点问题的解，条件是A是极大松弛余强制的，正则化参数{kn}满足kP2 a对于所有nIN，其中d（0，1）是足够小的常数。tors恰好是A的0。 H备注2.1.值得注意的是，在本文所考虑的所有情况下，预解算子都是单值的。这直接从（2.5）得出，当kP2a时，在其他情况下，从（2.9）和[13]，命题2.1（i）表明每个j-严格伪压缩是Lipschitz连续的，stant100j. H1-J确认我们要感谢审稿人对本文的仔细阅读。本研究得到了法国高等教育与研究部和国家自然科学基金项目（国家自然科学基金批准号：10871092）。xn1 2A-1;284 A. Mouda fi，Z. 黄引用[1] Zhenyu Huang，M.张文，等，一种求解非线性变分不等式组的显式投影方法，应用数学与计算。190（2007）356-361。[2] Zhenyu Huang，M.张文龙，非扩张映象与变分不等式的一类新的带误差的统一迭代格式，应用数学与计算。194（2007）135-142。[3] M.黄振宇，变分不等式与非扩张映象的Wiener-Hopf方程技巧，应用数学。191（2007）504-510。[4] M.黄振宇，变分包含与非扩张映象的预解迭代法，应用数学。194（2007）267-275。[5] 格勒乌Verma，广义松弛余强制变分不等式系统及其投影方法，J. Optim。Theory Appl.121（2004）203-210.[6] M.V. Solodov，B.F.张文，等.Hilbert空间中的强收敛问题.数学学报，2000，24（1）：117 - 118. 87（2000）189-202。[7] R.P. Agarwal，R.U. 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