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延迟嵌入空间中低秩张量完备化的快速算法
2058延迟嵌入空间中低秩张量完备化的快速算法RyukiYamamoto,Hidekata Hontani,Akira Imakura和Tatsuya Yokota,日本爱知县名古屋工业大学stn.nitech.ac.jp,{hontani,t.yokota} @ nitech.ac.jp日本,东京,先进情报项目研究中心日本茨城筑波大学,imakura@cs.tsukuba.ac.jp摘要采用多路延迟嵌入变换(MDT)(或称Hankel化)的张量完备化方法虽然在图像建模中具有很大的潜力,但最近的研究表明,完井性能较高,MDT-塔克不完全张量(1) MDT提出不完全(2) 低秩张量完备化完备张量(3) 逆MDT完成非常小的窗口大小,但是大窗口大小的实验需要大量的内存,并且不能容易地张量直接、快速、高效地完成张量计算了本文针对这一严重的计算问题,提出了一种快速有效的算法。所提出的方法的关键技术是基于两个属性:(1)MDT后的信号可以通过傅立叶变换对角化,(2)逆MDT可以表示为卷积形式。为了利用这些性质,我们修改了MDT-Tucker [26],一种使用MDT的Tucker分解的方法,并引入了快速有效的算法。实验结果表明,在保持较高精度的同时,该算法可实现100倍以上的加速,并可实现大窗口的计算。1. 介绍近年来,使用多路延迟嵌入变换(MDT)(或多路汉克尔化)的张量/矩阵完成已经成为非常重要的框架[12,16MDT从原始张量构造Hankel(结构化)张量,并且已知Hankel张量在诸如图像和视频的许多情况下具有低秩结构[3,9]。然后,各种低秩张量完成方法[1,6,8,10,11,20,30]可以直接应用于Hankel张量,并通过逆MDT返回完成的张量(见图1)。1)。虽然近年来已经积极研究了使用MDT的张量处理,但是存在高分辨率的瓶颈这项工作得到了日本科学技术厅(JST)ACT-I(Grant JPMJPR18 UU)和JSPS KAKENHI(Grant 20 H 04208)的部分支持。图1. MDT-Tucker [26]和所 提出方 法的概念 说明。 MDT-Tucker由MDT、低秩张量完成和逆MDT三个步骤组成。相比之下,所提出的方法直接获得完整的张量。表1.通过MDT获得的具有延迟窗口大小τ的Hankel结构张量的存储器要求(双精度)。输入张量大小τ= 1τ= 16τ=322562. 第30章 . 第57章 . 6MB256×256 524KB118 MB414 MB256×256 × 256134MB458 GB2. 99 TB存储器需求和昂贵的计算。 例如,Tab。1显示MDT的内存要求,其中τ是延迟窗口大小。在粗略计算中,在N阶张量的情况下,条目的数量将是原始条目的τN 在MDT-Tucker [26](具有MDT的Tucker分解(TKD))的情况下,交替最小二乘(ALS)算法中的奇异值分解(SVD)的许多迭代被应用于这样一个巨大的张量,并且对于大τ来说代价很高。在这项研究中,我们解决这个问题,并提出了一个快速的替代方法MDT-Tucker。首先,我们研 究了Hankel张量的冗余循环结构。有关于Hankel矩阵/张量的快速处理的先前研究[4,13,14,24],这些结果是非常有用的。这些研究中的关键思想是傅立叶对角化循环矩阵和傅立叶空间中的快速卷积运算,我们也将这些结果应用到我们的研究中。2059∈∈n=1^G约翰·G∈˜^^^.Σ∈−−n˜˜˜˜→˜ ˜ ˜S=(SS)S关于我们x 2x 3。. .xT−τ+2∈∈然而,这些算法[4,13,14,24]不能直接应用于MDT-Tucker [26]。为了将这些加速技术应用于张量完成问题,我们建议修改MDT-Tucker如下:• MDT被替换为循环MDT。• MDT-Tucker中的三个步骤合二为一。• 一半的因子矩阵是由TKD约简而来的。然后,我们制定了一个新的优化问题,并推导出一个解决方案的算法。最后,我们证明了所提出的算法可以通过使用快速傅立叶变换(FFT)有效地计算[5]。1.1. 数学符号我们遵循[26]中的基本数学符号,除了Hadamard乘积的符号此外,考虑N个矩阵UnRIn×Rn和一个N阶张量GRR1 ×···×RN,则全模积定义为:G× {U}:= G ×1U1···×NUN。(一)除第n个模式外的所有模式乘积定义为:G×−n {U}:=G ×1U1··· ×n−1Un−1×n+1Un+1···×NUN。(二)相比之下,上述产品是全模式的,步骤2:对TH执行基于TKD的低秩张量完成。该TKD由2N个因子矩阵UnRJn×Rn2N和一个2N阶核张量RR1×···×R2N组成.对于所有n,R n=1作为初始值,在此基础上,通过逐步增大最佳Rn,每个R n直到误差变得小于阈值。作为结果,TKD(U1,…,U2N,)。步骤3:最后,通过逆MDT获得合成张量,如下所示:X=H†(G× {U}),(7)其中Ht(·)是逆MDT的算子。2.1. MDT2.1.1向量的延迟嵌入首先,我们定义1维信号的延迟嵌入(即,汉克尔化)。MDT的运算符由()表示,并且向量x = 0的延迟嵌入是:x1,x2,. . .,xT具有延迟窗口大小τ的RT被定义为:1x1x2。. .xT−τ +1H<$(x):=H <$∈Rτ×(T−τ+1).τ我们考虑全奇模式。让我们考虑N矩阵-cesUnRIn×Rn 和一个2N阶张量GRR1×J1×···×RN×JN,则全奇模积为... -是的-是的 .xτxτ+1。- 是的-是的XT(八)G×奇数{U}:= G ×1U1×3U2···×2N−1UN。(三)此外,除了第(2n1)模式之外的所有奇模式乘积(即,第n个奇模式)被定义为G×奇数{U}:=G×1U1···×2n−3Un−1注意,反对角线条目是相同的,并且这样的ma-矩阵称为Hankel矩阵。存在重复矩阵S∈ {0,1}τ(T−τ+1)×T,满足vec(Hτ(x))=Sexy. 然后,延迟嵌入也可以表示为:× 2 n +1 Un +1···× 2 N −1UN。(四)2. 关于MDT-Tucker首 先 , MDT-Tucker [26]由 以 下 三 个 步 骤 组 成 :(1)将MDT应用于观察到的不完全张量和掩码张量。(2)基于Tucker分解的低秩张量完备化(TKD)被应用于不完备的Hankel张量。最后(3)将逆MDT应用于完全Hankel张量。步骤1:设T∈RT1×···×TN,Q∈{0,1}T1×···×TN为Hτ(x)= fold(τ,T−τ+1)(Sx),(9)其中fold(v,V):RvVRv×V是从向量到矩阵的折叠算子(见图10)。2)。由于延迟嵌入本质上是一个复制操作,其逆操作本质上是一个平均操作。设X<$H∈Rτ×(T−τ+1),X<$H的逆MDT定义为:H<$τ<$(X<$H):=S<$<$vec(X<$H)∈RT,(10)其中,<$−1<$是Moore-Penrose伪不完全输入张量及其掩码张量。2060˜˜˜˜第一步由下式给出TH=H(T)∈RJ1×···×J2N,(5)QH=H(Q)∈{0,1}J1×···×J2N,(6)其中H( ·)是MDT的算子(参见第二节)。2.1定义)。注意,TH是2N阶汉克尔张量,而原始张量T是N阶张量。逆S。矩阵SS是对角矩阵,其对角元素是单个元素的重复数。2.1.2张量扩展(步骤1和步骤3)对于N阶张量X∈RT1×···×TN,延迟嵌入可以自然地推广.考虑N个二重矩阵Sn∈{0,1}τn(Tn−τn+1)×Tn,窗口大小为τ =(τ1,. - 是的- 是的,τ N)∈ RN,多路延迟嵌入2061˜˜→X∈˜ ˜ ˜˜2n=1nMDT-塔克建议(传阅)(a) 延迟嵌入(a)循环延迟嵌入(b) 逆延迟嵌入(b)逆循环延迟嵌入反对角元素的平均反对角元素的平均图2.MDT-Tucker使用的MDT和所提出的方法使用的循环MDT使用全模式乘积和折叠将变换(MDT)定义为:Hτ(X):=foldd(τ ,T−τ+1)(X×{S}),(11)其中fold(v,V):Rv1V1×···×vNNRv1×V1×···×vN×VN是从N阶张量到2N阶张量的折叠算子.F或2N阶张量X<$H∈Rτ1×(T 1−τ 1+1)×···×τN×(TN−τN+1),逆MDT是de-2.3.改进提示在MDT中,一个 N阶张量 RT ×···×T 被变换为一 个Hankel张量,并且通过整形也可以表示为一个多级Hankel矩阵HX.为了利用Hankel结构[13,24],研究了( 多 级 )Hankel 矩 阵 的 快 速 SVD , 并 且 [4]研 究 了Hankel张量与向量之间的快速乘积这些研究的关键思想来自一个事实,即任何多层次的反-循环矩阵C∈RTN×TN可以对角化为:罚款为XN维傅里叶基W∈CTN×TN. 然后,一个马-Hτ<$(XH):=unfoldd(τ ,T−τ+1)(XH)×{S<$}(12)其中,unfold(v,V)是下式的逆变换:fold(v,V).2.2. 基于Tucker的张量完备化(步骤2)在这里,我们简要说明如何在MDT-Tucker中的步骤2获得Tucker分解。在该步骤中,考虑以下优化问题,WCXW是对角线,其对角线项可以是通过原始张量X的N维傅立叶变换获得。此外,多级Hankel矩阵HX完全包含为多级反循环矩阵CX的一部分。上述结果表明,Hankel张量可以由原始张量的傅里叶变换表示,而无需显式计算。它还表明,Hankel张量和向量(或矩阵)的乘法可以通过使用的傅里叶变换有效地计算,尽量减少G,{Un}2N<$QH<$(TH−G× {U})<$F,(13)原始张量,而不显式使用汉克尔张量S. t.G∈RR1×···×R 2N,Un∈RJn×Rn,Un<$Un=IJ,Rn≤ Jn(<$n ∈ {1,. - 是的- 是的,2N})。它可以通过以下组合来解决: 交替最小二乘(ALS)算法[2]和优化最小化(MM)算法[7,15]。此外,我们解决(13)迭代地同时增加Rn,直到成本函数变得足够小。算法1中总结了所有过程。如何增加每个模式的等级(例如,Rn<$Rn+1)可以通过使用向量Ln来设置。20623. 该方法3.1. 快速MDT-Tucker概述由于MDT对汉克尔张量的显式计算,MDT-Tucker[26]在计算上是昂贵的。我们建议应用第二节中所示的结果。2.3到MDT-Tucker的快速和有效的实施。但是,它不能直接按原样应用。然后,我们建议在这项研究中重新计算MDT-Tucker。MDT-Tucker的重新表述如下:• 为了利用循环矩阵的性质,我们定义了一个循环MDT,并将其替换为正常MDT。2063T∈Q ∈{}∈.ΣG∈x2x. -是的-是的 X31−H·联系我们X∈GF不n=1H τ(x):=0。. -是n∈Rτ×T,(14)∈.Σ^^^• 为了避免Hankel张量的显式计算,我们跳过MDT-Tucker中的步骤1,并将所有三个步骤合并为一个优化问题。• 对于(奇数)因子矩阵U2n−1Rτn×Rn的有效更新,我们不考虑偶模因子矩阵(即,TKD中的偶模因子矩阵被假设为单位矩阵U2n= ITn)。在以下章节中,我们将详细方法一步一步。首先,我们定义循环MDT在Sec。3.2.第二,我们在第二节中展示了重新表述的优化问题。3.3,并在Sec.3.3中推导出其求解算法。三点四分。请注意,解决方案的算法在第二节。3.4不是快速和有效的,而是快速和有效的,通过使用特定的实现与FFT。最后,我们展示了在SEC中实现快速有效三点五3.2. 循环MDT首先,具有延迟窗口大小τ的xRT的循环延迟嵌入被定义为:表2. MDT-Tucker方法与所提出方法的差异(假定 Tn =T,τn = τ ≤ T/2(τn))MDT-Tucker拟定延迟嵌入.步骤31因子矩阵全模仅奇模时间复杂度O(TN)时间复杂度O(N) O(N)其中RT1 ×···×TN和0,1T1×···×TN分别是输入不完全张量和掩码张量。请注意,这些不是MDT获得的T H和QH。合成张量由X=Hτt表示G×Odd{F},它是有效计算的( 见 第 二 节 ) 。 3.5 ) 。 虽 然 核 张 量RR1×T1×···×RN×TN 的 大 小仍然很大,但它不需要显式计算。事实上HτG×odd{F}∈RT1×··×TN可以由一个张量Z∈RT1×··×TN得到,在光学上,它的尺寸要小得多。1x1x2。- 是的-是的 x T...(参见算法2和Sec.3.5)。由于在我们的算法中使用的循环MDTHτ及其逆Hτt可以是xτxτ +1 。. . xτ−1其中τ()是循环延迟嵌入算子。注意,第一行与输入向量相同,第k行由x的宽度为k1的循环移位构造。与MDT类似(见第二节)。2.1),可以考虑重复矩阵S图图2示出了循环延迟嵌入及其逆的示例,其中T = 7且τ = 3。N阶张量X的循环MDTRT1 ×···×TN,延迟窗口大小为τ =(τ1,. - 是的- 是的,τ N)RN可以定义为Hτ(X):= fold(τ,T)(X× {S}),(15)其中Sn0,1τnTn×Tn是重复矩阵.对于2N阶张量HRτ1×T1×···×τN×TN,逆循环MDT定义为:Hτt(XH):=unfold d(τ ,T)(XH)×{St}。(十六)3.3. 重构优化问题在本节中,我们通过使用循环来重新公式化(13)3.4. 优化算法在本节中,我们将解释针对重构问题(17)提出的算法。基本策略与Sec中基于Tucker的张量完成相同。2.2 它在算法2中总结,并结合以下三种技术:秩增量算法、MM算法和ALS算法。算法1和算法2的输入和输出几乎相同.注意,我们在算法推导中考虑了MDT、逆MDT和核心张量,并且所推导算法的朴素实现不是快速和有效的。然而,算法2中的第8、第10和第14行处的昂贵处理可以用FFT以快速和有效的方式实现。To solve the reformulated optimization (17), we considerthe minimization of two auxiliary functions: h and g. 成本函数f及其辅助函数h为f(θ):=<$Q<$(T-Xθ)<$2,(18)h(θ|θ′):=<$Q<$(T-Xθ)<$2+<$Q<$(Xθ′-Xθ)<$2,lant MDT,同时避免显式使用H。 然后,所提出的使用循环MDT的低秩张量完成由下式给出:其中θ ={G,F1,. - 是的- 是的,FNF}是一组参数,XF(十九)θ=尽量减少G,{Fn}N-是的T-H†。G×奇数{F}{\displaystyle{\frac {F}}}{2},(17)Hτt(G×odd{F})是Tucker分解的逆MDT。∈∈使用FFT实现,我们不需要显式执行它们。2064Q:= 1-Q。在MM算法理论的基础上S. t.G∈RR1×T1×···×RN×TN,rithm[7,15],θk+1=a rgminθh(θ|θk)具有Fn∈Rτn×Rn,Fn<$Fn=IR,n代价函数的单调非增性f(θk+1)≤f(θk).Rn≤τn( τ n∈ {1,.- 是的-是的,N}),接下来,我们考虑h的最小化。 辅助2065n=1n=1Z←Q TQXZ←Q TQXΣΣF←←←^~中文(简体)←←←≤←FZQT QX YG ×{}2YHHZH)2XQT −X4:f1←<$Q<$(T-X)<$2Hτ(Z) ×奇{F}9:结束FF−nF算法1基于Tucker的张量完成,MDT-Tucker中的秩1:输入:T∈RT1×···×TN,Q∈{0,1}T1×···×TN,τ=(τ1,. - 是的- 是的 ,τ N),{L1,. - 是的- 是的 ,L2N},tol,第二章: 初始化:k n<$1,R n<$Ln(k n)(n),且XH∈算 法 2 提 出 的 基 于 Tucker 的 秩 增 量 张 量 完 备 化1:输入:T∈RT1×···×TN,Q∈ {0,1}T1×···×TN,τ=(τ1,. - 是的- 是的,τ N),{L1,. - 是的-是的,LN},tol,第 二 章 :初 始 化 : k n<$1 , R n<$Ln ( k n )(n),且X ∈RJ1×···×J2N,{Un∈RJn×Rn}2N,随机RT1×···×TN,{Fn∈Rτn×Rn}N随机3:TH<$H<$τ(T),和QH<$H<$τ(Q)//(步骤1)3:4:f1FFH- -XH 简体中文H中文(简体)第五章: 重复//(步骤2)6:H H H+H H7:对于n = 1,. - 是的- 是的,2N do5:重复6:+7:对于n = 1,. - 是的- 是的,N do领导 奇异向量8:8:Un←RnZH×−n {U9:结束}(n)⊤Fn←R n的前导奇异向量−n(2n−1)10:X ←Z× {UU}10:X←Hτ。Hτ(Z)×odd{FF}//(Sec. (第3.5.2段)H H211:f ←Q(T-X)211:f2← <$QH<$(TH−XH)<$F12:如果|f2−f1|≤tol,则2F12:如果|f2−′f1|≤tol,则13:X′H←QH<$(TH−XH)13:X←Q(T-X)14:n′argmaxnX′H−nU215:kn′kn′+1,Rn′Ln(kn′)16:其他17:f1f218:如果结束19:直到f2≤f20:X←Hτt(XH)//(步骤3)21:输出:X1,U1,. -是的-是的,U2N函数h可以变换如下:h(θ|θ k)=<$Q<$(T-X θ)<$2 +<$Q<$(X θk-X θ)<$2=<$Z θk−Hτ<$(Y θ)<$2,(20)其中θk=+θk且θ=奇F。很难直接使用ALS来最小化h此外,我们考虑另一个辅助函数g来最小化h,其被定义为:g(θ |θk):= θ Hτ1996年(二十一)θ)−Yθk (Z14:n′Eq. (24)//(Sec. (见第3.5.3段)15:kn′kn′+1,Rn′Ln(kn′)16:其他17:f1f218:如果结束19:直到f2二十:21:输出:X,F1,. - 是的- 是的,FN最后,我们解释了如何增加每个模式的秩我们还采用了[ 26 ]中使用的“秩增量”策略首先,我们选择模式n′,其模式残差是对应于奇数的所有模式中的最大值。第n阶模残差定义为除第n阶模因子矩阵外的所有因子矩阵所张成的多线性子空间上的残差。因此,所选模式由下式给出:n′= argmax <$Hτ。X′×odd{F<$}<$2,(24)当我们把τ(θk)作为输入张量时,辅助函数g是Tucker分解的相同形式,可以直接由ALS [2]最小化。h和g关于Yθ的最优性必要条件是Hτ(Hτt(Y θ))=Hτ(Z θk),(22)Yθ=Hτ(Zθk)。(二十三)如果g(23)的条件满足,则h(22)满足。请注意,τ本质上是重复,τt本质上是平//(Sec.3.5.1)n2066均值。函数g使Tucker分解θ具有Hankel结构,而函数h则不具有Hankel结构. 因此,预计使用GIM-证明了H的解的唯一性。哪里′=(θ)。它被解释为意味着所选择的第n′个模式期望降低成本函数当其它模秩不变时,当Rn′增大时,f如何增加每个模式的秩可以由Ln自由设计。例如,如Ln=(1,2,4,8,. . .,τ n)将比逐个递增Ln=(1,2,3,4,.更有效。- 是的- 是的 ,τ n)。3.5. 快速高效的计算该算法的简单实现仍然是缓慢和低效的,因为它计算循环MDT表达式。在算法2中,计算(逆)循环MDT的部分是行8、10和14,并且这些可以通过使用FFT来有效地计算。结果导致2067τ.ΣΣ−n×.美国国家图书馆2:f←FFT(F)<$FFT(F)1(n);1QX←2−n·ττKKKK通过使用在第二节中解释的先前技术第3.5.1节。我们-NN−nFnQ是的。矩阵Pn可以被构造为:建议的过程不需要循环MDT,例如Toeplitz矩阵图3. Dn的一个例子,用于制作Toeplitz矩阵。这是显而易见的,但在理论上可以得到等价的结果。在剩余部分中,我们将解释算法2中每个瓶颈处的拟议实现。MATLAB代码可通过我们的GitHub存储库1获得。3.5.1第8行:更新因子矩阵首先,我们在算法2中提出了第8行的处理。在第8行处的朴素实现包括如下过程:3.5.2第10行:逆循环MDT我们展示了算法2中的第10行。逆循环MDT可以表示为卷积形式并且具有线性。因此,可以在傅立叶空间中计算逆循环MDT。例如,让我们考虑两个向量a∈Rτ,b∈RT(τ≤T),Hτ<$(ab<$)∈RT的元素为. H<$(ab)(t)=1<$a(m)b(t-m+1),(26)m=1这就是卷积。请注意,逆循环延迟嵌入与反对角元素的平均值相同(见图1)。2)。接下来,我们考虑以下线性度:逆循环延迟嵌入。 对于两个矩阵A=(a1,..., aR)∈Rτ×R且B=(b1,...,bR)∈RT×R,Hτ<$(AB<$)∈RT的元素是RHτ<$(A B)(t)=Hτ<$(arbr)(t)。(二十七)r=11. Hn←<$Hτ(Z)×odd{F<$}<$2. An<$HnHn<$∈Rτn×τn;(2n−1);它可以扩展到逆循环MDT,因为通过展开,循环MDT之后的Hankel张量被表示为多级Hankel矩阵利用会议-3. Fn←Rn的左奇异前导向量;H n的大小是τ ninR i乘以原始输入信号的大小。另一方面,所得自相关矩阵An的大小为τn τn,其比Hn小得多。利用循环MDT后的信号可以对角化的特点,可以在不显式计算Hn的情况下计算AnAn的快速实现解的形式,逆循环MDT的计算可以通过使用FFT有效地计算。这些过程可归纳如下:Pr oc. 1:Fn′<$(Fn<$,0)<$∈RTn×Rn;(个)电源1n1n过程3:F<$1×{f幂}∈RT1×···×TN;是以下过程:Proc. 4:Nn=1 τnFFTN(F<$IFFTN(Z));程序1:ZF←FFTN。IFFTN(Z){IFFTN(Z)}Proc. 2:ZP <$ZF × {P} ∈ R(2τ1 −1)×···×(2τN−1);程序3:f←vec(F F <$)∈Rτ 对于所有k n;3.5.3第14行:选择要提升等级的模式最后,我们展示了算法2中的第14行。瓶颈可以加速突破程序4:an←ZP ×−n {f<$D}∈R2τn−1;ingHn=<$Hτ(X′)×odd{F<$}<$−(2n−1),第n模式Proc. 5:An← founder(Dnan)∈ Rτn×τn;where FFT (·) and IFFT (·) are operators of N-残差转换为<$Hτ(X′)×odd{F<$}<$2=tr(HnH<$),(28)二维FFT和N维逆FFT,Pn∈{0,1}(2τn−1)×Tn 是一个裁剪矩阵,Dn∈0,1}τ2×(2τn−1)是Toeplitz结构的重复矩阵2068nnn其中tr()是计算矩阵的迹的运算符。换句话说,第n个模式残差可以通过下式计算:H的自相关矩阵其大小为τ×τ。Pn=.Iτn0 0n∈R(2τn−1)×Tn.(二十五)因此,可以快速有效地计算HnHnε。通过在Sec中输入X′而不是Z来完成第3.5.1节。0 0Iτ n −1图3示出了复制矩阵Dn的示例。1https://github.com/yama30120/fast-MDT-Tucker4. 实验实验在SEC。4.2.1在以下环境中进行:CPU:Intel( R ) Core ( TM ) i7-6900K CPU@3.20GHz , 8cores/16 threads,Memory:128GByte,2069× × × × × × ×××缺失7个切片0.060.040.020原始95%缺失增加图6. 缺失MRI:7个连续切片(t = 92,93,. - 是的- 是的 ,98)在MRI图像中缺失,并且其他切片是90%随机体素缺失。缺失的体素用黑色表示。4.1.2计算时间我们比较了朴素算法的计算时间0 50 100150403020100以及算法2中的第8、10和14行处的所提出的方法的快速算法,其中循环MDT被显式地计算。我们设置参数: T=(256,256,3),τ=(32,32,1),并且R=τ。图5示出各线的计算时间的结果请注意,此图的纵轴是对数050迭代100150轴线 加速实施的有100图4.利用该方法对丢失率为95%的Lena图像进行恢复时的代价函数和排序101100十比一10-2在所有的线条上都要比那个天真的人快一倍。4.2. 回收性能4.2.1视频恢复使用各种方法我们比较了所提出的方法和其他张量完成算法2的性能:核范数和TV正则化(LR TV)[27],SPCQV(约束PARAFAC张量分解)[29],MDT-Tucker [26]。10-38号线10号线14号线我们准备了三个视频数据3,其大小为(112×160 ×160)。图5.比较算法2的简单实现和快速实现的计算时间(秒)。左边的红色条表示原始实现,右边的蓝色条表示加速实现。软件:Matlab R2019a.其他实验在以下环境中进行:2个CPU:Intel(R)Xeon(R)Gold 6238 CPU@2.10GHz,22核/44线程,内存:755 GByte,软件:MatlabR2017 b.4.1. 所提出方法的验证4.1.1单调递减代价函数我们验证了成本函数f在各种数据中单调下降(例如,图像、视频和MRI)。在这一部分中,我们展示了实验,95%的随机体素丢失的Lena图像(256 2563)由所提出的算法2恢复。我们设置参数:332)、(90)160364)和(901603第100页)分别我们在三个不同的地方方法:切片缺失(几帧,水平和垂直切片)和随机体素缺失(70%和95%)。我们应用所提出的方法,其中τ=(8,8,1,8),L1= L2= L4=(1,2,3,4,5,6,7,8),并且L3= 1。选项卡. 3显示了峰值信噪比(PSNR),结构相似性的帧平均值(SSIM)[23]以及这些比较的计算时间,其中最佳PSNR,SSIM和计算时间值以粗体字强调 。 SPCQV 和 MDT-Tucker 几 乎 是 最 好 的 PSNR 和SSIM,所提出的方法是第二或第三最好的。然而,所提出的一个计算时间是数百倍的速度比其他。4.2.2使用MDT-Tucker和所提出的方法的我们恢复MRI图像使用MDT-Tucker和所提出的方法与各种延迟窗口大小。我们预-对大小为(217×181×181)的MRI图像进行拼接,τ=(32,32,1),L1=L2=(1,2,3,4,8,16,24,32),以及L3=1。图4示出了恢复的图像以及成本函数f和秩(R1,R2)的因子。尽管我们的算法是在SEC.3.4没有保证为了使代价函数精确地单调递减,我们的实验表明代价函数单调递减2LR& TV 、 SPCQV 和 MDT-Tucker 的 源 代 码 来 自 https ://sites。Google.com/site/yokotatsuya/home/software.3smoke1和smoke2从NHK创意图书馆获得https://www.nhk.or.jp/archives/creative/,并且这些被下采样用于实验。第一模式等级第三模式等级天真快成本函数秩计算时间(秒)2070≥∀∈{表3.比较恢复视频的峰值信噪比(PSNR)、结构相似性帧平均值(SSIM)和计算时间(秒)。这些条目表示(PSNR、SSIM、计算时间)。LR TV SPCQV MDT-Tucker建议海洋,切片丢失(30.1,0.931,529)(25.9,0.929,457)(30.8,0.953,3160)(30.1,0.946,(第4.27段)海洋,缺少(26.2,0.820,528)(33.3,0.961,684)(30.4,0.930,3789)(26.0,0.846,(第6.52段)海洋,95%的体素缺失(20.6,0.469,973)(24.1,0.702,588)(24.0,0.721,4346)(22.0,0.605,(第9.48段)smoke1,切片缺失(40.6,0.990,1040)(37.6,0.977,197)(41.7,0.992,964)(40.1,0.990,(第5.39段)smoke1,70%体素缺失(35.1,0.967,1193)(34.7,0.941,380)(38.6,0.975,1038)(34.8,0.962,(第7.71段)smoke1,95%体素缺失(27.7,0.877,1810)(31.7,0.914,515)(28.3,0.875,1197)(28.7,0.885,(12.87)smoke2,切片缺失(32.9,0.979,1389)(33.2,0.977,399)(40.6,0.992,1851)(39.2,0.993,11.19)smoke2,70%体素缺失(26.2,0.925,1504)(35.1,0.964,801)(41.3,0.992,2007)(31.6,0.966,(17.21)smoke2,95%体素缺失(19.6,0.741,2088)(31.6,0.935,1055)(26.3,0.877,2255)(23.7,0.831,(33.40)原始图7.结果使用MDT-tucker和所提出的方法在不同的τ值下恢复了丢失的MRI。框中的X表示由于内存限制,无法恢复缺失的MRI。表4.比较所有切片的PSNR、SSIM平均值和恢复MRI图像的计算时间(秒)。这些条目表示(PSNR、SSIM、计算时间)。“不适用”表示由于内存限制而不适用。τ MDT-Tucker拟定8(26.39,0.859,10542)(27.87,0.896,49.4)以7个连续切片(t = 92,93,. - 是的- 是的,98)缺失和90%随机体素缺失(见图1)。(六)。图7示出了MDT-Tucker和所提出的方法的恢复结果,其中延迟窗口大小为τ=(τ,τ,τ)(τ8,16,32,48,64)。在所有的τ中,等级一个接一个地递增:Ln=(1,2,3,4,. . .,τ)(n).由于内存需求巨大,无法计算使用MDT-Tucker和τ16的恢复,因此无法获得结果。选项卡. 图4显示了两种方法的PSNR、所有切片的SSIM平均值以及恢复MRI的计算时 间 When τ = 8, the pro- posed method is betterrecovery than MDT-Tucker. 随着τ的增加,恢复精度也提高。怎么-提出MDT-塔克16N.A.(28.62,0.909,77.2)32N.A.(28.97,0.914,120.6)48N.A.(29.04,0.913,157.4)64N.A.(29.00,0.911,219.5)2071当τ≥48时,精度没有提高。5. 局限性和结论在这项研究中,我们提出了一个快速和有效的算法MDT-Tucker。为此,我们修改MDT-Tucker通过引入循环形式的MDT,一步优化与逆MDT,和减少一半的因子矩阵。结果表明,利用FFT可以有效地进行优化算法的计算,在保持高精度的前提下,比原MDT-Tucker算法快近100此外,该方法还可以计算原算法不适用的具有较大τ的结果的差异来自于本研究中MDT-Tucker的修改。第一个修改是正常MDT循环MDT。循环MDT的引入意味着假设目标信号为周期信号.换句话说,这是一种对某些图像进行图像建模的方法,使得左边缘和右边缘连接。这种变化直接有助于使用傅里叶变换的加速,但它会产生错误的图像恢复的信号,不是固有的周期性。相反,它对背景为零的图像(如MRI)几乎没有影响第二个重要的修改是减少一半的因素矩阵。这种修改使得图像模型不同。与MDT-Tucker方法对所有模式都能捕捉到低秩结构相比,本文方法只对奇模捕捉到低秩结构。Hankel张量中的奇模和偶模分别对应于原始张量中的局部模式和全局模式。因此,所提出的方法很好地捕捉图像中的局部模式的相似性,而不是全局模式。从实验结果来看,缺乏全局低秩结构的影响在非常不适定的情况下是显著的(例如,95%缺失)。实验结果表明,该方法在τ值适当的情况下具有良好的图像重建效果。然而,τ的值应根据输入信号手动调谐。τ的自动选择对于现实世界的应用是非常重要的,并且它包括在未来的工作中。2072引用[1] Evrim Acar,Daniel M Dunlavy,Tamara G Kolda,andMorten Mørs. 不完整数据的可伸缩张量因子分解。Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems , 106(1):41-56,2011. 1[2] 利文·德·拉索尔,巴特·德·摩尔,乔斯·范德瓦尔.在最佳秩-1和秩-(r1,r2,...,rn)高阶张量的近似SIAMJournal on Matrix Analysis and Applications,21(4):1324-1342,2000. 三、五[3] Tao Ding,Mario Sznaier和Octavia I Camps。一种基于秩最小化的视频修复方法。在ICCV的会议记录中,第1-8页。IEEE,2007年。1[4] 丁未央、齐立群、魏益民。 快速Hankel张量向量积及其在指数数据拟合中的应用。Numerical Linear Algebrawith Applications,22(5):814-832,2015. 一、二、三[5] 马特奥·弗里戈和史蒂文·G·约翰逊。FFTW:FFT的自适应软件架构。在ICASSP会议录,第3卷,第1381-1384页IEEE,1998年。2[6] Silvia Gandy,Benjamin Recht,和Isao Yamada.通过凸优化实现张量完备化和低秩张量恢复。逆问题,27(2),2011年。1[7] David R Hunter和Kenneth Lange。一个关于MM出租的教程. 美国统计学家,58(1):30-37,2004。三、四[8] 丹尼尔·克莱斯纳,迈克尔·斯坦莱克纳,巴特·范德雷肯.低秩张量黎曼优化完成。BIT Numerical Mathematics,54(2):447-468,2014. 1[9] Ye Li,KJ Ray Liu,and Javad Razavilar.基于低阶汉克尔近似的阻尼正弦信号参数估计方法.IEEE Transactionson Signal Processing,45(2):481-486,1997. 1[10] Ji Liu , Przemyslaw Musialski , Peter Wonka , andJieping Ye.用于估计视觉数据中缺失值的张量完成。在ICCV的会议记录中,第2114-2121页。IEEE,2009年。1[11] Ji Liu , Przemyslaw Musialski , Peter Wonka , andJieping Ye.用于估计视觉数据中缺失值的张量完成。IEEE Transactions on Pattern Analysis and MachineIntelligence,35(1):208-220,2013。1[12] Zhen Long,Yipeng Liu,Longxi Chen,and Ce Zhu.多路可视化数据的低秩张量完成信号处理,155:301-316,2019。1[13] 凌璐,魏旭,乔三正。用最少的内存实现多级分块Hankel矩阵数值算法,69(4):875-891,2015年。一、二、三[14] 伊万·马可夫斯基结构低秩逼近及其应用。Automatica,44(4):891-909,
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