可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记333（2017）163-172www.elsevier.com/locate/entcs关于构成连续格的子集族邹志伟湖南大学中国长沙摘要众所周知，连续格和代数格可以分别用族表示上的投影算子和闭包算子保持有向集的sups的所有不动点集合X的幂集。 类似于代数格的具体表示是代数结构，连续格能否用集合族来具体表示？本文对此给出了肯定的回答。作为连续格的一种特殊类型，得到了完全分配完备格的集合族保留字：连续格，完全分配，C-集，A-集，C-- 半环1引言在格论中，特殊类型格的表示一直是重要的研究课题。许多方法，如集合的子集族、拓扑空间、形式概念和信息系统[4，5，9，12，13，15]，已被用于表示特殊类型的格。最直观的方法是通过集合的子集族。在[2]中，Buchi证明了一个格是完备的当且仅当它同构于一个顶点结构（交结构）。Reney在[13]中提出了集合环的概念，并揭示了完全分配代数格（完全超连续格）与集合环是一一对应的。此后，邓[5]提出了完备格是完全分配格的充要条件是它同构于完备半环，1电子邮件：zouzhiwei1983@163.com。2通讯作者，电子邮件：liqingguoli@aliyun.com。3本工作得到国家自然科学基金项目（No.11371130，11611130169）的资助。https://doi.org/10.1016/j.entcs.2017.08.0131571-0661/© 2017作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。164Z. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）←←←←→→F-代数概念- 结构由郭和李在[9]。已经证明（二）。文[3]证明了格是代数格的充要条件是格同构于代数结构。作为代数结构的推广，dcpo是代数整环当且仅当它同构于F-代数整环- 结构。作为更一般的结果，文[8]证明了格L是连续的，同构于一个投影算子的所有不动点族。因此，一个投影算子的所有不动点的族 在本文中，我们的目的是获得一个具体的表示连续格，通过家庭的子集的一个集合，类似于代数结构的具体表示的代数格。本文其余部分的结构如下。在第2节中，我们回顾了格理论中的一些基本在第三节中，我们得到了连续格（分别是代数格、完全分配格）的表示。在第四节中，我们考虑一类特殊的集合族从而得到偏序集连续的一些等价条件。2预赛偏序集是一个非空集合P，它具有自反、传递和反对称关系≤。设P是偏序集，X<$P，我们使用符号sup X =X表示X的最小上界，并且infX =X为X的最大下界。记↑X={x∈P：y∈X，s.t.y≤x}，↓X={x∈P：y∈X，s.t.x≤y}，Xl={x∈P：y∈X，x≤y}和Xu={x∈P：<$y∈X，y≤x}.P的一个子集D被称为是有向的，只要它是非空的，并且D的每一个有限子集在D中都有一个上界。对偶地，我们称P的一个非空子集F是滤过的，如果F的每一个有限子集在F中都有一个下界。定义2.1[8]设P是偏序集。 我们说x比y小很多，用符号表示xy，i ∈ D∈P对于其中sup D存在，关系y≤ sup D意味着存在元素d∈D，其中x≤d。满足x的元素如 果 x是紧的，则所有紧元素的集合记为K（P）。对于每个x∈P，我们简单地写x ={y∈P|yx}，x={y∈P|xy}。很容易看出，x是P的下子集，每个x∈P。x是P的上子集，定义2.2[8] 1）偏序集P称为连续的，如果对所有x∈P，x ={y∈P|yx}是有向的，且x = sup x。2) 作为偏序集连续的dcpo称为domain。3) 一个整环如果是一个完备格，则称为连续格。Z. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）165←←超级（↓xK（L））。j∈J k∈Kf∈M j∈J设L是完备格，x∈L. 那么x是自动定向的因为x和bx意味着一个X. 为了证明一个完备格，如果L是连续的，则足以证明存在子集Ax∈ L，对于每个x∈L，superAx=x。x使得命题2.3[8]在连续偏序集中，下面的关系满足插值性质：Xz蕴涵（n）xyz.定义2.4[8]完备格L称为代数格，它满足紧逼近公理：对于所有x∈L，集合↓x K（L）是有向的，并且x=显然，每个代数格都是连续格。 类似于在连续格的情形下，a，b∈K（L），若L是完备格，则a，b∈K（L）. 要证明完备格L是代数格，只需找到一个子集Ax<$xK（L），使得对任意x∈L，supAx=x.定义2.5[3]集合X的子集的非空族L称为代数结构，如果(i)Ai∈L，对任意非空族{Ai}i∈I <$L，i∈I(ii)Ai∈L，对任意有向族{Ai}i∈I<$L。i∈I关于代数格的一个著名结果是偏序集P是代数格当且仅当它同构于一个代数结构。定义2.6[8]格L称为完全分配格，它是完备的，并且对于L中的任何族{xj，k：j∈J，k∈K}xj，k=xj，f（j）其中M表示定义在J上的选择函数的集合，其值f（j）∈K（j）。完全分配格可以用下面的方法等价刻画定义2.7[8]设L是一个完全格。我们说x完全低于y，在符号xy，i中，对于所有子集A<$L，关系y≤ sup A意味着存在一个元素a ∈ A，其中x ≤ a。很明显，yx意味着yX. 对于每个x∈L，我们简单地写{y∈L：yx}。引理2.8完备格L是完全分配的，对于每个x ∈ L。166Z. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）←则inf{Ai：i∈I} =(iii)加顶代数结构A总是C-集.如果对每个i∈I，Ai∈A，{Ai：i∈I}。因此Kx= inf{A∈ A：x∈A}=从引理2.1可以看出，完全分配格是连续格.3具有性质C的集合族在这一节中，我们给出了连续格、代数格和完全分配完备格的表示。对于连续格L，有存在L与（AL，λ）之间的序同构，其中AL={x：x∈L}.接下来的工作是找到AL的一些性质，以确保它是连续的。对于代数格M和完全分配的完备格N也考虑同样的问题，其中AM={↓x K（M）：x∈M}，AN={x∈N}。3.1连续格与C-集在这一小节中，我们引入了C-集的概念，并证明了偏序集是连续格当且仅当它同构于C-集。如果按包含序的非空集合族A是一个完备格，我们记Kx= inf{A∈A：x∈A}，对每个x∈A∈AA。（性质C）：对于每个A∈A。A=Kxx∈A定义3.1假设一个非空集合族A在有向并下是闭的，且（A，n）是一个完备格，则称A是一个满足性质C的C -集合。例3.2（i）对于一个非空集合族A，它是一个包含下的完备格，性质C等于以下性质：如果x∈A∈ A，则存在y∈A使得x∈Ky。（ii）一个集合环是一个C-集合，其中一个集合环是指一个非空集合族，它在任意并和下是封闭的。{A ∈A：x ∈ A}对每个x ∈ A ∈ A都蕴含x ∈ K x。也就是说，如果x∈A∈A，则x∈Kx<$A。（iv）对于一个C-集A和x∈A∈A，我们都有一个vex∈Ax，但x∈/Kx是可能例如，令A={φ，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}}，则Ka=φ。引理3.3如果A是一个在有向并下闭的非空集合族，且（A，<$）是一个完备格，则对每个x∈A∈AA. 作为特例，如果x∈Kx，则KxKx。 也就是说，Kx是一个紧元in（A，n）.证据 设{Ai：Ai∈A，对于每一个i ∈ I}是A的一个有向子族，Z. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）167←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←设A ∈ {Ai：i ∈ I}=Ai，则存在i∈I使得x∈Ai. 以来i∈IKx= inf{A∈A：x∈A}<$Ai，我们得出KxA.Q定理3.4若A是C-集，则（A，n）是连续格.证据 从定义3.1我们知道（A，A）是一个完备格。为每个A∈A，若A=φ，则A={φ}。 现在我们假设A φ。对于每个x∈A，性质C和引理3.3我们知道存在一个元素y∈A使得x ∈Kya∈AKasup{Ka：a∈A}sup一辆皮卡。 因此，{Ka：a∈A}=sup{Ka：a∈A}= supA =A.对于一个完备格（A，n），由于A是有向的，（A，B）是一个连续格。Q命题3.5设L是一个连续格，且AL={是C组。证据显然，AL是L的子集的非空族。x：x∈L}。 然后ALAL在有向并下是闭的：注意，在连续格L中，x≤y惠xy。 假设{xi：i∈I}在（AL，n）中有向，则xi∈ sup{xi：i ∈I}i∈I}对于每个i∈I，因此{xi：i ∈I}{xi：i ∈ I}。 相反，对于每个y∈ sup{xi：i∈I}，利用连续格的插值性质，存在一个元素z ∈ L使得yzsup {xi：i ∈ I}。 因为{xi：i ∈ I}是有向的，则存在i∈I使得z≤xi。因此，我们有yx1，即，y∈{xi：i∈I}。 因此，{xi：i ∈ I}=sup {xi：i ∈I}∈ AL。这说明L在定向工会下是封闭的。（AL，n）是一个完全格：由于L是一个完全格，所以supL是最大的L中的元素。因 此 ， sup L是（A L，）中最大的元素。设xi∈L对于每个i∈I/=φ。则对于每个i∈I，inf{xi：i∈I}<$xi。如果存在y∈ AL使得yi∈Ixi，则yxi对于每个i∈I，因此y≤xi，因此y ≤inf{xi：i∈ I}，即，yinf{xi：i∈I}。这意味着在（AL，λ）中，inf {xi：i∈ I}=inf {xi：i∈ I}。性质C：假设x∈y∈ AL，则xy在L. 从插值连续格的性质存在元素z∈L使得xzy，其中x∈z <$$>↓z <${a：za）。 注意Kz= inf{a：za}和z∈ AL，我们有x∈zKz.Q引理3.6设L是连续格，且AL={同构于L.x：x∈L}。 那么AL是证据 很明显，映射X：x → x是L到AL的同构。因为L是连续格，所以L中的x≤y等于 X轴y在AL中，因此是一个有序同构。Q因此，我们有以下表示的连续格通过家庭的集合。定理3.7偏序集是连续格当且仅当它同构于C-集。168Z. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）∈A(iii)加顶代数结构A总是A-集. A必须是C-sets by证据 从定理3.4、命题3.5和引理3.6可以直接得出。 Q3.2代数格与A-集加顶代数格结构是代数格的集合族表示。在这一小节中，我们引入了A-集的概念，作为加顶代数-结构的推广.证明了A-集也是代数格的一种表示.定义3.8集合族A称为A-集合，如果对每个x ∈ A∈A，x ∈ K x。例3.9（i）假设A是一个非空集合族，（A，n）是一个完备格，则对每个x ∈ A，性质x∈ Kx意味着A满足性质C。（ii）A-集总是C-集，则它是包含序下的连续格.正如例3.2（4）中所指出的，一个C-集可能不是一个A-集.实施例3.2（3）. 对于每个x∈A∈ A，Kx= inf{A∈A：x∈A}=x∈A}，则x∈Kx.{A∈A：引理3.10 A-集在包含序下总是代数格.证据假设A是一个A-集.根据定义3.8和定理3.4，（A，λ）是一个完备格。对每个A∈A，已知A = x∈AKx，且每个Kx是（A，<$）中的紧元，则（A，<$）是代数格.注意，要证明完备格M是代数格，只要证明存在一个非空子集M（x）<$↓x K（M）使得对于每个x∈P，supM（x）=x就足够了。Q此外，我们还得到了如下定理，它是代数格的集合族表示。定理3.11设P是偏序集。以下语句始终等效：(i) P是代数格。(ii) P与A-集同构.(iii) P同构于一个加顶代数结构.证据 （2）第（1）段：南丫岛3.10.（3）计算（2）：根据例3.9（2）。(1)（3）设P是一个代数格，记A={↓xK（P）：x∈P}，其中K（P）表示P的所有紧元的集合.然后，不难检验A是一个加顶的代数结构. 显然，P是（A，λ）的序同构。QZ. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）169{ ∈A<$}按包含序的完全半环是完全格. 设ρ（X）为也就是说，y∈ <$z和z∈ <$x。 请注意，{zh：za}，我们有zKz。3.3完全分配完备格与C- 半环在文[5]中，邓小平得到了完备格是完全分配格的结果当 且仅当它同构于一个完备[001 pdf 1st-31 files]条件（条件）如下所示的半环。在这一小节中，我们将证明偏序集是完全分配完备格当且仅当它同构于具有性质C的完备半环。定义3.12 [5]设X是一个非空集，P（X）是X的幂集。(i) 完备半环是指在任意并下闭的族A ∈ P（X）.(ii) 对于任何MX，记为M0=N：NM。(iii) 对任意x ∈ X，记Mx= M0，其中M ={N ∈A：x ∈ N}.其中，每个N ∈ A都是完备的。- 满足条件（n）的半环：Nnx∈NMx，对于定理3.13[5]完备格是完全分配的，如果它同构于某个A∈ ρ（X）.利用引理2.8，证明完备格L是完全分配的，只要对每个x∈L，检验x= sup_x就足够了.定义3.14完备半环称为C-半环，如果它满足性质C。引理3.15设N是完全分配完备格。 则集族AN={Ax：x∈N}是C-半环，N与（AN，n）序同构证据 同构可以由引理2.8自然地建立。设xi∈N，对每个i∈I。则i∈I<$xi=<$ sup{xi：i∈I}：i∈I<$xi<$因为yxi≤sup{xi：i∈I}意味着ysup{xi：i∈I}。 假设ysup {xi：i∈I}= supi∈I<$xi.则存在i∈I，则y∈ <$xi. 这意味着- 半环i∈I<$xi<$<$sup {xi：i∈I}。 所以AN是一个完全的对于性质C，假设x，y∈N，其中y∈ Nx。因为N是完全分布的，所以x=supx= sup{\displaystyle\frac {z：z}x}。 因此存在z∈N使得yzx，这表示x∈<$z <$Kz。 所以集合族AN={nx：x∈N}满足性质C.Q引理3.16设A是C-半环。则（A，A）是完全分配完备格.证据根据定义3.12，3.14和引理2.8，我们只需要对每个x∈A∈ A检查K x A。设对每个i∈I，Ai∈A，且Asup{Ai：i∈I}=i∈IAi.x∈A设存在i0∈I使得x∈Ai0，则Kx= inf{B∈ A：x∈B}<$170Z. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）∗N∈A。对于每个x∈N∈A，记Mx=M0={N∈A：N<$M}，其中{N∈ A：x∈N}。由于A在任意并下是闭的，因此Mx=M0=实际上，如果一个完整的半环- 半环是完全分配的，则它是C-半环-M=是一个C-- 半环j∈Jk∈K（j）f∈M j∈Jf∈M j∈Jf∈M a∈A{B∈A：x ∈B}<$Ai0.Q现在，给出下面的定理3.17是肯定的，它可以被看作是完全分配完备格的一种表示。定理3.17完备格是完全分配的当且仅当它同构于某个C-半环。例3.18设P是偏序集，记U（P）={A<$P：A= ↑A}。 很明显，U（P）是一个完全的- 半环对于每个x∈P，很容易得到Kx=↑x。因此族U（P）满足性质C。因此，它是一个C-- 半环从定理3.17可以得出，U（P）是完全分配的。完全晶格将性质C与条件（C）进行对比。实际上，- 半环A满足条件（）i满足性质C。inf {N∈ A：x∈N}=Ax.根据定义3.12，我们对每个F都有N∈x∈NMx，从引理3.16我们知道，C-半环是一个完全分布的。定理3.19完全半环是完全分配的当且仅当它证据我们只需要证明每个完全分配半环满足性质C。设完全半环A是完全分配的. 对 于 每个A∈A，设J={a：a∈A}，K（a）={U：a∈U∈A}，xa，U=U. 显然{xj，k：j ∈ J，k ∈ K（j）}是A的非空子集.根据定义2.6，我们有xj，k=xj，f（j）.其中M表示定义在J上的选择函数的集合，其值f（j）∈K（j）。在左边，xj，k=xa，U=U=Ka= Ka。j∈Jk∈K（j）在右边，a∈A U∈A：a∈Ua∈A U∈A：a∈Ua∈Aa∈Axj，f（j）=xa，f（a）.接下来我们将证明xa，f（a）= A.f∈M a∈AZ. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）171f∈M a∈Aa∈Aa∈Ay∈U=x∈Uτx。 则存在一个元素x∈U使得y∈τx<$U。Q如果我们通过f0（a）<$A选择f0：J→j∈JK（j），则f0∈M，并且xa，f（a）xa，f0（a）=A= A。另一方面，由于f（j）∈K（j），对于每个f∈M，f（a）∈{U：a∈U∈A}。所以a∈f（a）。因此a∈Axa，f（a）=a∈Af（a） 由于A∈ A，我们有A ∈A，xa，f（a）.f∈M a∈A这说明a∈A对于每个A∈ A，Ka = A。也就是说，A满足性质C。Q4具有性质C的拓扑设（X，τ）是一个拓扑空间.则按包含序的非空集合族τ在任意并和有限交下是闭的，因此它是完全半环。根据定理3.17，集合族τ满足性质C当且仅当它是完全分配完备格。对于每个x∈X，我们记为τx= inf{A∈τ：x∈A}=int{A∈τ：x∈A}。性质C对于一般拓扑空间（X，τ）可能不满足。请参见以下示例：例4.1设X = [0，1]，τ是由基{[0，a）：a∈ [0，1]}X生成的拓扑。则对任意x∈[0，1），τx=φ，τ1=X，所以τ不满足性质C。命题4.2设（X，τ）是具有性质C的拓扑空间，则族{τx：x∈X}是拓扑空间（X，τ）的基。证据 因为τx=int{A∈τ：x∈A}，{τx：x ∈X}<$τ. 设y∈U∈τ，定义4.3[10] c-空间是任何拓扑空间X，使得对于每个x∈X，对于x的每个开邻域U，存在一个点y∈U使得x∈int（↑y）。定理4.4设（X，τ）是拓扑空间.下列陈述是等价的。(i) （X，τ）是一个c-空间。(ii) （τ，τ）是一个完全分配格。(iii) τ满足特性C。证据注意int（↑x）=int{A∈τ：x∈A}=τx对任意x∈X成立。因此，（X，τ）是一个满足性质C的c-空间。Q现在我们考虑偏序集P的Scott拓扑σ（P）。定理4.5设P是偏序集，下列命题等价：172Z. 邹角，澳-地Li/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 333（2017）→→→{A∈σ（P）：证据 （1）蕴含（2）：设x∈U∈σ（P），σ（P）x=int{A∈σ（P）：x∈ A}.由于每个Scott开集都是P中的上集，则σ（P）x=int(i) P是连续偏序集。(ii) σ（P）是一个C-集.(iii) σ（P）是完全分配的。(iv) （P，σ（P））是一个c-空间。x∈A}int↑x=X. 由此判定x<$σ（P）x<$U，其中x∈U.以来P是一个连续偏序集，x∈U∈σ（P）意味着存在一个元素y∈U使得yX. 则x∈财产C。y<$σ（P）y<$U. 因此，集合族σ（P）满足(2) 由引理3.16推导出（3）。(3) 由[16]中的定理4.9导出（1）。Q引用[1] Cze'dli，G.， 恩，先生， 这是一个美丽的地方，B. 和Tep avcevic，A.， Charcharacteristictrianglesofclosure reopper ratorswithapplications in general algebra，AlgebraUniversalis 62（4）（2009），pp. 399-418[2] Buchi，J.R.，Representation of complete lattices by sets，Portugaliae Mathematica11（1952），pp.151- 167。[3] 戴维湾，澳-地A. 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