伪星形函数中双单叶函数的子类及其分析

.--||}.联系我们（）下一页Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，522埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章关于与伪星形函数相关的双单叶函数的某些子类Santosh Joshia，Mr. Joshi，Sayali Joshib，Haridas Pawarca印度Sangli 416415 Walchand工程学院数学系b数学系，Sanjay Bhokare研究所集团，Miraj 416410，印度c印度潘达普尔413304，SVERI工程学院数学系接收日期：2016年1月5日;修订日期：2016年3月26日;接受日期：2016年3月28日2016年5月20日在线发布Abstract在这一段时间里，我们对泰勒-麦克劳里案有很大的了解，|一个2|和|一个3|在开单位圆盘U= {z：|z|<1}。2010年数学学科分类： 30C45; 30C50; 30C80版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍设A表示以下形式∞它们在单位圆Uz：z1<中是解析的。 设S表示A的子类，它由形式（1.1）的函数组成，这些函数是单叶的，并且在U中由条件f（0）= 0和fr（0）= 1归一化。称函数f∈S是α（0≤α 1）级的星形函数f（ z）= z+akK=2zk（1.1）当且仅当.zfrz∗ 通讯作者。联系电话：+912332303938;传真：+912332300832。电子邮件地址：joshisb@hotmail.com（S.Joshi），sbgimiraj.org（S. Joshi），haridas_pawar007@yahoo.co.in（H.Pawar）。阶α（0≤α 1）的和凸的当且仅当同行评审由埃及数学学会负责Re1zfrr（z）fr（z）>α，z∈ U。分别用S（α）和K（α）表示这些类S1110-256X（16）30024-4 Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许制作和主办：Elsevier关键词单叶函数;系数估计;双单叶函数;λ-双伪星形函数Re> α，z∈U可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.03.00734442ΣΣ.<3∈| |∈\{}2ΣΣΣ34.Σ−−G和C.laughunie[4]改进了Lewin的恢复和重建方法121.∈1||≤||=的|一|≤，与伪星形函数相关的双单叶函数的某些子类523Koebe四分之一定理[1]断言U在每个单叶函数f∈S下的像包含半径为1的圆盘。因此，每个单叶函数f∈S都有一个逆f−1，定义为f −1 [f（z）]= z，（z ∈ U）和f [f −1（w）]= w，（|W| β，（z ∈U）。证据显然，条件（2.1）和（2.2）可以写为：z[fr（z）]λαBabalola[10]证明了，所有的伪星形函数都是f（ z）=[p（ z）]（二、五）第一章（一）（1λ）型βλ阶Bazilevic算子磁盘U盘和单价的开放单位和w[gr（w）]λα为此，我们建议引入两个新的子系统，一类双单叶函数类的初始系数s的估计|一个2|和|一个3|. 该技术使用与Srivastava等人[2]相同的dare，并且我们还注意到类似类型Ab-delaimman等人[11]使用的exp（φ（λ））-展开法和Zayed和Gepreel[12]使用的（Gr）-展开法的技术。这些方法被用来寻找数学物理中非线性偏微分方程的精确行波解。g（ w）=[q（ w）]分别其中p（ z）， q（ w）∈P，且具有以下形式：p（ z）=1+p1z+p2z2+p3z3+···q（w）= 1 +q1w+q2w2+q3w3+··.显然，（二、六）为了得到我们的主要结果，我们必须在这里回顾下面的引理。[p（ z）]α=1+αp1z+.αp2+α（α−1）22z2+···p2Σ引理1. [13]设h∈P是所有解析函数h在[q（w）]α=1+αqw+.αq+α（α − 1）q2<$w2+···。U，其中Re{h（z）}> 0且具有形式2222 22Σ、22221.Σ22第一章f（ z）∈;≤β，λ ≥）2112211|一|≤--（2.11）南524号Joshi等人也z[fr（z）]λ再次将引理1应用于系数p1，q1，p2和q2，我们得到f（ z）=1+（ 2λ− 1）a2z+[（3λ− 1）a3+（ 2λ− 4λ+ 1）a2]z+···w[gr（w）]λg（ w）=1−（ 2λ− 1）a2w+[（2λ+ 2λ− 1）a2−（3λ− 1）a3]w+···现在，将公式2.5和公式2.6中的系数相等，我们得到：（2λ− 1）a2=αp1，（2.7）4α2 2α|≤（2 λ − 1）2 +（3 λ − 1）。|≤ (2 λ − 1)2 +(3 λ − 1).这就完成了定理1的证明。 Q在定理1中设λ=1，我们有推论1. 设（1.1）给出的f（z）在类LB1（α）中.然后2α2（1+α）|≤ 4 α +α| ≤ 4 α + α（3λ−1）a+（2λ− 4λ+ 1）a=αp+α（α−1）p2， （2.8）3. 函数类LB<$（λ，β）的系数界32221−（2λ− 1）a2=αq1，（2.9）α（α−1）定义3. 如果满足以下条件，则由（1.1）给出的函数f（z）被称为在类LB（λ，β）f∈H（2λ2+ 2λ− 1）a2−（ 3λ− 1）a3=αq2+由公式2.7和公式2.9，我们得到：p11q2.（2.10）2Re。z[fr（z）]λz U011（3.1）和 2（2 λ− 1）2a2=α2。p2+ q2（2.12）和Rew[gr（w）]λg（ w）> β（w ∈U; 0≤β 1，λ≥1），（第3.2节）现在，通过将等式（2.10）和等式（2.8）相加，我们得到第一章其中函数g是f−1到U的扩展，由下式给出：（4 λ2− 2 λ）a2= α（p2+ q2）+ α（α − .p2+q2= 0，2 2 3 3 42通过使用（2.12），我们得到（4λ2− 2λ）a=α（p2+q2）+21 1α（α− 1）。2（2 λ −1）2a2<$g（w）=w−a2w+（2 a2−a3）w−（5 a2−5 a2a3+a4）w+···我们称LB<$（λ，β）为β级λ-双伪星形函数类.22α22α2（p2+q2）对于类LB <$（λ，β）中的函数，下列系数估计成立.α2 =（2 λ − 1）（2 λ − 1 + α）。将引理1应用于系数p2和q2，我们立即得到定理2. 设f（z）为（1.1）式中的一个，则，2（ 1−β）LB <$（λ，β）.一|≤2 α|≤|≤（3.3）λ（2λ− 1）| 2,(2λ−1)(2λ−1+α).这给了我们|一个2|在（2.3）中断言。在《易经》中，以“为上”为原则。一个3，通过对Eq.||（2.10）由Eq. （2.8），我们得到4（ 1β）22（ 1 β）|≤（2 λ − 1）2 +（3 λ − 1）（3.4）|≤ (2 λ − 1)2 +(3 λ − 1)(3.4)证据显然，条件（3.1）和（3.2）可以写为：2（3 λ− 1）a3− 2（3 λ− 1）a2=α（p2−q2）+α（α−. p2−q2。=−q> β（z[fr（z）]λ、和111由式（2.11）我们得到p2=q2，同样利用式（2.12），我们得到f（ z）=β+（1−β）p（ z）（3.5）1 1. α2（p2+ q2）2（ 2λ− 1）2..α2（2 p 2）α 2（2p2）β22 2rλ（3λ− 1） 2a3−1（2λ−1）2=α（p2−q2）（通过使用p1=q1）w[g（ w）]g（ w）=β+（1−β）q（ w）（3.6）2α2p2α2 a3 =（2 λ − 1）2+（3 λ − 1）（p2 −q2）。分别2（ 3λ− 1）a3− 2（ 3λ−1）=α（p2−q2）和12.=32Σ⇒||≤3222 222、2+211|一|≤（ -β）。a2−22λ（ 2λ−1）关于与伪星形函数相关的双单叶函数的某些子类525其中p（ z）， q（ w）∈P，且具有以下形式：a122p21 −β）pq通过使用p2q2p（ z）=1+p1z+p2z2+p3z3+···q（w）= 1 + q1w+ q2w2+ q3w3+··.（−β）2（2 λ−1）（−β）。（一）1 +2（ 3λ− 1）（2−（1−β）2（ 3λ−1）（2）（1=1）显然，将引理1应用于系数p1，q1，p2和q2，我们得到β+（1−β）p（ z）= 1+（ 1−β）pz+（1 −β）pz2+···（1−β）2（1−β）12|一个3 |≤（2 λ − 1）2（4）+2（3 λ − 1）（4）β +（1 − β）q（w）= 1+（1 − β）q1w+（1 − β）q2w2+···。也a（−β）（2λ−1）2（−β）。（3λ− 1）z[fr（z）]λ222这就完成了定理2的证明。 Qf（ z）=1+（ 2λ− 1）a2z+ [（3λ− 1）a3+（ 2λ− 4λ+ 1）a2]z+···输入λ=在定理2中，我们有和w[gr（w）]λ推论2.设 （1.1）给出的f（z）在类LB <$（1，β）中.然后g（ w） =1−（ 2λ− 1）a2w+[（2λ+ 2λ− 1）a2−（3λ− 1）a3]w+···现在，将公式（3.5）和（3.6）中的系数相等，我们得到（2λ− 1）a2=（1 −β）p1，（3.7）（3λ− 1）a3+（ 2λ2− 4λ+ 1）a2=（ 1−β）p2，（3.8）−（2λ− 1）a2=（ 1−β）q1，（3.9）（2 λ2+ 2 λ − 1）a2−（3 λ − 1）a3=（1 − β）q2。（3.10）由式（3.7）和式（3.9），我们得到p1= −q1（3.11）和2（2 λ− 1）2a2=（1 −β）2。p2+ q2（3.12）|≤ 2（1 − β）|≤2(1 − β)|≤ 4（1 − β）+（1 − β）。|≤ 4 (1 − β)+(1 − β).致谢作者希望对本文的审稿人提出的一些有益的意见和建议表示衷心的感谢。引用[1] P.L.杜仁，单叶函数，数学基础，259，施普林格，纽约，1983年。[2] H.M. Srivastava，A.K. Mishra，P. Gochhayat，解析函数和双单叶函数的某些子类，应用数学快报。23（2010）1188-1192。[3] M. Lewin ， 关 于 双 单 叶 函 数 的 系 数 问 题 ， Proc. Am 。Math.Soc.18（1967）63-68.[4]地方检察Brannan，J.Clunie，当代复杂肛门的方面-现在加入Eq。（3.10）和Eq. （3.8），我们得到（4λ2− 2λ）a2=（ 1−β）（p2+q2）（一）β）2=2λ（ 2λ− 1）（p2+q2）因此，我们有|≤| ≤（1-β）（|p2|+的|Q2|）将引理1应用于系数p2和q2，我们有，2 12《分析》，学术出版社，纽约，伦敦，1980年。[5] E. Netanyahu，从原点到图像边界的最小距离和单 叶 函 数 的第二系数，|1，A r ch.|<1,A rch.RationalMech. Anal.32（1969）100-112。[6] 布兰南检察官，T.S. Taha，关于某些双单叶函数类，在：S.M.Mazhar，A. Hamoui，N.S. Faour（Eds.），数学分析及其应用， 科威 特; 2 月， （ 1985 ） 18KFAS Proceedings Series ，vol.3 ， Pergamon Press ， Elsevier Science Limited ， Oxford（ 1988 ） 53 另 见 Studia Univ. Babe-Bolyai Math.31 （ 2 ）（1986）70[7] B.A. Frasin ， M.K. 杨 文 ， 双 单 叶 函 数 的 新 子 类 24 （ 9 ）（2011）1569[8] D. Bansal ， J. Sokol ， 一 类 新 的 分 析 和 双 单 叶 函 数 的Coecurcient界，J。分数。计算值Appl. 第五条第1款（2014年）122-128.p+a3=（2λ−1）221（p2−q2）22−G.Σ（−β）（2（ 2λ−1）2112（ 2λ−1）2112（ 3λ−1）λ（2λ− 1）什么是界限？|一个2|如公式3.3所示。在《易经》中，以“为上”为原则。|一个3|，通过对Eq.（3.10）由Eq. （3.8），我们得到2（ 3λ− 1）a3− 2（ 3λ− 1）a2=（ 1−β）（p2−q2）2（3 λ − 1）a3= 2（3 λ − 1）a2+（1 − β）（p2− q2）。由式（3 - 11）我们得到p2=q2，同样利用式（3 - 12），我们得到[9] H.M. 斯里瓦斯塔瓦角，巴西-地子类的Bansal，Coe估计解析和双单叶函数，J.埃及。Math. Soc.（2014）1-4.[10] K.O. Babalola，关于λ-伪星形函数，J.课Anal. 第三章（二）（2013）137[11] M.A.E. Abdelrahman，E.H.M. Zaanjin，M.M.A. Khater，exp（φ（λ））-展开方法及其在求解非线性演化方程中的应用，Int. J. Modern Nonlinear Theory Appl. 4（2015）37[12] 急诊 Zayed，K.A. Gepreel，The （Gr）-展开法1 1非线性偏微分方程的行波解数学物理中的三方程，J.数学Phys. 第50条（2009年）122（ 3λ− 1）a3= 2（ 3λ− 1）（−β）p2+q2+（ 1−β）（p2−q2）013502-013513.12221 −β）Ruprecht，Göttingen，1975.a3=。p+q<$+（p2−q2）[13]Ch. Pommerenke，Univalent Functions，Vandenhoeck和