等谱化：从拉普拉斯谱中恢复物体形状的数值处理方法

4321等谱化，或如何听到形状，风格和对应关系威尼斯大学luca. unive.it马克斯·奥夫斯亚尼科夫理工学院maks@lix.polytechnique.fr米哈伊尔·帕宁理工学院mpanine@lix.polytechnique.frMichael M.布朗斯坦帝国理工学院/USIm.bronstein@ imperial.ac.uk罗马大学rampini@di.uniroma1.itEmanuele Rodola'Sapienza罗马emanuele. uniroma1.it摘要能否从拉普拉斯谱中恢复几何物体的形状（“听鼓的形状”）是谱几何学中的一个经典问题，具有广泛的含义和应用。虽然理论上这个问题的答案是否定的（存在等谱但非等距流形的例子本文介绍了一种称为等谱化的数值处理方法，即通过对一个形状进行变形，使其拉普拉斯谱与另一个形状的拉普拉斯谱相匹配。我们利用现代可微编程技术实现了等谱化过程，并将其应用于几何处理、计算机视觉和图形学中的一些经典和著名的难题，如形状重建、姿态和风格转换以及稠密可变形对应。1. 介绍你能听到鼓的形状吗？这是谱几何中的经典问题，因马克·卡茨的epperial论文而闻名从经验上讲，形状与其声学特性之间的关系早已为人所知，至少可以追溯到中世纪的钟匠。然而，虽然已知谱承载形状的许多几何和拓扑性质，诸如面积、总曲率、连接分量的数目等，现在已知不能“听到"度量。高维流形的例子是等谱的，但不是等距的，在1964年已经被构造出来[27]（早于Kac的论文），但直到1992年才产生一个2D多边形的反例，对Kac的论文给出了否定的重建选购配件目标init.无等光谱化有等光谱化图1. 顶行：来自频谱的米奇：我们通过变形初始椭圆体形状，从其前20个拉普拉斯特征值（在最左边的图中以红色示出）恢复米老鼠的形状;地面实况目标嵌入在我们的重建顶部以红色轮廓示出。底行：对准拉普拉斯本征值我们展示了等谱化之前（左）和之后（右）用基线匹配算法获得的对应。对应的点用相同的颜色表示。问题[16，15]。然而，无论从理论还是实践的角度来看，形状和光谱之间的关系问题具体来说，反例是规则还是例外，目前还不能确定。到目前为止，一切都指向后者。事实上，有已知的流形类，其中谱重构是一般可能的。见[39，40，41，18]这些结果。因此，理论上存在相当“奇异”的非等距反例是合理的。75297530在实践等谱流形不排除从其谱重建形状的可能性。这正是本文所探索的方向。我们引入一个数值程序，我们称之为isospectralization，其中包括变形网格，以配合其（有限）拉普拉斯频谱与给定的。我们使用深度学习应用中使用的现代可微编程工具来实现这个过程，并展示了它在几何处理、计算机视觉和图形学中的一些基本问题中的有用性。例如，我们认为等谱化（带有一些额外的先验，如平滑度和封闭体积）在某些情况下可以用于从光谱中恢复物体的结构，从而实际上听到鼓的形状（见图1，顶行）。除了罕见的反例，重建是模糊的内在等距。这种二义性表现为将网格嵌入到R3中的一种选择.这使我们能够使用等光谱化过程来传输风格和物体之间的姿势，类 似 于 [11] ： 我 们 初 始 化 一 个 源 形 状 和 应 用isospectralization获得目标形状的特征值;结果是具有源形状的姿态但具有目标的几何细节的形状。更值得注意的是，我们表明，通过等谱化预扭曲非等距形状可以显著帮助解决寻找它们之间的内在对应性的问题（图1，底行），这表明我们的过程可以是一般对应管道的通用预处理技术。贡献我们考虑形状从特征值的问题，并探讨其相关性，在选择的问题，从计算机视觉和图形学。我们的主要贡献可概括如下：• 尽管是高度非线性和难以计算的，我们第一次表明，逆映射之间的几何域和它的拉普拉斯谱是可寻址的现代数值工具;• 我们建议采用简单的正则化子来驱动频谱对齐向数值最优解;• 我们展示了我们的方法在2D和3D设置，并显示应用程序的风格转移和密集映射-平的非等距变形形状。2. 相关工作从光谱重建形状的可能性在理论物理学中是有意义的[22]，并且自60年代以来一直其（完整）光谱[6]。在Milnor [27]的开创性工作中，等谱性与等距性问题得到了否定的答案，Kac [21]和Gordon等人提供了额外的反例。[16]举一些经典的例子。关于这一专题的理论文献的全面调查不在本文的范围之内;下面，我们只考虑如何从（有限）拉普拉斯特征值的唯一知识实现度量嵌入的远未充分探索的实际问题。另一类相关但更一般的问题取了一个有点误导性的名称，即逆本征值问题[13]，它涉及从规定的光谱数据重建一般的根据系统的矩阵表示，存在不同的问题公式;然而，在大多数情况下，还假设至少部分特征向量的知识在计算机视觉和几何处理领域，Cherteret al. [32，33]研究了用于3D形状检索任务的拉普拉斯特征值的信息量。作者提出采用拉普拉斯谱作为全局形状签名（称为然而，测量特征值携带关于形状的几何和拓扑信息的程度是一个悬而未决的问题。最近，已经尝试从完整的拉普拉斯矩阵或其他内在运算符重建3D形状这种方法与我们的方法不同之处在于，它们利用了输入算子矩阵中编码的完整信息，而我们只假设给定算子此外，这些方法遵循两步优化过程，其中首先从输入矩阵重建黎曼度量（离散情况下的边长），并且在第二步中获得嵌入。正如我们将展示的，我们通过直接求解最终嵌入来进行值得一提的是，从其度量重建形状的问题本身被认为是一个具有挑战性的问题[10，12]。在计算机图形学中，几种形状建模管道涉及在已知网格连接性和用户提供的位置地标形式的附加外部信息下求解嵌入[35]。与我们的问题更密切相关的是[17，19]的形状配准方法。作者建议解决两个给定曲面的度量的共形重标度，使得得到的特征值很好地对齐。虽然这种方法与我们的总体目标是对齐光谱，但基本假设是要给出拉普拉斯矩阵和几何嵌入。最近在[34]的共形预扭曲技术中提出了一种类似的方法，用于使用函数映射进行形状对应。一个相关但不同的逆谱问题7531拉希vH吉赫3ℓ−ℓ−ℓ我在[7]中在那里，任务是优化形状vi当敲击特定的地方时，金属音键产生所需的声音。规定声音包括规定频率（本征值）的稀疏选择和当键被敲击时频率被激发的幅度还期望抑制其它频率。这与我们工作中所追求的重构不同此外，vi吉吉VJ[7]通过设计特定特征函数的节点集来实现，从而使这种类型的方法更接近于部分描述的逆特征值问题[13，第5章]。也许与我们的方法最密切相关的是已经探索了在粗三角形化表面[1]和平面域[31]的情况下从其光谱重建形状的可能性的方法。这些工作还表明，非等距等谱形状是非常罕见的。与本文相比，[1]和[31]研究的是自由度较少的形状。在那里，形状由少于30个参数规定，同时我们允许网格中的每个顶点移动。3. 背景歧管。我们将一个形状建模为一个紧连通的二维黎曼流形X（可能具有边界元X），它嵌入R2（平面形状）或R3（曲面）中。X上的内禀梯度算子和半正定Laplace-Beltrami算子将相应的梯度和Laplacian概念从欧氏空间推广到流形上。特别地，该方法允许谱分解∆ϕi (x) =λi ϕi(x)x∈int（X）（一）⟨∇ϕi(x),nˆ(x)⟩=0x∈ <$X，（二）齐次Neumann边界条件（2）;这里图2. 本文所用的符号。 边eij的长度为ij;三角形F ijk的面积为A ijk。 阴影多边形表示在vertexv j处的局部区域元素aj。鼓）。这一事实可以用于重建算法中，例如，通过提供具有近似所寻找区域的初始嵌入。离散化在离散设置中，我们的形状X由在顶点V={v1，. . . ，v n}，并且其中每个边e ij∈E i<$E b属于至多两个三角形面F ijk和F jih。 我们用E i和E b分别表示内部边和边界边. 离散黎曼度量是通过给每个边e ij ∈ E指定一个长度<$ij> 0来定义的;符号见图2。通过将Rd中的坐标分配给顶点V来实现X的d维嵌入;这 些坐 标 被编 码 在 包含d 维 顶点 坐 标Vi （ i =1，.）的n×d矩阵V中。. . ，n作为其行。因此，边长可以用V表示为：ij（V）=对所有的eij∈E.离散Laplace-Beltrami算子假设一个n×n矩阵的形式<$=A−1W，w<$这里A是一个对角线表示到边界y的法向量。局部区域元素矩阵ai=1jk：ijk∈FAijk，以及江西篇章X的谱是它的拉普拉斯算子的特征值序列。这些形成一个离散的集合，它是一个规范有序的非递减序列：W是边方向权重的对称矩阵，根据离散度量定义为1：ℓ2−ℓ2 −ℓ2ℓ2−ℓ2 −ℓ2ijjk ki+ijjh hi如果eij∈Ei0 =λ1<λ2≤· ··，（3）wij=08Aijk2 2 2伊吉 吉希2008Aijh8Aijh如果eij∈Eb（六）其中λ1由于X的连通性而具有重数1;当i >1时，λi的重数与X的内对称性有关.有序序列的增长率（λi）通过Weyl渐近定律进一步与X的总表面积相关-k/=iwik，如果i=j这种离散化显然取决于网格连通性（由边E和三角形F编码）和顶点坐标V（通过长度ij）;因为两者都不起作用。λ∼∫4πXdxi， i→ ∞。（四）在我们的重建问题中起着重要的作用，我们通过写X（V）来明确这种依赖关系。这个结果清楚地表明尺寸可以直接从光谱中推导出来（即，一个人可以1可以很容易地证明，这种离散化等价于经典余切公式[26]，参见例如：[20]第20段。基拉希VKvH吉吉格赖克吉赫VJ7532IJ+2Init.k=20k= 30目标0的情况。90090090Init.0的情况。920950 930的情况。920920的情况。93094图3.在增加网格分辨率（n= 100、200和300个顶点从上到下增加）和带宽（k= 10、20和30个特征值从左到右增加）时的形状恢复在每个测试中，目标的网格图连通性是已知的，并输入到优化过程。我们在每一次重建的下面报告IOU分数。更精细的采样显著改善了反射质量，而将带宽扩展到k= 30以上不会导致进一步的改善。4. 等谱化我们的方法建立在这样的假设上，即知识边缘的频谱的一个有限的部分是足够的，以固定的形状的域，给出一些最小量的额外的信息，我们的短语作为简单的正则化。我们考虑这种形式的逆问题：0的情况。930950 93图4.在两种不同的初始化条件下，未知网格连通性的形状恢复我们在每个恢复的嵌入下面报告IOU分数。从图3中可以看出，在这些测试中，网格镶嵌是任意选择的，与特征值的输入序列无关。我们观察到几乎完美的对齐;我们参考第4.3节的实现以了解更多细节。4.1. 扁平形状当嵌入空间为R2时，形状X完全由其边界线X决定。出于这个原因，我们考虑问题（7）的一个变体，其中我们仅对边界顶点进行优化。调节者。 我们采用的是复合刑ρX（V）=ρX，1（V）+ρX，2（V）， （9）其中ρX，1（V）是促进短的Tikhonov正则化子minV∈Rn×d λ（边长，因此网格尺寸均匀：Σ其中V是Rd中网格顶点的（未知）嵌入，<$X（V）是相关的离散拉普拉斯算子，ρX，1（V）=eij∈Eb第2条（五）、（10）是下面定义的加权范数，且μ，λ分别∈Rk-并且ρX，2（V）被定义为：表示输入序列和前k个特征值（V）X。函数ρX是嵌入的正则化器，实现了所寻求的自然期望，2（V）=（Σijk∈F（Rπ（vj−vi））<$（vk−vi））−，（11）2溶液应满足某些所需性质。对（7）中的数据项使用标准的102范数将其中Rπ 2. 0−1Σ10将2D向量旋转π和（x）−=不导致精确的形状恢复：自2000年以来，频谱说明了嵌入的小的几何变化，通过完美地对准高频并将大部分对准误差集中在下端（这说明了更全局的形状外观），可以达到局部最优。为了使误差扩散更加均衡，我们采用加权范数（min{0，x}）2.该术语惩罚可能在整个优化过程中发生的三角形翻转，并且在顺时针定向三角形的假设下工作。误差测量。我们将重建质量量化为恢复的嵌入和目标嵌入的交集与它们的并集的面积比（IOU，越高越好）。Σkλ−µ（λ i− µ i）2.（八）称为最佳对准。在我们的图中，我们用蓝色轮廓可视化恢复的嵌入，i=1i问题（7）寻求一个欧几里得嵌入，其拉普拉斯特征0的情况。940的情况。91=17533值与作为输入给出的特征值对齐这个问题是高度非线性的，因此特别困难，使它容易受到局部最小值的影响。然而，在我们所有的和一个红色轮廓的地面真实（未知）目标。网格分辨率和带宽。通过使用离散拉普拉斯算子，我们的优化问题直接受到离散化质量的影响。我们通过在不同的7534F初始化重建Init.选购配件目标1010源迭代250迭代500迭代1000图5.非单连通形状的重建在右侧，我们还显示了初始、优化和目标光谱。105网格分辨率（根据顶点的数量）和频谱带宽（输入特征值的数量k结果报告于图3中。10010-50 100 200 300 400 500 600 700 800900迭代例子. 在图4中，我们显示了不同形状的其他重建结果。我们注意到，与以前的测试不同，在这些实验中，我们不作为-sweep的网格连接是已知的。通过这种方式，我们将自己置于最一般的设置中，其中唯一的输入信息由特征值表示，从而排除可能隐含在连通性图中的任何几何辅助。图7.在我们的平面形状交替优化过程中的能量图。能量的尖峰是由于三角形翻转;优化过程能够从这种情况中恢复，并达到接近全局最优值的稳定最小值。收敛定理为：. 1张图片 jikjijkTopology. 在我们的管道中没有任何一点我们假设-ρX，2（V）=−11（（v −v）×（vijk∈F−v））（v+v+v）折叠成简单连接。一个恢复的例子带孔的形状如图5所示然而，我们确实假设知道拓扑类（例如，环状而不是盘状）。4.2. 表面在更一般的嵌入R3的情况下，我们再次采用复合惩罚ρX（V）=ρX，1（V）+ρX，2（V），其中有两个不同的正则化子。第一个正则化子要求顶点位于它们的单环邻居的重心上。其定义为：ρX，1（V）=ΔLV2，（12）其中L是初始嵌入的图拉普拉斯算子。该术语具有促进平滑表面和更均匀采样嵌入的效果[35]。第二正则化子是体积扩展项，其中形状体积经由（离散的）二阶导数估计图6.具有不同体积的两个等距形状;它们的（相同的）光谱显示在右侧。体积正则化器（13）允许消除两个解的歧义。（十三）这个术语在消除因体积变化而产生差异的等距性时很有用（见图6）。4.3. 实现细节在平面形状场景中，即使我们仅在边界顶点上优化（7），内部顶点也需要移动，以便保持规则的采样。我们通过交替优化来实现：首先，边界顶点更新10次迭代;然后通过最小化其引入的平方边长来重新定位内部顶点。为了避免退化三角形，在200步之后，我们还从头开始重新计算一个新的三角形，同时保持边界边固定。虽然这个过程没有收敛保证，但我们在所有实验中都观察到了收敛图7和图8中示出了最小化期间的能量行为的示例。对 于 数 值 优 化 ， 我 们 利 用 自 动 微 分 ， 并 采 用Tensorflow [2]的Adam [24]优化器，采用正则化器权重的余弦衰减策略除非另有说明，我们只使用平面形状和表面上的前30个特征值，分别重新采样到400和1000个点。我们最后注意到，我们的优化策略不能保证达到（局部或全局）最优;然而，在我们所有的测试中，我们根据经验观察到特征值对齐后的数值残差可以忽略不计。总损失-内部总损失-边界特征值abs diff-inner特征值和差边界Ri-三角剖分步长值7535我源迭代100迭代400迭代1200102101100十比一10-210- 30 200 400 600 800 10001200迭代图8.重建过程的一个例子;目标是具有类似于最右边嵌入的凸起的立方体。每个形状下的图显示当前特征值对齐（目标是蓝色曲线）。观察由于立方体的对称性而形成的阶梯状图案在右边，我们显示了总能量的演化（红色曲线）和本征值对齐的残差（蓝色曲线）。Xψ1ψ 2ψ 3ψ 11ψ 12ψ 13ψ 14ψ 15ψ16⟨ψi,Tφi⟩X′′ ′′′ ′ ′ ′ ′′Tφi1Yφ1φ 2φ 3φ 11φ 12φ 13φ 14φ 15φ 16图9.非等距形状匹配的等谱化导致的特征空间的对齐从源形状X（第一行）开始，我们的算法求解一个新的嵌入X′（中间行），该嵌入X ′具有与目标Y相同的拉普拉斯特征值。注意X′如何具有X的姿势，但具有Y的风格。值得注意的是，本征值对齐导致了相应本征函数的对齐，使得对（'，φi）比初始对（i，φi）更相似。 这反映在更多的对角功能映射矩阵（最右边的列）中，这反过来又导致形状匹配算法的更好条件。5. 形状分析中的应用5.1. 非等距形状匹配我们已经将我们的形状优化方法应用于找到非刚性形状之间的对应关系的问题。 在这个设置中，我们给出了一对3D形状X，Y，都表示为三角形网格，我们的目标是找到它们之间的稠密映射T：X → Y。这是计算机视觉和计算机图形学中一个非常好的研究问题，多年来提出了广泛的技术（参见[37，36，8]的几项调查）。非刚性形状匹配是特别困难的，因为它将需要设计能够以全自动方式处理任意变形的通用对应算法。一个非常成功的非刚性子类形状变形是内在等距的，其中假设基础映射T近似地保持形状上的点对之间的测地线距离。已经提出了大量有效的方法以解决在此假设下的形状匹配问题[4，8]。与此同时，大多数这些技术的结果在非常差的对应关系时，内在等距的假设不满足。Approach. 我们的主要观点是，两个形状的光谱的对齐可以使它们更内在地等距，从而可以促进使用现有技术找到准确的对应给定形状X，Y，具有拉普拉斯谱λX，λY，我们建议使用以下三步方法找到它们全损特征值绝对差· ··· ··· ··值75361008060402000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5测地误差参考之前后参考之前后等光谱等光谱等光谱等光谱图10.非等距形状匹配的结果左边的图是来自FAUST受试者间数据集的60个非等距形状对的平均值为了可视化对应关系，我们使用它来将纹理从参考形状转移到目标。1. 使X变形以获得X′，其光谱λX′与λY更好地对准。2. 使用现有的等距形状匹配算法计算对应T′：X′ →Y3. 使用X和X′之间的恒等映射将T′转换为T：X →Y。我们的主要直觉是，如上所述，尽管存在例外的反例，但在大多数实际情况下，这个过程很可能使形状X′和Y接近等距。因此，我们期望等距形状匹配算法将Y匹配到X′，而不是匹配到原始形状X。最后，在计算出一个映射T：X′ → Y之后，我们可以很容易地将它转换成一个映射，因为X，X′是1-1对应的。上述方法建立在值得注意的观察基础上，即对准拉普拉斯特征值也引起两个形状的特征空间的对准。这在图9中的一个真实示例上进行了说明，其中我们显示了两个非等距表面（一个男人和一个女人）在等谱化之前和之后的本征函数子集。在某种意义上，等谱化实现了由前k个拉普拉斯特征函数所跨越的函数空间的无对应对齐的概念实施. 对于这个和下面的应用程序，我们通过优化位移场而不是问题（7）中的绝对顶点位置来替换优化变量这样做，我们观察到恢复的嵌入质量更好。我们已经通过使用基于功能图框架[29，30]的现有形状对应算法[28]实现了上述方法。 一这种方法的优点之一是它是纯内禀的，并且仅取决于从两种形状的Laplace-Beltrami算子导出的量。备注。优化形状X′图11.在等谱化之前（左）和之后（右）的非等距形状匹配。根据第5.1节的算法计算对应关系。不起作用，并且可以与Y不同。 换句话说，我们的目标不是再现形状Y，而是仅使用我们的形状优化策略作为辅助步骤来促进形状对应。我们使用[28]的基于函数映射的算法以及作者提供的开源实现。该算法首先通过使用几个保偏算子和正则化约束来求解拉普拉斯特征基[3]中表示的函数如在[28]中所做的那样，我们使用波核签名[5]作为描述符和与Laplace-Beltrami算子的交换性来进行映射正则化。这导致了一个凸优化问题，可以有效地解决与迭代拟牛顿法。最后，我们使用谱域中的最近邻搜索将函数映射转换为逐点映射，如[29]所示。我们通过测量相对于一些外部提供的地面实况图的平均测地误差来我们参考图1（底行）、10、11和12获得定量和定性结果。5.2. 风格迁移作为第二个可能的应用程序，我们探索的任务之间的风格转换可变形的形状。给定一对之前后%对应性7537外星人的家园1马对骆驼0的情况。80的情况。60的情况。40的情况。200 0.1 0.2 0.3 0.40.5测地误差0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5测地误差源姿态X图12.图1的homer/alien对和图11的马/骆驼对的非等距形状匹配的定量评价。等谱化导致对应精度的显著提高。曲面X（源）和Y（目标），想法是修改X的几何细节以匹配形状Y的几何细节。我们通过从特征值λY恢复R3中的嵌入来简单地做到这一点，其中我们用源形状X初始化优化。该过程的定性示例如图13所示。备注。我们强调，这种在给定形状之间传递样式的方式是完全不需要对应的，因为它不需要它们之间的映射。这与[25，11]等现有方法不同，除了需要整个拉普拉斯矩阵外，还需要X和Y之间的精确映射作为输入。6. 讨论和结论“振动无处不在，与之相关的本征值也是如此。”(Par-lett，1998年）在本文中，我们通过引入一种称为等谱化的数值过程，解决了几十年来从其拉普拉斯特征值的（部分）测量中恢复度量嵌入的问题，试图使形状嵌入变形以使其拉普拉斯特征值与一个给定的光谱。我们发现值得注意的是，使用等谱简化了寻找形状之间的内在对应关系的问题，使我们能够显着提高标准管道的形状匹配几乎免费。有趣的是，没有先验保证等谱化过程以合理的方式使形状变形（例如，可以想象，将马等谱化为骆驼将导致马我们的研究结果表明，这种情况不会出现在实践中，当使用类似梯度下降的算法，逐渐变形的形状。换句话说，我们的等谱化方法以一种有意义的方式变形了形状。将感兴趣的是获得数学精确的目标样式+源姿势（X′）目标样式Y图13.光谱对齐可用于样式转换。在这四个示例中（每列一个），我们将目标形状（第三行）的样式转移到源形状（第一行），获得中间所示的嵌入。既然我们使用较少的特征值，仅传递平滑的细节。彩色houseatmap编码测地线距离的失真e （ xi ） =xj∈A<$dA （ xi ， xj ） −dY （ T （ xi ） ， T（xj））<$2，其中T是从A= {X，X′}到Y的地面实况映射;由于距离越大，其在分支上越高。这种意义的表述。这在形状匹配和光谱几何学领域的潜在数学兴趣方面都具有实际重要性。致谢作者希望感谢Alex Bronstein进行了有益的讨论。ER和AR由ERC启动补助金编号支持。802554（SPECGEO）。MB和LC部分由ERC Consolidator Grant No.724228（LEMAN）和谷歌研究学院奖。MB还部分支持英国皇家学会沃尔夫-森研究优异奖和鲁道夫柴油工业奖学金在慕尼黑工业这项工作的一部分得到了谷歌Fo-cused研究奖，KAUST OSR Award No.OSR-CRG 2017 - 3426是NVIDIA公司和ERC启动补助金No. 758800（EXPROTEA）。之前后%对应性7538引用[1] David Aasen，Tejal Bhamre和Achim Kempf。声音的形状Physical Re-view Letters，110（12）：121301，2013.[2] Mart 'ın Abadi，Ashish Agarwal，Paul Barham，et al.张量-流量：异构系统上的大规模机器学习，2015年。软件可从tensorflow.org获得。[3] Yonathan Aflalo，Haim Brezis和Ron Kimmel。关于谱域中形状和数据表示的最佳性。SIAM Journal on ImagingSciences，8（2）：1141-1160，2015。[4] Yonathan Aflalo，Anastasia Dubrocket和Ron Kimmel。谱 广 义 多 维 标 度 。 International Journal of ComputerVision，118（3）：380[5] Mathieu Aubry，Ulrich Schlickewei，and Daniel Cremers.Wave内核签名：形状分析的量子力学方法. InProc.ICCV Workshops，2011.[6] 马塞尔·伯格黎曼几何的全景。Springer Science BusinessMedia，2012.[7] Gaurav Bharaj，David IW Levin，James Tompkin，YunFei，Hanspeter Pfister，Wojciech Matusik，and ChangxiZheng.金属振子接触音的计算设计。TOG，34（6），2015.[8] Silvia Biasotti ， Andrea Cerri ， Alex Bronstein ， andMichael Bronstein.三维形状相似性评估的最新趋势、应用与展望。Computer Graphics Forum，35（6）：87[9] Federica Bogo ， Javier Romero ， Matthew Loper ， andMichael J Black. FAUST：3D网格配准的数据集和评估。在Proc. CVPR，2014。[10] Vincent Borrelli ， Said Jabrane ， Francis Lazarus ， andBoris Thibert.三维空间中的平面环面与凸积分。PNAS，2012.[11] Davide Boscaini，Davide Eynard，Drosos Kourounis，and Michael M Bronstein.从操作符生成形状：从内在算子恢复形状。Computer Graphics Forum，34（2）：265[12] 陈省身，菲利克斯·K·诺 佩尔，乌尔里希·平考尔，彼得·施罗德。 金属形状。 TOG，37（4）：63：1-63：17，2018.[13] Moody Chu和Gene Golub。逆特征值问题：理论、算法和应用。牛津大学出版社，2005年。[14] Etienne Corman 、 Justin Solomon 、 Mirela Ben-Chen 、Leonidas Guibas和Maks Ovsjanikov。本征和非本征几何的函数特性TOG，36（2）：14，2017.[15] 卡罗琳·戈登，大卫·韦伯，斯科特·沃伯特。等谱平面域和曲面的黎曼轨道折叠。Inventiones Mathematicae，110（1）：1[16] 放大图片作者：David L. Webb，and Scott Wolpert.人们听不到鼓的形状。Bulletin of the American MathematicalSociety，27：134[17] Hajar Hamidian、Jiaxi Hu、Zichun Zhong和Jing Hua。用几何谱的变化量化形状变形。在Proc.MICCAI，2016中。[18] 哈 米 德 · 卡 扎 里 和 史 蒂 夫 · 泽 尔 迪 奇 。 R~ N 中 解 析（Z/2Z）-对称域的反谱问题Geometric and FunctionalAnalysis，20（1）：160[19] 胡佳西、哈杰尔·哈米甸、钟自春、华静。可视化几何谱变化的形状变形。IEEE TVCG，23（1）：721[20] 亚历克·雅各布森和奥尔加·索金-霍农 作为曲面的图像的切拉普拉斯算子。技术报告/苏黎世联邦理工学院计算机科学系，757，2012。[21] 马克·卡茨能听到鼓的形状吗美国数学月刊，73（4）：1[22] 阿希姆·肯普夫时空可以同时是连续的和离散的，就像信息可以是连续的一样。New Journal of Physics，12（11）：115001，2010.[23] VladimirGKim ， YaronLipman ， andThomasFunkhouser.混合内在贴图。TOG，30（4）：79，2011.[24] Diederik P. Kingma和Jimmy Ba。Adam：随机最佳化的方法。CoRR，abs/1412.6980，2014。[25] 布鲁诺·利维。拉普拉斯-贝尔特拉米本征函数的一个“理解”几何的al-出租mInProc. SMI，June 2006.[26] MarkMe yer ， MathieuDesbrun ， PeterSchr oüder ，andAlanHBarr.三角化2-流形上的离散微分几何算子。在可视化和数学III，第35-57页。施普林格，2003年。[27] 约翰·米尔诺某些流形上拉普拉斯算子的本征值PNAS，51（4）：542，1964.[28] Dorian Nogneng和Maks Ovsjanikov。信息描述符，通过形状匹配的交换性计算机图形论坛，36（2）：259[29] Maks Ovsjanikov、Mirela Ben-Chen、Justin Solomon、Adrian Butscher和Leonidas Guibas。功能图：一种灵活的空间映射表示。TOG，31（4）：30，2012.[30] Maks Ovsjanikov，Etienne Corman，Michael Bronstein，EmanueleRodola` ， MirelaBen-Chen ， LeonidasGuibas ，Frederic Chazal，and Alex Bronstein.用函数图计算和处理对应关系。在SIG-GRAPH课程中，第5：1[31] Mikhail Panine和Achim Kempf。欧几里德量子引力的谱几何方法。Physical Re-view D，93（8）：084033，2016.[32] 马丁·埃里希·沃尔特和尼克拉斯·佩内克。拉普拉斯谱作为形状匹配的指纹。在Proc. SPM，SPMACM。[33] 马丁·埃里希·沃尔特和尼克拉斯·佩内克。表面和固体的拉普拉斯-贝尔特拉米谱。计算机辅助设计，38（4）：342-366，4月。2006年[34] Stefan C Schonsheck，Michael M Bronstein，and RongjieLai. 基于保角拉普拉斯-贝尔特拉米基追踪的非等距曲面配准arXiv：1809.07399，2018。[35] 奥尔加·索金和丹尼尔·科恩-奥尔。最小二乘网格。在Proc中。形状建模应用，2004年。Proceedings，pages191 -199，2004.7539[36] Gary KL Tam，Zhi-Quan Cheng，Yu-Kun Lai，Frank CLang-bein ， Yonghuai Liu ， David Marshall ， Ralph RMartin，Xian-Fang Sun，and Paul L Rosin.3D点云和网格 的 配 准 ： 从 刚 性 到 非 刚 性 的 调 查 。 IEEE Trans.Visualization and Computer Graphics，19（7）：1199[37] Oliver Van Kaick，Hao Zhang，Ghassan Hamarneh，andDaniel Cohen-Or. 形 状 对 应 研 究 综 述 。 在 ComputerGraphics Forum，第30卷，第1681-1707页，2011中。[38] 赫尔曼·魏尔UberdieasymptotischeVerteilung这是特征。Nachrichten von der Gesellschaft derWissenscampaintenzuGöttinggen ， Mathematisch-PhysikalischeKlasse，pages 110[39] 史蒂夫 ·泽尔迪奇 。旋转曲面的逆 谱问题。 J. Diff.Geom. ，49（2）：207[40] 史蒂夫·泽尔迪奇。解析双轴对称平面区域的谱确定。几何泛函分析GAFA，10（3）：628[41] 史蒂夫·泽尔迪奇。解析域的谱反问题，II：Z ~2-对称域. Annals of Mathematics，170（1）：205 -269，2009.