马尔可夫随机场的瓶颈潜力与局部项的最大值相关的建模与求解

3175马尔可夫随机场Ahmed Abbas1，2 Paul Swoboda11马克斯·普朗克信息学研究所，2蔡司摘要我们认为一般离散马尔可夫随机场（MRF）与额外的瓶颈潜力，惩罚最大的（而不是总和）超过当地的潜在价值的MRF分配。瓶颈潜力或类似的结构已被认为是在(i)组合优化（例如，瓶颈最短路径与拟合模型的最大偏差，并且是适当的例如，对于某些类型的组稀疏性[27，23，24]。 在所有上述场景中，全局势，其惩罚最大值分配w.r.t.一组给定的当地成本是适当的选择。我们称这个最大值为瓶颈，目标是找到一个配置，使其瓶颈具有最小的成本。形式上，优化瓶颈目标可以写成问题，最小瓶颈生成树问题，瓶颈函数最小化greedoids），（ii）逆minx∈X.Σmax{ψi·xi}我（一）（iii）（min，max）-预半环上的值约束满足问题。一般离散MRF的瓶颈潜力是MRF中的最大后验（MAP）推断的建模工作的上述方向的自然概括。为此，我们提出MRF，其目标由两部分组成：根据（i）（min，+）分解的项，即在普通MRF中的电势，以及（ii）（最小值，最大值），即瓶颈潜力为了解决随之而来的推论问题，我们提出了高质量的松弛和有效的算法来解决它们。我们的经验表明，我们的方法对大规模地震层位跟踪问题的有效性。1. 介绍在计算机视觉领域，MRF已经发现了许多应用，例如图像分割、去噪、光流、3D重建等等，参见[16]以了解问题和算法的非详尽概述。上述应用场景作为一个总和进行了很好的建模一元/成对/三元/。. . 潜在的图形结构。更一般地，每当拟合模型到数据的误差被局部项捕获时，目标可以分解为局部误差项的总和然而，这些目标并不总是适当的。在某些计算机视觉应用中，单个错误可能会导致后续错误，从而使解决方案变得无用，并且本地术语无法适当地惩罚这一点。突出的例子是跟踪问题[44，13，28，10]，其中犯一个错误并遵循错误的轨道会导致低精度。在反问题中，L∞-范数正则化惩罚了其中XRn是优化问题的可行元素空间，ψ∈Rn是实值向量。此外，瓶颈目标可以写为无穷范数x∞，其中是阿达玛乘积。2. 相关工作瓶颈型目标出现在数学规划的优化问题也常被称为最小-最大问题。MRF的潜在瓶颈。具有瓶颈势的成对二元MRF的情况已经在[32]中被解决并且已经被应用于图像分割。如[32]的作者所述，结合瓶颈项给出了更好的段边界，并解决了在[8]中，作者将离散标号问题的Lp-范数正则化和p∈[1，∞）解释为MRF中的MAP-推理，并提出通过p的一个高值来逼近对应于L∞的瓶颈势。在[18]中，提出了一类更一般的具有高阶代价的MAP推理，其中包括我们研究的瓶颈势。在[25]中，作者提出了一个模型，该模型可以专门用于线性距离的瓶颈成本，并给出了解决该问题的原始启发式算法。此外，在[37，33，11，29]中考虑了仅包含瓶颈目标的标记问题，其中[11，29]为纯最小-最大标记问题的特殊情况设计了算法，[37，33]设计了应用于并行机调度的消息传递方案。与以前的作品[8，32，37，33，11，29]相比，我们研究了普通和瓶颈的混合问题3176在同一个推理问题中，两种可能性都存在。与[32]不同，我们允许任意的MRF。也不同于[8，25]中的算法，我们的算法基于线性规划松弛，从而产生更严格的方法。最后，与[18]相比，我们提出了一个更强的放松（他们的对应于1）和一个算法，可以扩展到大的问题大小。组合瓶颈优化问题。许多经典优化问题都有瓶颈对应部分，例如。瓶颈最短路[15]、瓶颈生成树[12]和瓶颈函数优化[22]。上述工作只考虑了瓶颈势的情况与我们的工作更相似的是线性和瓶颈成本的混合情况，如[31]中对最短和瓶颈路径问题的研究。反问题中的L ∞ -范数正则化。 对于带有一致噪声的逆问题minx∈Rn <$Ax − b<$p，适当的范数选择为p=∞[5][第7.1.1章]。这个基本L∞范数的扩展在[27]中用于多任务学习，在[23]中用于多任务套索。 更一般地，具有L∞-范数的混合范数对于需要群稀疏性的问题是有用的。近端[27]、块坐标下降[23]以及网络流技术[24]已被提出用于此类问题的数值优化。基于半环的约束满足。在半环中-基本LconstraiJnt satisf action问题的目标是比较-与我们的工作最相似的是[44]的最小生成树启发方法。与[44]相比，我们考虑了一个严格定义的优化问题，我们开发了一种基于LP的原则性方法，而不是贪婪地选择解决方案。从概念上讲，2-D最短路径方法[13]也与我们的方法类似，但它不能扩展到我们感兴趣的3-D设置。此外，我们允许比[13]更复杂的目标函数。[43，39]的方法根本不使用优化，而是解决线性系统，需要更多的用户干预。捐款组织。第3节介绍了一般离散MRF的瓶颈势及其非线性推广。我们还考虑了一般MRF-成本组合的MAP-推理的混合w.r.t. （min，+）-半环和瓶颈势.在第4节中，我们推导出特殊的算法来解决链图通过动态最短路径方法的问题，并通过一个有效的枚举过程的图形没有成对的相互作用结合这两种特殊情况下，我们得到一个高品质的放松的情况下，一般的图形。为了解决这个松弛，我们提出了一个有效的对偶分解算法。在第5节中，我们凭经验表明，我们的方法导致一个可扩展的算法，提供了更高的精度地震层位跟踪相比，在普通的MRF和一个国家的最先进的启发式MAP推理。代码和数据集可以在https：//github上找到。普特xV∈XA∈EfA（xA），其中X是一个la-com/LPMP/LPMP。一个节点集V上的bellings，E是V和fA是只依赖于节点的函数，s uLbs eJtA[4 1，42，1 7，3，2]。对（，）的流行选择是对应于MAP-推断的（min，+）-半环和对应于MAP-推断的（+，×）-半环。来计算配分函数。与上述半环相反，对应于瓶颈势（min，max）的代数只是预半环（分配律不成立），因此在[41，42]中讨论的经典弧一致性算法不适用，需要专门对于（min，max）-预半环的深入研究，我们参考[9]。然而，我们的情况并不完全适合（前）半环为基础的约束满足设置，因为我们关心的混合情况下，其中（最小，+）-半环和（最小，最大）-前半环一起出现在一个单一的优化问题。在地平线跟踪中的应用。地震层位跟踪问题，即识别不同类型岩石床层之间的边界，已经在[44，13，43，39]中从计算的角度进行了讨论。作者在[44]中使用了一种受最小生成树问题启发的贪婪方法在[13]中，作者提出解决一个3. 具有瓶颈潜力的MRF首先，我们将回顾马尔可夫随机场（MRF）的最大后验（MAP）推理的经典问题其次，我们将引入瓶颈标签问题，该问题通过额外的瓶颈项来扩展MAP-MRF，该瓶颈项惩罚分配中所取的最大值的潜力（而不是MRF的总和）。3.1. 马尔可夫随机场：一个grapΣh将是具有无向边的元组G=（V，E）E. 每个节点i∈V都有一个标签集Xi2每个节点i∈V对应一个一元势θi：Xi→ R，每个边ij∈E对应一个Q成对势θij：Xi×Xj→R. We将调用XV=i∈V Xi标签空间aQ和x∈X是一个标号。我们定义F或子集U∈VXU=i∈UXi，类似地，我们引用标签xU∈ XU。特别地，xi指的是节点标记，并且xij=（xi，xi）指的是边标记。一个由图、相应的标号空间和位势组成的元组（G，X，θ）称为一个Markov随机场（MRF）。问题二维地震层位跟踪最短路径问题原始3D体积的部分。在[43，39]中，作者建立了线性方程组来解决水平跟踪问题。minθ（x），θ（x）：=x∈XΣi∈Vθi（xi）+Σij∈Eθij（xij）（2）3177.µ称为MRF中的最大后验（MAP）推理局部多面体松弛：我们使用过完备表示来获得优化问题（2）的线性规划松弛。对于i∈V，我们将来自Xi的第k个标签与独热编码ek=（0，. . . ，0，`1x，0，. . . 0），这是一个长度单位向量|Xi|K在第k个位置处为1换句话说，我们可以写Xi={e1，e2，. . . e|Xi|}i∈V. 类似地，我们可以写Xij={e1，. . .得双曲余切值.|Xij|}ij∈E. 为了得到一个卷积x松弛，我们定义一元边缘为µi∈convXi，i∈V，定义成对边缘为µij∈convXi，ij∈E.我们将一元和成对边缘耦合在一起以获得这是直截了当的，以适应我们的工作的情况下，多个瓶颈和三重/quadrupelt/。. . 潜力然而，为了简单起见，我们关注的是只有一个瓶颈和两个潜在瓶颈的模型.[32]考虑了问题（6）的一个特殊情况，其中作者只允许二进制标签，特殊形式的MRF成本和（b）=b。此外，在[8]中给出了扩展到多标签情况的启发式。下面我们提出了多标号链图的精确算法和一般图的LP松弛算法。Example. 在ζ（b）=b且MRF成本为零的特殊情况下，即θ=0，则问题简化为纯瓶颈标记问题：局部多面体松弛[40]。min max（φf（xf））（7）... µi（xi）=Λ=.Σxj∈X jΣµij（xij），ij∈E，xi∈ Xix∈Xf∈V∪E注意，如果我们知道最佳瓶颈值b在B中，则瓶颈标记问题可以简化为.µf∈ convXf，f ∈V ∪ E（三）MRFs中MAP推理问题这种减少可以通过将一元和成对MRF成本设置为∞来完成，有了局部多面体，我们可以放松MAP的问题-MRF（2）中的推论为：具有大于最优值b* 的瓶颈潜力的标签。即minµ∈ΛΣi∈Vθi，µiΣij∈Eθij，µijθe（xe）：=∞然后，约束（6b）将自动满足，注意，受约束（3）约束的松弛（4）是紧的对于一些图，如树和特殊的家庭的成本函数，包括不同形式的子模块[20]。3.2. 标签瓶颈问题：给定一个MRF，我们将它与第二组势相关联，我们称之为瓶颈势。然而，与MRF相反，相应的分配成本不是由各个潜在值的总和给出，而是由它们的最大值给出。在纯瓶颈标记问题（即具有全部为零的MRF势）的方法是找到标记，使得标记所取的最大瓶颈势值最小。定义1（瓶颈标签问题）。给出MRF。此外，还给出了一元瓶颈势φi：Xi→R<$i∈V和两两瓶颈势φij：Xi×Xj→ R <$ij ∈ E. 我们把瓶颈势所取的所有可能值的集合称为瓶颈值，即B={φf（xf）：f∈V∪E，xf∈Xf}.（五）设瓶颈成本ζ：B→ R已知。瓶颈标记问题被定义为MAP推理问题的可行解。4. 算法：在本节中，提出了用于解决瓶颈标记问题的算法首先，我们提出了有效的和精确的算法，无边图和链图。稍后，我们将使用这两个算法来解决一般图上使用对偶分解的问题。无边图和链的算法设计的最终目标是在一般图的对偶分解中使用它们，因此包含额外的步骤。4.1. 一元势的瓶颈标记假设图形模型不包含任何边，即E=0，所以只需要考虑一元势这种情况下的问题（6）可以用算法一元瓶颈有效地解决。算法一元瓶颈枚举所有瓶颈值-按升序排列对于每个瓶颈值b，通过为每个节点i选择最佳标记w.r. t，可以找到最佳节点标记。对于瓶颈约束（6b）是可行的。此类标签的成本存储在M中。在连续瓶颈值之间更新最佳节点标签可以通过仅检查minx∈X，b∈Bθ（x）+θ（b）（6a）（6）改变了可行集的节点。最后，S.T.φf（xf）≤bf∈V∪E（6b）并且θ（x）在（2）中定义。最佳瓶颈值可以通过下式计算（b*，c*）=arg min [c+ζ（b）]（9）（b，c）∈M3178一元瓶颈：一元图瓶颈标号数据类型：无边MRF：（G =（V，），X，{θi}i∈V），瓶颈势：{φi}i∈V。链作为最短路径有向图D =（W，A）中的一对节点xi和xi。 每个一元成本θi（xi）成为（xi，xi）的弧成本。 每个成对成本θij（xi，xj）变成弧成本（xi，xj）。源节点s和宿节点t是连续的。结果：成本s。标签：c= minx ΣΣi∈Vθi（xi），与图形型号 最短路径M=（b，c）：φi（xi）≤bi ∈ V。问题. 算法链给dag在附录中给出了//合并Θ中所有节点的标签：1Θ={（i，xi）：i∈V，xi∈Xi};2 根据φi（xi）对Θ排序;3 c=0，l=∞ ∈ R |V|，S=，M=;一般建设。图D中代价为σ（P）的最短s，t-路P对应于链图模型G中（6）中θ（x）的最优标号.4对于（i，xi）∈Θ以升序do5如果i∈/S，则6S=S{i};7c=c+θi（xi）;8li=θi（xi）;uθuθuvV Wθvθ vw9端部如果θi（xi） b，则14σl（ni，nj）<$∞//标记为不可行15末端16端部17yl=（Wl，Al，σl）中的最短s，t-路;月18日结束用于原始舍入的程序。然而，我们的强松弛并不容易允许最小边际计算的有效方法。具体而言，对于（13b）中的子问题J（n），很难重用计算来有效地重新计算不同变量的最小边际，这使得任何消息传递方法都很慢。舍入只在最后执行一次，因此非常有效的最小边际计算不太重要。X1X4X2X3X1X4X2X3y1y4y2y3X1 1x2x 214X1 2X13X2 3y21y14y31y34y22y13y42y4331825. 实验图3.地震层位跟踪问题中常规MRF（-虚线橙色）与具有额外瓶颈潜力的MRF（-实线绿色）相比的示例性失败案例。（+）表示种子。MRF解决方案产生一个具有高成本的局部错误，并开始跟踪另一个更平滑的层，从而导致整体成本更低的解决方案。瓶颈项惩罚这样的高成本错误并导致正确的轨道。我们将我们提出的技术应用于开源子表面体积数据（a.k.a.）中的跟踪层（hori- zons）地震体积）。层位的精确跟踪是地球物理应用地震解释中最重要的问题之一。典型地震体的横截面图见图3流行的贪婪方法，如[44]，依赖于通过建立附近点之间的对应关系来跟踪地平线，这些点以高概率位于同一地平线上因此，它们容易陷入局部最优。另一方面，跟踪视野的自然选择是将问题陈述为MRF中的MAP推断，对于MRF，存在对局部最优不太敏感的高质量求解器。(a)地面实况（b）MST（MAD=1.6212）(c)MRF（MAD=7.1435）（d）B-MRF（MAD=0.8881）图4.地平表面F3的结果比较-荷兰-I，颜色表示表面的深度。平均绝对偏差（MAD）分数用作误差度量。MRF解决方案是分段平滑的，但跟踪错误的层，MST在右上角和左下角区域是不正确的，而我们的方法的B-MRF具有最小的错误。最好用彩色观看。然而，MRF的成本结构不足以解决我们的问题。具体地，MRF能量由在图形模型的节点和边缘上定义的局部项的总和组成，所述局部项分别考虑种子节点和相邻节点之间的相似性对于成本函数，如果错误的水平线更自相似并且在几个位置处支付更高的相异性成本，则跟踪错误的水平线可能更有利，而不是如果正确的水平线更难以跟随则跟随正确的水平线这个问题因通常相当弱的一元成本而加剧（见下文）。对于这种行为的说明，我们参考图3。我们认为，潜在的瓶颈弥补了MAP-MRF的这一缺点，同时保留了其优点。与MRF的一元势和成对势相比，瓶颈势惩罚跟踪中的单个大的不连续性，该单个大的不连续性来自于层之间的跳跃，而不是源于难以跟踪的水平的多个小的不连续性因此，它更喜欢跟随一个崎岖的地平线，没有一个大的跳跃，然后是一个容易跟踪的地平线。层位跟踪中的进一步计算挑战是：• 附近的岩石层看起来与所考虑的层非常相似，因此跟踪算法很容易跳到错误的层。• 由于地下环境中的结构变形，岩石层可能具有不连续性。• 视界的外观在不同的地方会有所不同附近的层位可以分叉或消失。这使得我们的模型（6）的可靠成本项的估计变得困难。• 地震勘测的规模可以是巨大的。一些开放源地震体覆盖3000平方公里的调查区域.相应的输入数据大小为100GB。• 缺乏既定的开源地面真相，评估过程和参数学习困难。地震层位跟踪公式：我们的输入是尺寸为N1× N2× D的三维地震体，其中D对应于深度轴，N1、N2分别对应于x、y轴。 对于体积中的每个位置（x，y）∈ [N1] ×[N2]，我们试图分配一个深度值z ∈ [D]。我们将其形式化为搜索标记函数z：[N1]×[N2]→[D]。对于计算实验，我们使用了公开可用的地震卷[36]。由于缺乏可用的地面实况，我们选择了三个 卷 （ F3 Netherlands 、 Opunake-3D 、 Waka-3D），并使用商业地震解释软件手动跟踪了11个层位[14]。一位经验丰富的地震解释员花了两天时间进行注释。匹配成本：为了跟踪视野，已建立的最先进的跟踪算法[44，43，13]依赖于计算可能位于或可能不位于同一视野上的补丁之间的相似性得分。传统上，这是使用依赖于互相关或opti的手工制作的特征来完成的3183N·N1 21F3-荷兰Opunake-3D Waka-3DI II* III* IV V* VI I* II I * III* IV实例大小Σ表1. Top：水平面的实例大小。 |V|表示节点总数，|Xi|每个实例中的标签总数。i∈V中间：与地面实况的平均绝对偏差。底部：使用MST[44]，TRWS [19]求解器的MRF和我们的方法的B-MRF。* 标记用于训练CNN以计算补丁相似性的水平表面（14）。calflow 在基于CNN的架构在计算补丁相似性方面取得巨大成功之后，我们选择了基于学习的方法[45，38]。具体来说，我们扩展了2-D补丁相似性CNN [45]的架构，以有效地处理3-D结构。 CNN架构和训练程序见图6和附录中的第6.1节。 我们训练两个CNN来计算节点i=（xi，yi），j=（xj，y j）的深度标签z ij = z i，zj之间的匹配概率。两个神经网络工作CNNn和CNNf分别计算相邻和非相邻节点之间的匹配概率给出标签，并且迭代地标记将标签分配给贡献最小成本w.r. t的相邻节点一元势和成对势。• MRF：我们用TRWS [19]求解G=（V，E）上的MAP-MRF，其中一元和成对势θ• B-MRF ： 我 们 还 包 括 成 对 瓶 颈 势 的 瓶 颈 项（19）。我们用4.3节中的算法解决这个问题，并用4.4节中的程序对原始解进行舍入。结果：表1列出了跟踪水平表面的不同方法的平均绝对偏差（MAD）。MAD是pij（zij）=CNN （Ii（zi），Ij（zj））∈[0，1]（14）计算为d-d~1，即，中差的L范数n|F在（14）Ik（zk）中，是以（xk，yk，zk）为中心的63×63的双通道图像。图形构造：我们换个说法计算深度-作为图中的标记节点考虑网格图G=（V，E），节点V=[N1]×[N2]对应于地震体的x 和y轴上的点边E 由（x ，y ）网格诱导的4−邻域给出对于每个节点v∈V，标签空间是Xv=[D]。因此，深度标记对应于节点标记V。我们根据（14）中计算的补丁匹配代价计算一元θv：[D]→ R，v∈V和成对势θuv：[D]×[D]→R，uv∈E关于unary和unary的更多信息成对电位见附录6.1节。算法：我们比较我们的方法与一个普通的MRF，和一个国家的最先进的启发式水平跟踪的基础上最小生成树（MST）问题的一种变体。• MST：[44]的地平线跟踪方法是一种贪婪方法，其灵感来自Boruvka它首先标记种子所在的节点跟踪的表面d和地面实况d，由表面的尺寸N1、N2归一化从表1中我们可以看到，我们的方法B-MRF优于MRF和MST在大多数问题上有很大的优势。由此产生的深度表面可以在图4中看到，其余部分在附录中看到。检查结果，我们看到，MRF发现分段连续分配不一定对应于正确的表面，但更喜欢容易跟踪的。另一方面，MST通常很好地跟随地平线，但一旦它错误地我们的方法在很大程度上解决了这些缺点所得到的表面是平滑的，并且通过由于普通的一元和成对MRF成本而有利于分段平滑区域，在比MST和MRF两者更大的程度上跟踪正确的表面，但是由于附加的瓶颈成本而遵循不进行不正确跳跃的轨迹。由于我们优化了一个整体的能量，凸松弛方法，我们遭受更少的贫穷的局部最优比MST。另一方面，更有表现力的优化模型和先进的算法，使B-MRF获得更高的精度也导致更高的运行时间。|ΣV||Xi|i∈V263K小行星3271K十五万三千1768K362K小行星4394K十五万三千小行星1422K23万1千1896K101K944K443K406K小行星2965K2630K614K3524K366K2020K601K3110K614K3646K与地面真实值的MST1.62121.12451.65420.12830.10881.53190.49300.45962.00600.27590.94571.6108MRF7.14356.21053.21690.15400.08962.44980.47860.90021.40730.02210.42451.2388B-MRF0.88810.26440.08890.04630.08941.60490.48870.42091.18550.01160.41351.0377运行时间（秒）MST14719367888578MRF673139931626533114522740226877813184引用[1] 彼得·巴克。地震解释中的图像结构分析博士论文，代尔夫特理工大学，2002年。十一、十二[2] S.比斯塔雷利软约束求解的半环及程序设计。计算机科学讲义。Springer Berlin Heidelberg，2004. 2[3] S.比斯塔雷利大学Montanari，F. 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