A代数中的COMPTG EUL ER-PO：抽象、算法和类别

A的代数中的COMPTG EUL ER-PO的由几个二次不等式SAUGATA BASU抽象。我们提出了一个算法，它以一个封闭的半代数集S R k作为输入，SRk定义为：P1≤0，.. . ，Pi∈R[X1，.. . ，Xk]，deg（Pi）≤2，并计算S的Euler-Pocarecarcarcteris ic i si c。该算法的复杂度为kO（k）。好的，我会的。Semi-algebraicsets，Euler-Poincarecharacteric主题分类。2000年数学学科分类14P10、14P251. 介绍设R是实闭域，S ∈ Rk是由P1≤ 0，. . .，P∈ R[X1，. . .，Xk]，deg（Pi）≤ 2，1 ≤i≤ n. 已 知 [2 ， 3] ， S 的 Betti 数 之 和 （ 因 此 也 是 它 的 Euler-Poincarecharacteri sti c）由kO（k）bon ddd。对于有限维情形，其界是k中的多项式。也可以检查S是否非空，以及计算满足S在时间kO（k）[2，10]中的每个连通分量的样本点的有限集合然而，目前还没有一个算法具有类似的复杂性，可以用来计算S的任何一个贝蒂数（例如连通分量的个数计算S的所有Betti数的最著名算法的复杂度为k2O（n）[5].在这里，以及本文的其他地方，贝蒂数，bi（S），是单纯同调群的维数，Hi（S，Q），在S是封闭和有界的情况下如果S是一个闭的但不一定有界的半代数集，bi（S）是Hi（S<$Bk（0，r），Q）的维数，对于充分大的r>0（这里和本文的其余部分，Bk（0，r）表示Rk中以arXiv：cs/0605082 v1 [cs.SC] 2006年5月2绍加塔·巴苏原点，X表示半代数集合X的闭包）。 很容易可以看出，bi（S）是明确定义的，我们用克χ（S）=i=0时S的Euler-Poincarecharactici si cisic。（−1）ibi（S）在此基础上，提出了一种计算S的Euler-P特征的算法，其复杂度为kO（k）.我们的算法依赖于一个有效的算法来计算中描述的多项式族的所有可实现符号条件的Euler-Pol incaricti[6]和[2，10]中使用的技术不同本文的主要结果如下。主要结果：给出了一个算法（第4节中的算法4.2），该算法给出了一组多项式P ={P1，. . . ，P} R [X1，. . . ，Xk]，其中deg（Pi）≤2，1≤i≤n，当S是由P1≤ 0，. . .，P≤ 0.算法的复杂度为kO（k）。如果P中多项式的系数是比特大小以τ为界的整数，则出现在中间计算和输出中 的 整 数 的 比特 大 小 以τkO（k）为界。本文的其余部分组织如下。在第2中，我们描述了我们的算法所需要的一些数学和算法结果我们还包括一个简要介绍频谱序列，因为它们在本文所描述的主要算法的设计中发挥了激励作用在第三中，我们给出了一个求由齐次二次不等式定义的集合的Euler-P最优解的最后，在第4中，我们描述了我们的算法一般（非齐次）的情况下。为了引用实代数几何中的著名结果，我们有时使用参考文献[7]作为有用的来源。2. 预赛在本节中，我们将描述一些数学和算法的结果，我们将需要在其余的文件。2.1. Euler-Po incareCharacteric的定义。对于我们的纯代数集，我们将利用有限的Euler-P算子来构造局部闭半代数集. 我们用这样的集合的Borel-Moore同调群（定义如下）来做这件事。这一定义符合针对已关闭和已绑定的Euler-Poincarecaristederiedi eComputingingEuler-Poincar′eCaracteris3pp我半代数集对于闭但无界的半代数集，它们可能是不同的。一对闭有界半代数集T<$S<$Rk的单同调群定义如下。这样一对封闭的有界半代数集可以使用一对单纯复形（K，A）进行三角化[7]，其中A是K的子复形。对（S，T）的p阶单同调群Hp（S，T）是Hp（K，A）.作为Q-向量空间的 Hp（S，T）的维数称为（S，T）对的第p个Betti数，且d∈dp （S，T）.pair（S，T）的Euler-PoincarecarisΣχ（S，T）= （−1）ibi（S，T）.我S∈Rk的p阶Borel-Moore同调群，记作HBM（S），用一对闭有界半代数集的同调群定义如下。 对于r> 0，令Sr= S <$Bk（0，r）。 注意，对于局部闭半代数集S，Sr和Sr\Sr都是闭的和有界的，因此Hp（Sr，Sr\Sr）是良好定义的。此外，Hardt平凡性定理[11 ]的一个推论是同调群Hp（Sr，Sr\Sr）对所有充分大的 我们定义，HBM（S）= Hp（Sr，Sr\Sr），其中r > 0足够大，并且从上面的评论可以得出它是良好定义的。Borel-Moore同调群在半代数同胚下是不变的（见[8]）。从定义中还可以清楚地看出，对于一个闭的有界半代数集，Borel-Moore同调群与单纯同调群是一致的。对于局部闭半代数集S，我们定义Borel-Moore Euler-P算子，χBM（S）=克i=0时bBM（S），其中bBM（S）表示HBM（S，Q）的维数。注意，如果S是封闭的，我我且有界，则χBM（S）= χ（S）。Boreel-MoreEuler-Poincarecharacteristichafollongadiveproperty.方案2.1.设X，X1和X2是局部闭半代数集，使得然后X1<$X2 = X，X1<$X2= X。χBM（X）= χBM（X1）+ χBM（X2）。4绍加塔·巴苏P屋顶。这是经典的（例如，见[6]中的命题2.6的证明）。Q2.2. 符号条件及其实现。符号条件是{0，1，−1}的元素。我们定义sign（x）=如果x=0，则为0;如果x=0，则为01当且仅当 x >0−1当且仅当x0设Z∈Rk是局部闭半代数集，P ={P1，. . .，Ps}是R[X1，. . .，Xk]。 P上的符号条件是{0，1，-1} P.符号条件σ在Z上的实现是^R（σ，Z）={x∈Z|P∈Psign（P（x））=σ（P）}，并证明了Euler-P算子的特征是不确定的χBM（σ，Z）.我们用Sign（P，Z）表示σ∈ {0， 1，−1}P的列表，使得R（σ，Z）是no-nempty。通过χBM（P，Z）证明了当σ ∈ Sign（P，Z）时，Euler-P-inc-ecarecarc的性质为χBM（σ，Z）= χBM（R（σ，Z））.我们将使用以下算法来计算[6]中描述的列表XBM（P，Z）本文描述了算法的输入、输出和复杂度ALGORITHM2. 二、Euler-Poincar′eCharacteristicofSignCond it ions。输入：一个代数集合Z = Z（Q，Rk）<$Rk和一个有限列表P = P1，. . .，Ps的多项式在R[X1，. . . ，Xk]。输出：列表xBM（P，Z）。复杂性：设k′是Z的维数，d是Q的度和P的元素的界，s= #（P））.算术运算的次数为sk′+1O（d）k+sk′（（k′log2（s）+klog2（d））d）O（k）.该算法的特点是将k′O（d）k的内隐式算法转化为具有高特征系数的内隐式算法。如果D =Z，并且多项式的系数的位大小有界若用τ表示，则中间计算和输出中出现的整数的位数都有τ（（k′log2（s）+klog2（d））d）O（k）的界.ComputingingEuler-Poincar′eCaracteris5RR∞∞222.3. 无穷小。在我们的算法中，我们将使用无穷小，以确保我们处理的集合是有界的。为了确保这一点，我们将基域R扩展到R <$ε<$，ε中的代数Puixix级数的实闭域，其系数在R中。在R <$ε <$中的一个Pu i n x级数的符号与ε中最低次项的系数的符号一致。这导致了R <$ε<$的一个唯一的阶，使得ε无穷小：ε是正的，并且小于R的任何正元素。若R′是包含R的实闭域，则给定Rk中的一个半代数集S，我们用Ext（S，R′）表示S到R′的扩张Ext（S，R′）是R′k的半代数子集，由定义S的相同的无量词公式定义。集合Ext（S，R′）是定义良好的（即它只依赖于集合S，而不依赖于用来描述它的无量词公式）。这是Tarski-Seidenberg转移原理的一个简单结果（例如参见[7]中的第2.4.1节）。2.4. 光谱序列为了读者的利益，我们包括一个简短的介绍，指向[9，12]的频谱序列的理论，以获得更多的细节。一个谱序列是一个双阶复形序列（Er，dr：Ep，q→Ep+r，q−r+1），使得复数Er+1通过取其关于dr的同调而从Er获得（即Er+1=Hdr（Er））。有两个谱序列，′Ep，q，′′Ep，q，（对应于取行-∗ ∗分别为逐列或逐列过滤）C·，·，这对我们很重要它们都收敛于H∞（Tot·（C·，·））。这意味着同态dr最终为零，因此谱序列稳定，并且Mp+q=i′Ep，q<$=Mp+q=i′′Ep，q′=Hi（Tot·（C·，·）），对于每个i ≥ 0。其中的第一项是′E1=Hδ（C·，·），′E2=HdHδ（C·，·），和′′E1 =H δ（C ·，·）。Hd（C·，·），′′E2=HδHd（C·，·）.特别地，假设复形C·，·在两个方向上都有界，我们有，第2.3节.Σi≥0（−1）idim（Hi（Tot·（C·，·）=p，q≥0=p，q≥0（−1）p+ qdim（′Ep，q）（−1）p+qdim（′′Ep，q）.6绍加塔·巴苏Qp+q=0图2.1：dr：Ep，q→Ep+r，q−r+1pp+q=p+1R r2.5. 图的Leray谱序列真映射的勒雷谱序列，f：A−→B，是代数拓扑学中的经典工具，它将空间A的上同调与空间B的上同调以及映射f的纤维的上同调联系起来。它最常见的用途是在层上同调理论[9]。我们在一个非常特殊的情况下需要它，其中集合A和B是紧半代数集合，f是连续半代数映射。在这种特殊的情况下，可以用三角剖分来定义勒雷谱序列，我们在下面这样考虑一个半代数连续映射f：A−→B，其中A和B是紧半代数集。此外，设h：n−→B是B的半代数三角剖分，设H（A）表示胞腔复形，使得A是H（A）中胞腔的并集，并且对于任何单形σ ∈ n，A σ =f−1（h（σ））是D1D2D3D4ComputingingEuler-Poincar′eCaracteris7i=1H（A）的一个子复形（其中X表示X的拓扑闭包）。然后，f的勒雷谱序列同构于与双重复形C·，·相关联的谱序列（对应于列过滤），定义如下：Cp，q=Mσ a_n中的p-单形Cq（Aσ），其中Cq（Aσ）表示复形Aσ的q-余链的向量空间。水平和垂直差异是明显的差异（见[9]）。与上面定义的二重复形相关联的谱序列收敛于A的上同调。3. 基本齐次情形设P ={P1，. . . ，P}<$R[X0，X1，. . . ，Xk]是一组齐次二次多项式，设S是单位球面Sk<$Rk+1上由不等式定义的基本闭半代数集，P1≤ 0，. . . ，P≤ 0.我们用Si表示由Pi≤0定义的Sk 那么，S=S岛对于J{1，. . .，<$}，记为SJ=<$j∈JSj。下面的等式是迈耶-越多里斯序列的精确性的结果。3.1. blogΣχ（S）=（−1）#（J）+1χ（SJ）.J{1，.，}P屋顶。 在n= 2的情况下，这是Mayer- Vietoris序列精确性的直接结果（例如，见[7]，推论6.28）。从简单的归纳法可以得出一般情况。Q因此，为了计算χ（S），对于每个J，计算χ（SJ{1，. . . ，}。3.1. 由二次约束定义的集合的拓扑。我 们 首先回顾了关于由二次不等式定义的集合的拓扑的一些事实[1]。 设P1，. . . ，P是R[X0，. . . ，Xk]。我们用P =（P1，. . .，Ps）：Rk+1→Rs，由多项式P1，. . . ，Ps. 让[A=1≤i≤s{x∈Sk|Pi（x）≤0}。8绍加塔·巴苏2让n ={ω∈Rs||ω| = 1，ωi≤ 0，1 ≤i ≤s}。对于ω∈φ，我们用ωP表示由下式定义的二次型：伊什ωP=i=1ωiPi.设B×Sk是由下式定义的集合，B ={（ω，x）|ω∈ Sk，x∈Sk且ωP（x）≥ 0}.我们用φ1：B→Sk和φ2：B→Sk表示这两个投影映射。BSk阿格拉乔夫证明了这一点[1]。使用上面开发的符号，位置3.2. 映射φ2给出了B和B之间的同伦等价，φ2（B）= A.P屋顶。首先证明φ2（B）= A。 如果x ∈ A，则存在一些i，1 ≤ i ≤ s，使得Pi（x）≤ 0。 则对于ω =（−δ1 i，. . . ，−δsi）（其中δij= 1如果i=j，且0或w（i，e），则w（ω，x）∈B。如果x∈φ2（B），则存在ω =（ω1，. . .，ωs）∈ ε，使得，Si=1 ωiPi（x）≥0。因为，ωi≤0， 1≤i≤s，且并非所有ωi= 0，这意味着对于某些情况，Pi（x）≤0i，1≤i≤s。这表明x∈A。对于x∈φ2（B），纤维φ−1（x）={（ω，x）|使得ωP（x）≥ 0}，可以用由单个线性不等式定义的非空子集来标识。从凸性考虑，所有这些纤维都可以清楚地连续地缩回到它们的质心，证明了命题的前半部分。QComputingingEuler-Poincar′eCaracteris9211对于任何二次型Q，我们将用指数（Q）表示相应双线性型的对称矩阵的负特征值的个数，即矩阵M使得，Q（x）=<$Mx，x<$，对于所有x∈Rk+1。我们还将Q的特征值以非降序表示为λi（Q），0≤i≤k，即λ0（Q）≤λ1（Q）≤ · · · ≤ λk（Q）。给定一个二次映射P =（P1，. . .，Ps）：Rk+1→ Rs，且0 ≤j≤k，记为j={ω ∈ |λj（ωP）≥ 0}。为了便于记法，-1表示空集，k+1表示整个空间。很明显，该等介电常数会Ω0⊂ Ω1⊂· ··k+1。Agrachev[1]证明了映射φ1的Leray谱序列（convergggigohomologyH（B）=H（A）），有一个E2terms，（3.3）Epq= Hp（k−q，k−q−1）。这是因为在一个点ω∈ j\j−1上的映射φ 1的纤维具有k − j维球面的同伦型。要看到这一点，请注意，对于ω∈ <$j\<$j−1，λ0（ωP），. . .，λj−1（ωP）<0. 此外，设Y0（ωP），. . . ，Yk（ωP）是由ωP的特征向量组成的正交基，我们有φ−1（ω）是S k的子集，克i=0时λi（ωP）Yi（ωP）2≥0，克i=0时Yi（ωP）2 = 1。由于λi（ωP）0， 0<≤i j，因此，对于ω∈φj\ φj−1，φ−1（ω）是homotopyeuivalettohe（k−j）-dimensonalspheredfinedbys tting的任意整数，Y0（ωP）=···=Yj−1（ωP）= 0在定义为Ki=0时Yi（ωP）2 = 1。下面的预处理涉及到Euler-Poincarecharicitisit设A为满足<$j\<$j−1，0 ≤ j ≤ k +1的集合。第3.4节.χ（A）=χBM（A）=k+1χBM（j\j−1）（1+（−1）（k−j））。j=010绍加塔·巴苏1P屋顶。注意，集合<$j\<$j−1是局部闭的，并且点ω∈<$j \<$j−1上的纤维是紧的，并且具有（k−j）维球面的同伦类型。现在考虑一个足够精细的三角剖分，考虑滤子<$0<$···< $<$k+1，并且使得在位于<$j\<$j −1中的三角剖分的每个单形σ上，φ−1（σ）同伦等价于σ×Sk−j。一个（k-j）-dimensisolsphere的Euler-Poinc ar'e特征值Sk-j等于1 +（-1）（k-j）. 该命题现在从Borrel-MorreEuler-Poincarecharacteri si sticanddProposi tion3. 2的可加性性质得出。Q由于命题3.4是本文提出的算法的核心，我们在下面包括一个不同的证明，它使用谱序列（3.3）。首先要注意的是，根据命题2.1，χBM（j\j −1）= χ（j）− χ（j−1）。从公式3.3和命题2.3中的谱序列的收敛性可以得出：Σχ（A）=（−1）idim（Ep，q）q=ii=p+q=i（−1）2dimHp（dimk−q， dimk−q−1）=100≤q≤k+1 Σ0≤p≤k （−1）p+qdim（Hp（k−q，k−q−1））=0≤q≤k+1（−1）q0≤p≤k（−1）pdim（Hp（k−q，k−q−1））现在，根据对（k−q，k−q−1）的精确序列，即，· · · →Hi−1（k−q）→Hi−1（k−q−1）→Hi（k−q，k−q−1）→Hi（k−q）→ · ··，我们明白了Σ（−1）i（dim（Hi（k−q−1））−dim（Hi（k−q））+dim（Hi（k−q，k−q−1））= 0，i≥0其产生<$（−1）pdim（Hp（<$k−q，<$k−q−1））= χ（<$k−q）− χ（<$k−q−1）.0≤p≤kComputingingEuler-Poincar′eCaracteris11因此，先前的总和Σ=100≤q≤k+1 （−1）q（χ（k−q）−χ（k−q−1））=0≤j≤k+1（−1）k+1 −j（χ（j−1）−χ（j−2））=0≤j≤k+1（−1）k+1−jχ（j<$−1Σ）−0≤j≤k+1 （−1）k+1 −jχ（j−2）=0≤j≤k（−1）k−jχ（=0≤j≤k（−1）k−jχ（j）+（−1）χ（j）k− j0≤j≤k −1=χ（k）−2χ（k−1）+2χ（k−2）+···+（−1）k2χ（0）=0≤j≤k+1（χ（j）−χ（j−1））（1 +（−1）k−j）=0≤j≤k+1×BM（j\j−1）（1 +（−1）k−j）。Q设Z =（Z1，. . .，Zs）为变量，M（Z）为对应于二次型Z·P = Z1P1+···+ZsPs的对称矩阵. M（Z）的元素线性依赖于Z。让F（Z，T）= det（M（Z）+T·Ik+1）=Tk+1+CkTk+···+C0，其中每个Ci∈ R[Z1，. . . ，Zs]是次数至多为k +1的多项式。从众所周知的笛卡尔符号规则（例如，见[7 ]中的注释2.42）可以得出，对于任何z ∈ N，索引（zP）等于序列C0（z），. . .，Ck（z），+1.因此，多项式C0，. . .，Ck确定zP的指数。对于σ∈ {0，+1，-1} C，给出了族C={C0，. . . ，Ck}，设n（σ）表示序列σ（C0），. . . ，σ（Ck），+1. 设Sign（C，n）是族C在n上实现的符号条件的集合。下面的命题是命题3.4和欧拉-Poincar echaracteristic的可加性的直接结果。位置3.5.Σχ（A）=χBM（A）=σ∈Sign（C，n）χBM（R（σ，n））·（1+（−1）（k−n（σ）。在继续之前，我们讨论一个小例子。实施例3.6. 设k= 2，k = 2，P=（P1，P2）：R3→R2是二次映射，P1=X2+X2−X2，012P2 = X2−X2− X2。01212绍加塔·巴苏在这个例子中，n={（ω1，ω2）|ω2+ ω2 = 1，ω1，ω2≤ 0}1 2由单位圆在第三象限的弧组成还有，一={x∈S2|P1（x）≤ 0 <$P2（x）≤ 0}= {（x0，x1，x2）∈ R 3|x2 + x2 + x2 = 1，x2 + x2≥ 1/2}。0 1 2 1 2这个例子中的集合A显然具有圆的同伦类型，因此，(3.7)X（A）= 0。现在，对于ω=（ω1，ω2）∈Ω，ωP= ω1P1+ω2P2=（ω1+ ω2）X2+（ω1− ω2）X2−（ω1+ ω2）X2。012根据上面介绍的符号，F（Z1，Z2，T）=（Z1+Z2+T）（Z1−Z2+T）（−Z1−Z2+T）=T 3+（Z1− Z2）T 2−（Z1+ Z2）2T+（Z1+ Z2）2（Z2− Z1）。因此，在该示例中，C0（Z1，Z2）=（Z1+Z2）2（Z2−Z1），C1（Z1，Z2）= −（Z1+Z2）2，C2（Z1，Z2）= Z1− Z2。C={C0，C1，C2，+1}在 n上有三个可实现的符号条件.他们是，σ1=（−，−，+，+），σ2=（0，−， 0，+），σ3=（+，−，−，+）。我们有，n（σ1）= 1，n（σ2）= 1，ComputingingEuler-Poincar′eCaracteris13n（σ3）= 2。实现R（σ1，σ 2）和R（σ3，σ 3）都同胚于[0，1），而R（σ2，σ 3）是一个点。因此，在本发明中，χBM（σ1，σ 2）=χBM（σ3，σ 3）= 0，而我们终于有XBM（σ2，σ 2）= 1。Σ3j=1 χBM（σj，n）（1−（−1）2−n（σj））= 0（1+（−1）1）+1（1+（−1）1）+ 0（1 +（−1）2）= 0，这与（3.7）一致。♦我们现在可以描述一个算法，用于计算Euler-Poincarecaricarist i s i stinionofsets ， eachdefinedbyahomoge-neous quadratic inequality 。 在 算 法中，我们将使用以下符号。给定两个有限多项式族，P <$P′和σ∈ {0， +1，−1}P，σ′∈{0，+1，−1} P′，我们称σ <$σ′当且仅当对所有P ∈ P，σ（P）= σ′（P）。ALGORITHM3. 8 .第八条。Euler-Poincarecteristicofaunion.输入：一组二次形式{P1，. . . ，Ps} ∈ R[X0，. . . ，Xk]。输出：χ（A），其中A是单位球面Sk<$Rk+1上定义的集合，公式为P1≤ 0···P≤ 0.1. 设P =（P1，. . .，Ps）。设Z =（Z1，. . .，Zs）为变量，M（Z）为对应于二次型Z·P的对称矩阵。计算多项式Ci∈ R[Z1，. . . ，Zs]通过计算以下确定。det（M（Z）+T·Ik）= T k+1+ CkT k+···+C0.2. 计算χBM（C，λ）如下。调用算法2.2，输入为C′=C{Z1，. . . ，Zs}和Q = Z2+···+Z2− 1。 输出是列表1sχBM（C ′，Z（Q，Rk））.对于每个σ∈ {0， +1，−1}C，使得存在σ′∈Sign（C′，Z（Q，Rk）），其中σ∈σ′且σ′（Zj）∈ {0，−1}，其中1≤j≤s，计算ΣχBM（σ，R k）=χBM（σ′，Z（Q，R k））.σ′，σ<$σ′，σ′（Zj）∈{0，−1}，1≤j≤s14绍加塔·巴苏J3. 输出Σχ（A）=σ∈Sign（C，n）χBM（R（σ，n））·（1+（−1）（k−n（σ）。正确性的P屋顶：算法的正确性是命题3.5和算法2.2的正确性的结果。Q复杂性分析：算法的复杂度是kO（s），使用算法的复杂性2.2.Q我们现在可以描述在这种情况下计算欧拉-P波函数的算法。租金3.9元。基本的同质情况。输入：一组二次形式{P1，. . . ，P} R [X0，. . . ，Xk]。输出：χ（S），其中S是由不等式在单位球面Sk<$Rk+1P1≤ 0，. . . ，P≤ 0.1. 对于每个子集J ∈ {1，. . . ，}执行以下操作。2. 使用算法3.8 X（S/J）计算。3. 输出功率χ（S）=（−1）#（J）+1χ（SJ）.J{1，.，}正确性的P屋顶：算法的正确性是引理3.1和算法3.8的正确性的结果。Q复杂性分析：对算法3.8有2个重复调用。通过对算法3.8的复杂性分析，证明该算法的复杂性为kO（k）.Q4. 一般情况设P ={P1，. . .，P}R [X1，. . .，Xk]，其中deg（Pi）≤ 2，1 ≤i≤n，设S∈Rk是由P1≤ 0，. . .，P≤ 0. 设0ε为无穷小， 0，S ∈ Bk（0，r）是S的半代数变形收缩核。由于ε为S′= Ext（S，R <$ε<$）<$Bk（0，1）是Ext（S，R <$ε<$）的一个半代数变形收缩核. 这意味着χ（S）=χ（S′）。为了证明第二个等式，首先观察S′是有界的，并且Sh是从集合1×S′< $1×R<$ε <$k的原点到Rk+1中的单位球面上的投影。因为S′是有界的，所以投影不与赤道相交，并且由上下半球的两个不相交的副本组成，每个副本与S′同胚。Q租金4.2. 一般情况下。输入：多项式族P ={P1，. . . ，P} R [X1. . . ，Xk]，其中deg（Pi）≤二、输出：χ（S），其中S是由下式定义的集合：\S={x∈ R k|P（x）≤ 0}。P∈P1. 将族P替换为族Ph={Ph，. . .，Ph，Ph}.2. 使用算法3.9计算χ（Sh）。3. 输出χ（S）= 1χ（Sh）。1分彩 +1正确性的P屋顶：算法4.2的正确性是命题4.1和算法3.9的正确性的结果。 Q复杂度分析：从算法3.9的复杂度分析可知，该算法的复杂度为k O（k）。Q重新标记4.3。 本文给出了一个计算由常数个二次不等式P≤ 0，P ∈ P所确定的一个带封闭性的一般带封闭性的系统的Euler-P最优收敛性的算法.将该算法简单地扩展到由布尔公式定义的半代数集的情况，其中布尔公式没有否定，其原子的形式为P≥0或P≤0，16绍加塔·巴苏P∈ P，利用文献[4]中所用的技术，把计算S_（？）即使在二次情况下，该函数也能很好地工作，并且不会恶化复杂性。确认作者获得了NSF职业奖0133597和斯隆基金会奖学金的部分支持。引用[1] A.A. 张文，张文. 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