Lambda Twist: 一个快速准确的P3P求解器

λ扭曲：一个精确的快速鲁棒透视三点（P3P）求解器。MikaelRupson1[0000−0002−5931−9396]和Klas Nordberg1瑞典林口平大学计算机视觉实验室抽象。我们介绍了Lambda Twist;一种新的P3 P求解器，它是准确的，快速的和强大的。当前最先进的P3P求解器找到四次曲线的所有根，并在后处理步骤中丢弃几何上无效和重复的解。而不是解决一个四次，建议的P3P求解器利用基本的椭圆方程，可以解决一个快速和数值精确的对角化。这种对角化需要立方的单个实根，然后用于找到多达四个P3P解决方案。与直接四次求解器不同，我们的方法从不计算几何无效或重复的解决方案。综合数据的广泛评估表明，新的求解器具有更好的数值精度和速度相比，国家的最先进的P3P implementations。实现和基准测试可以在github上获得。关键词：P3P· PnP·视觉里程计·相机几何1介绍从已知模型点的投影观测进行姿态估计，也称为透视n点问题（Perspective n -point Problem，PSEK），广泛用于几何计算机视觉系统中。特别地，从相对于世界坐标系的η个3D点的观察中找到相机姿态（取向和位置）通常是视觉里程计和增强现实系统中的第一步[12，7]。它也是从运动重构结构和无序图像重建的重要组成部分[1]。具有有限数量解的最小P3P问题需要在非退化配置中进行三次（n=3）观测，称为P3P问题（图1）。我们关注的是低功耗硬件和AR/VR上里程计的延迟和准确性关键场景。由于延迟和定位误差两者独立地不仅破坏沉浸，而且还导致恶心，因此准确的解决方案和最小的延迟是至关重要的。作为示例应用，用于AR/VR的基于视觉的定位将一些标记/信标放置在目标上，然后使用高速相机找到这些标记/信标。理想情况下，我们将直接在芯片上解决姿势，而无需将完整的图像流发送到其他地方，从而要求最小的成本。此外，因为标记被放置在小区域上并且相机具有相对低的分辨率，所以标记彼此接近，这意味着由于接近退化情况而导致的数值问题是常见的，并且算法必须是鲁棒的。实验将表明，与最先进的技术相比，我们在速度和准确性方面都取得了重大进展。电子邮件：liu.se2M. Persson，K. 诺德伯格调查文献，我们发现，P3P求解器是直接或三角。三角测量方法首先使用姿势不变量对相机坐标系中的点进行三角测量，仅留下距离作为未知数，然后求解姿势。在这种情况下，旋转被求解为四元数或R∈SO（3），这取决于最终用户的偏好。这允许几何可行性约束，即每个点必须位于相机前面，以在计算姿势之前限制解决方案相比之下，直接方法使用投影不变量来参数化输入系数中的姿态因此，他们必须在找到解决方案后应用可行性约束，作为后处理步骤。据我们所知，所有的直接方法，包括最先进的[6，8]，都是基于找到四次曲线的四个根。这需要复杂的算术和根抛光，ING实现高数值精度。相比之下，三角化方法可以通过对角化3 × 3矩阵来找到所有P3P解。此外，Kneip而Ke输出R∈SO（3），如果需要单位四元数表示，则需要仔细转换。因此，三角测量方法在以下方面具有潜在优势：数值的复杂性和准确性。这促使我们重新审视P3P问题。为此，我们推导出一种新的三角P3P解决方案，旨在提供高的数值精度和计算性能。与以前的方法基于类似的姿态不变量，我们使用一种新的解决方案的路径。这使我们能够在早期阶段丢弃我们明确地利用，只有一个真正的根的对角化立方是必需的。我们找到这个根使用牛顿这提高了数值精度并再次节省了计算。我们认为，我们的算法的主要优势是相对的数值稳定性解决一个根的一个三次相比，在解决一个四次的多个迭代求解器。请注意，虽然提前丢弃无效和重复的解决方案可以节省时间，但我们的解决方案避免了另一个更微妙的问题请注意，四次求解器根的数值精度随着根重数的增加而严重降低因为这样的根对应于重复或接近重复的解，并且因为这样的重复是常见的（参见第4.4节），所以这降低了基于四次的解算器的数值精度，超出了原本可能预期的精度此外，这预测了在实验中看到的行为，其中由Ke的求解器找到的不正确的解由于我们需要迭代计算单根，因此三次函数的多重性不会显著影响求解器的数值精度。此外，由于立方的不同根不对应于不同或重复的解，因此更高的多重性是罕见的。最后，使用的初始化使得我们收敛到的根很可能是具有最佳数值特性的根。虽然接地几何，所提出的方法是使用线性代数的方法。该方法简单地参数化到三个3D点的符号距离。虽然很难比较，但我们认为，所提出的方法比较容易理解。通过大量的实验，我们表明，我们的求解器实现了优越的计算和显着更好的数值性能比现有技术。Lambda Twist P3P3X1P= [ R，t]图1.一、P3P设置，其中每对{x1，y1}、{x2，y2}和{x3，y3}用于计算相机姿态P =[R，t]。1.1相关工作在文献中可以找到解决P3P的几种方法。P3P的第一个解决方案是由Grunert在1841年发表的[4]，它证明了P3P有多达4个可行的解决方案。从那时起，已经出版了大量的求解器，以各种方式改进了原始配方 概述了几个相关的P3P算法，直到1991年的文件中提出的Haralick等人。[5]的文件。最近的方法可以在Gao等人的工作中找到[2]，Kneip et al.”[8]，《易经》云：“君子之道，焉可诬也？”[6]的文件。大多数P3P求解器中的共同主题是每个有效解与四次曲线的根相关联。求解器之间的不同之处在于如何从已知数据中公式化该四次曲线，以及如何将解与根相关联为了找到P3P的所有有效解，这些方法因此需要找到四次曲线的所有实根提出的一些方法，例如Finsterwalder的一个，由Haralick等人解释。”[5]《说文》：“君子之道，焉可诬也？有始有卒者，其惟圣人乎。[3]，已经观察到成对的P3P解可以与三次方根相关联。在P3P的文献中，这种观察并没有得到太多的关注特别是，它没有在最新的P3P方法。在本文中，我们提出了一种新的P3 P求解器，虽然它的股份投影invari- ant开始与Grafarend等人。[9]，遵循不同的解决方案路径，从而实现有效的实施2问题公式化给定校准的针孔相机，三个3D点xi=（xi，yi，zi），以及对应的齐次图像坐标yi=（ui，vi，l），使得|yi|=1，则：λiyi= Rxi+t，i∈{1，2，3}，（1）其中旋转R∈SO（3）与平移t∈IR3一起定义相机的姿态简而言之，P3P求解器是函数[Rk，tk]= P3P（x1：3，y1：3）。 根据点的配置，P3P最多有四种解决方案。y1y2X2y3X34M. Persson，K. 诺德伯格不2.1要求众所周知，确保解的有限集合的必要条件是3D点和2D点都不共线[5]。此外，任何解决方案都应满足两个特定要求。首先，它们应该是真实的。第二，由于参数λk是每个3D点距相机中心的带符号距离，因此λ1、λ2和λ3需要是正实数。这是解决方案的几何可行性条件，这意味着所有三个3D点都在3Lambda扭曲推导在本节中，我们推导出所提出的解决P3P的算法起点是（1），并且第一步是消除t和R，仅留下带符号的距离参数λi作为未知数。更准确地说，他们必须解决一个系统的三个非齐次二次方程。正如我们将看到的，三个非齐次方程的解可以通过首先将问题简化为一对齐次二次方程来确定。求解这些齐次二次方程同构于寻找平面上两个椭圆的交点。我们对角化的椭圆方程，通过找到一个秩2的线性组合的约束。找到这个rank 2组合需要三次多项式的单个根一般来说，这个根给我们四个正的集合（λ1，λ2，λ3），对应于向量Λ∈IR3，“λ空间”的一个最后，对于Λk个参数的每个几何上可行的集合，我们确定对应的相机姿态（Rk，tk）。3.1姿势不变约束原则上，（1）中的齐次图像坐标yi可以乘以任意非零标量。通过这样做，参数λi必须成反比。如果缩放是正的，则每个λi表示缩放的深度，但是第2.1节中描述的符号规则仍然适用。在下文中，我们缩放每个yi，使得yi=1。我们从平移t开始消除，通过取两两差异在（1）中的三个方程中，然后考虑R∈SO（3）和yi=1：λiyi−λjyj= R（xi−xj），=⇒（2）|2=|X|x--|2定义i i j jij=aij，=⇒λ2+λ2−2bij=aij，（3）I jdefBij=yi yj。这使得我们只有λi作为自由变量从三个非平凡中确定ij即{12，13，23}。这是我们接下来要做的3.2三个非齐次二次多项式（3）中的缩放深度参数λi的约束可以以更紧凑的方式公式化为Λ ΛΜ12Λ=α12，ΛΛΜ13Λ=α13，ΛΛΜ23Λ=α23，⑷Lambda Twist P3P5我我哪里1−b1201 0−b130 0 0M12=−b1210，M13=0 00，M23=0 0 0−b13010−b231变量有一个几何解释：bij=yTyj是图像点i和j的投影射线之间的角度的余弦，以及ai j是3D点xi和xj之间的平方距离。 由于我们要求3D点不共线，因此aij>0，ij。从（4）中可以得出一些结论。首先，我们看到如果Λ解这三个方程，那么−Λ也解。然而，如第2.1节所述，只有所有λi>0的解才是感兴趣的。第二个观察结果是解的Λ的集合（4）中的等式形成以三个轴中的每一个为中心的椭圆柱。空间每个解Λ是所有三个圆柱体彼此相交的点通常，考虑到Λ的符号翻转，存在8个这样的点，尽管这些交点中的一些可能是复杂的。如2.1节所述，我们想要移除复Λ以及任何不位于λ空间的“正八分圆”中的Λ3.3两个齐次二次多项式等式（4）的线性组合提供了一组齐次多项式，其被紧凑地公式化为D1= M 12a 23−M 23a 12=D2= M 13a 23−M 23a 13=.Σd11d 12d 13.Σ21岁 22岁23岁、（五）、（6）ΛDΛ=0，i∈{1，2}，（7）其中dij是矩阵Di的列j。由于（7）是齐次多项式，因此对Λ的范数的任何要求都丢失。将解代入（4）中的一个方程，就可得到适当的尺度。（7）中的方程指定了（λ1，λ2）中的两个椭圆，如果λ3=1。因此，解表示椭圆的交点。3.4三次多项式现在我们转向找到解决（7）的Λ的问题。现在，我们假设D1和D2是不确定的，因为当这不是真的时，这种情况是平凡的或退化的。在等式（7）中，每个二次型具有以λ空间中的椭圆双锥的形式设置的解这两个圆锥最多沿四条线相交对于任何指定为D1和D2的线性组合的二次型也是如此这种双锥的一个特例是一对平面，其中每个平面与其中两条线相交。这种退化的情况正好发生在线性组合具有秩2. 然后，包括Λ的平面是除了先前的线性约束之外的额外的线性约束。6M. Persson，K. 诺德伯格二次关系该观察对于所提出的求解器是关键的，并且我们接下来将考虑如何确定这些平面，以及如何使用它们来找到所有有效的Λ。我们形成D0=D1+γD2，它有一个很容易确定的解空间我们通过解0 = det（D0）= det（D1+ γD2）。（八）这对应于γ中的三次多项式：c3γ3+c2γ2+c1γ + c0.（9）四个系数由下式给出：C3检测（D2）cc=2=2122二十三度（十）c1d11（d22×d23）+d12（d23×d21）+d13（d21×d22）c0det（D1）当D1或D2是半定的或不定的且有一个特征值为零时，我们得到c0=0或c3=0.在这种情况下，没有必要形成和解决这个三次，我们简单地设置D0=D1或D0=D2。在一般情况下，我们可能仍然希望避免接近c3≈0的情况，因为立方函数在数值上变得不稳定。在这种情况下，逆多项式的实根，即所以，γ= 1，反之亦然。在实践中，这些几乎是不存在的情况下，多项式是很好的有条件的一般来说，我们可以假设c3和c0都不为零，并且三次多项式定义明确，有一个，两个或三个不同的根。对角化D0只需要一个实根γ0，它可以用几种标准方法中的任何一种找到 有了γ0，我们设D0 = D1 + γ0D2.我们记得D0指定两个平面，每个平面与包括Λ求解（7）的两条不同的线相交在有四条这样的线的情况下，有三种指定方法两架飞机。因此，我们应该期待的问题，找到退化锥，指定的D0，有三个解决方案。正如我们所看到的，找到这个D0可以用公式表示为找到一个立方根虽然额外的根提供了对Λ的更多约束，但我们将在下一步中看到，D0的一种情况足以找到P3P的所有解。3.5D0的对角化D0的特征值分解结果为D0 = ESEe0e1e2，其中E=e3e4e5=e6 e7 e8.Σe1，e2，e3，.（十一）矩阵E在其列ei中保持IR3的正交基，并且S在其对角线中保持相应的特征值。由于det（D0）= 0，因此至少一个特征值⊤Lambda Twist P3P7se1−e0se1−e0101是零，我们可以假设S具有以下形式：σ10 0S=ETD0E=0−σ20，（12）0 0 0σ1>0，σ2≥0。事实上，至少有一个非零特征值，如果有一个以上，他们有相反的符号，是一个普遍的观察。当刚性变换与观察相关时，该属性保持。我们利用我们知道的一个特征值的D0是零的有效的特征值分解算法2。该算法还对特征向量重新排序以确保|σ1|≤|σ2|. 这提高了后面步骤中的数值性能。3.6求解Λ我们使用D0的特征值分解来求解ΛTD 0Λ = 0，首先使用g求解更简单的方程pTSp=0。其中p=（p1，p2，p3）T。对于p=sp，我们发现对任何p，s=±−σ2。1 2σ13s的每个解给出了λ1、λ2、λ3之间的线性关系，使用p= ETΛ：e1Λ=p1=sp2，e2Λ=p2，=⇒se2Λ=sp2，=⇒e1Λ−se2Λ= 0，=⇒λ=e3−se4λ+e6−se7λ=wλ+w λ。（十三）12` 联系我们w03` 联系我们w10 2 1 3s的两个解给出了等式（13）中λ1的两个可能的表达式接下来令：λ3= τλ2。 这意味着τ> 0，因为我们只寻求满足几何可行性约束的λ i > 0的解。将λ3=τλ2和等式（13）插入例如ΛD1Λ=0给出⊤w0+ τw122τD1w0+τw11τ= 0。（十四）这导致τ中的二次方程：aτ2+bτ+c=0，其中系数为：a=（（a13−a12）w2+ 2a12b13w1−a12），b=（2a12b13w0−2a13b12w1−2w0w1（a12−a13）），（15）c=（（a13+ a13− a12）w2− 2a13b12w0）。总之，对于s的两个可能值中的每一个，我们得到τ的两个解。这给出了多达四个解决方案。此时，复数和负τ被丢弃，因为λ8M. Persson，K. 诺德伯格τ（b+τ）+123kk它们将永远不会导致真实的和几何上可行的姿态。我们将幸存解表示为τk。接下来，我们使用λ3k=τkλ2k和等式（4）确定每个τk的λ2k具体来说，我们使用ΛTM 23ΛT= a12，因为它不依赖于λ1。 结果是.λ21 ΣTΣ。Σ1 −b231=a，λ>0，（16）2 K τk−b231τk.232k由λ2k=a23。这给出了对于每个τ k的λ2k。注意a23>0且（τk（b23+τk）+1）>0，因为|b2 3|≤1。最后，我们从等式（13）计算λ3k=τkλ2k和λ1k总而言之，对于每个τk，我们得到Λk。到目前为止，我们只保证λ2和λ3是正的。如果λ1k0，则丢弃Λk<这确保了剩余的Λk在几何上是可行的。3.7恢复R和t此时，我们有一组多达四个几何可行解Λk。对于每个Λk，仍然要确定对应的相机姿态（Rk，tk）。旋转Rk可以从（2）中的ij∈ {12，13，23}恢复，但是由于出现在这些方程的右手侧的3D点的差是线性相关的，所以这三个方程可以是：方程的秩为2。为了增加秩，我们可以取前两个等式左侧这必须等于右侧相应条目的叉z1×z2= R.（x1−x2）×（x2−x3）Σ、（十七）其中z1= λ1y1− λ2y2，z2= λ2y2− λ3y3。（2）中的前两个方程与（17）一起给出：Y=RX，（18）.ΣY =z1，z2，z1×z2.、（十九）ΣX=x1−x2，x2−x3，（x1−x2）×（x2−x3），（20）R= YX−1。（二十一）这个解只提供R∈SO（3），如果对应是精确的。这由等式⑴保证。最后，姿态的平移部分可以从（1）中的三个等式中的任何一个来求解t=λiyi− Rxi。（二十二）最后，这产生一个姿态（Rk，tk），其针对每个可行向量Λk求解（1这是由前一步骤产生的。如果需要的话，给定（17）中的两个3D对应关系，可以提取相应的单位四元数qk，参见附录A.2。我们使用的旋转矩阵表示，使算法更密切可比的替代品。Lambda Twist P3P9算法1λ扭曲P3P.Σ1：函数MIX（n，m）=n，m，n×m2：函数P3P（y1：3，x1：3）3：归一化yi=yi/|yi|4：根据（3）计算aij和bij6：计算三次方程7的实根γ至⑶-（10）：D0=D1+γD28：[E，σ1，σ2]=EIG3X3KNOWN0（D0）. 参见算法29：s=±−σ2σ110：使用等式（14）和等式（15）中的系数计算每个s的τk>0，τk∈R12：Xinv=（mix（x1−x2，x1−x3））−113：对于每个有效Λk，do14：高斯-牛顿-精化（Λk），见3.8节15：Yk=MIX（λ1ky1−λ2ky2，λ1ky1−λ3ky3）16：Rk=YkXinv17：tk=λ1ky1−Rkx118：返回所有Rk，tk3.8实现细节我们通过使用Newton-Raphson方法找到对角化γ作为等式（9）中的立方的根，该方法使用简单的启发式初始化一旦计算出Λk，它们也根据标准实践[13]进行细化。具体地，我们使用对等式（4）的平方和的高斯-牛顿优化的几个验证步骤来细化解决方案Ke等人在P3P求解器中使用了类似的改进。注意，对于这两种算法，在2次迭代之后精度很少提高。这结束了在算法1和2中总结的Lambda Twist P3P算法。4实验我们进行了三个实验：一个用于评估所提出的方法的数值精度，两个用于评估执行时间。为了证明所提出的方法的性能，随机合成的数据进行实验所提出的方法是在C++中实现的，并进行了比较，以国家的最先进的P3P求解柯等人。[6]，以及P3P求解器Kneip et al.[8]的一项建议。公开可用的C++实现的两个国家的最先进的方法已被使用。Ke et al.[6]可作为OpenCV[10]的一部分，Kneip等人的方法[8]在[11]中可用这些求解器都表明，他们提供了优越的计算和数值性能相比，早期的工作。这些算法是用GCC编译的，使用相同的优化设置作为同一程序的一部分。数值和时间基准可以与主要作者10M. Persson，K. 诺德伯格2236算法2eig3x3known0一曰： 函数GETEIGVECTOR（m，r）2：c=（r2+m1m5−r（m1+m5）−m2）3：a1 =（rm3+m2m6−m3m5）/c4：a2=。（rm6+m2m3−m1m6）/c5：v=a1a216：返回v/|v|7：函数EIG3X3KNOWN 0（M）8：b3=M（：，2）×M（：，3）;9：b3= b3/|B3|10：m=M（：）11：p1=m1−m5−m912：p0= −m2−m2−m2+m1m5+m9+m5m913：[σ1，σ2]作为σ2+p1σ+p0= 014：b1 =GETEIGVECTOR（m，σ1）15：b2 =GETEIGVECTOR（m，σ2）16：如果|σ1|>>|σ。2|然后Σ第17章：回归18：其他第19章：一夜情[b1，b2，b3]，σ1，σ2.Σ[b2，b 1，b 3]，σ 2，σ 1github页面比较使用Intel Core i7-6700 3.40 GHz CPU执行，代码使用gcc 4.4在ubuntu 14.04上编译，编译选项为：-O3和-march=原生。Ke和Kneip的实现总是输出四个解，并非所有解都是正确的。用户必须确定哪些是有效的。因此，我们扩展这些实现与最小的后处理步骤。这去除了不满足几何可行性约束的解，即λi>0。我们还删除包含NaN或不近似包含旋转矩阵的解决方案，即。|10- 6和|R1 0−6且Ri，Rj∈SO（3），比其他任何一种方法都好。这在很大程度上但不完全是由于其他算法不适用的样本找到准确的解决方案。 值得一提的是，我们没有找到重复的解决方案，不像Ke等人。他们的算法发现约0.3%的重复和36%的不正确的解决方案，在标准配置与两个根细化迭代。有趣的是，如果根细化迭代的次数增加，Ke的方法只能找到稍微多一点的相反，它细化的解决方案，否则将不满足解决方案的标准，到副本做。这导致重复率为36%。可以说，在大多数应用程序中应该删除重复项，但这一步骤没有添加到后处理中，因为它们在技术上是正确的。Lambda Twist P3P13克奈普我们的克频率数值误差0-1-210.90.80.7定时-30.60.5-40.4-50.3-6-7-15-10-50Log10（错误）一0.20.10150225300375450525600675750825900975 1050分布nsB图二、a求解器数值精度似然。b107个样本的时间比较我们提出两点补充意见：首先，任何导致我们的方法失败的样本，都会导致其他两种方法失败，即我们从来没有更糟。第二：我们的算法和Ke等人的算法的每一次失败。都是已知的退化病例这不是Kneip等人的算法的情况下，一个罕见的取消条款，导致除以零，可以发生在一个非退化的情况下。当Ke的算法失败时，最常见的原因是由于四次根后的数值噪声，该方法不能确保输出矩阵在SO（3）中。不幸的是，Ke等人的基准测试隐藏了这个错误，因为它将得到的旋转矩阵归一化/转换为单位四元数作为评估的一部分该步骤是昂贵的并且不包括在它们的定时测量中。与他们的工作相比，这里看到的性能下降是因为我们的指标没有隐藏这个问题。虽然我们理解的吸引力的几何解释错误，我们得出结论，数值精度的估计，最大限度地减少误差估计误差的措施是可取的。5结论我们提出了一种新的P3P方法，具有更好的数值性能，比以前的国家的最先进的速度我们认为，速度和精度都是避免四次曲线而采用三次曲线我们已经使用广泛的合成测试的方法的性能。该测试充分强调了发现故障的可能此外，该方法让用户选择是否使用单元四元数或R∈SO（3）旋转作为输出而不需要转换。该方法和基准将在以下网址提供：https://github.com/midjji/lambdatwist-p3p网站。克奈普我们的克Log10（可能性）14M. Persson，K. 诺德伯格6致谢这项工作由Daim lerAg、Singul are yeAB和Lin köpingUni versity以及CENTAURO提供资金A附录A.1（7）的简并性当D1是标量乘以D2时，（7）中的两个方程退化，在这种情况下，解的集合是无限的。 考虑到aij> 0，对（5）-（6）中的两个矩阵的直接检查示出退化情况意味着D1 = D2. 当且仅当b12=b13=b23=0，以及a23= 0。（二十三）这意味着简并性要求23=0，这又意味着3D点是共线的。A.2来自两个3D对应的四元数给定两个3D对应，旋转可以作为单位四元数q来找到ai，bi：ai= Rbi⇒.Σ。Σ0=q*0aibiqc= QBiqcQTai = Biqc⇒ Aiqc = Biqc=⇒（A-B）qcdef我我.Σ。= Ziq= 0=⇒ΣZ1 Z2Z1qZ2def=Kq = 0然后使用专门的求解器从K中提取q，该求解器利用K恰好具有一个零奇异值。Lambda Twist P3P15引用1. Agarwal，S.，Snavely，N.西蒙岛Sietz，S.M.，Szeliski，R.：一天建成罗马。第十二届IEEE计算机视觉国际会议（ICCV 2009）。IEEE，日本京都（2009年9月），https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/building-rome-in-a-day/12. Gao，X.S.，Hou，X.R.，唐，J.，Cheng，H.F.：透视三点问题的完全解分类。IEEETransactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence25（8），9303. Grafarend，E.W.，Lohse，P.，Schaffarin，B.：第一部分：模具项目Gleichungen。Tech. 代表，斯图加特大学大地测量研究所（1989年）34. Grunert，J.A.：格式塔心理学中的认知问题在地理学中是一个普遍存在的问题.In：Grunerts Archiv fr Mathematik und Physik（1841）35. Haralick，R.M. Lee，C. Ottenberg，K.：三点透视位姿估计问题的分析与解决。IEEE计算机协会计算机视觉和模式识别会议。pp. 5926. Ke，T.，Roumeliotis，S.：透视三点问题的有效代数解法。在：计算机视觉和模式识别（CVPR），2017年IEEE会议上。IEEE（2017）2，3，97. 克莱因，G.，Murray，D.：用于小型AR工作空间的并行跟踪和映射。在：Proc.Sixth IEEE and ACM International Symposium on Mixed and Augmented Reality（IS-MAR'07）中。日本奈良（2007年11月）18. 克奈普湖Scarmuzza，D.，西格瓦特河：直接计算摄像机绝对位置和方向的透视三点问题的新参数化。IEEE计算机协会计算机视觉和模式识别会议pp. 45469. Muller，M.E.：关于在n维球面上均匀生成点的方法的注记。Comm of ACM2（4），1910. 网页：https://opencv.org/911. 网页：http://www.laurentkneip.com/software/912. Persson，M.，Piccini，T.，梅斯特河Felsberg，M.：从单目技术稳健立体视觉里程计。在：IEEE智能车辆研讨会（2015）113. Press，W.H.，Teukolsky，S.A.，W.T. Vetterling，Flannery，B.P.：《C++中的数字配方：科学计算的艺术》剑桥大学出版社（2002）9