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4941线性矩阵不等式约束放大图片作者Pablo Speciale1,Danda P.Oswald1,Till Kroeger2,Luc V. Gool2,4,and MarcPollefeys1,31苏黎世联邦理工学院计算机科学系。3微软,雷德蒙德,美国2计算机视觉显示器y,D-ITET,ETH苏黎世4VISICS,ESAT/PSI,KU Leuven,比利时{pablo,moswald,marc.pollefeys}@ inf.ethz.ch{paudel,kroegert,vangool}@ vision.ee.ethz.ch摘要共识最大化已被证明是一个有用的工具,鲁棒估计。虽然像RANSAC这样的随机化方法速度很快,但它们不能保证全局最优性,并且无法管理大量的离群值。另一方面,全局方法通常很慢,因为它们没有利用手头问题的结构。本文证明了通过引入线性矩阵不等式(LMI)约束,解空间可以这导致优化时间的显着加速,即使对于大量的离群值,同时保持全局最优性。我们研究了几种情况下,目标变量具有特殊的结构,如旋转,缩放旋转,本质矩阵,这是作为LMI约束。这在几个标准的计算机视觉问题中非常有用,例如估计相似变换,绝对姿势和相对姿势,我们在合成和真实数据集上都获得了令人信服的结果。在高达90%的离群率下,RANSAC经常失败,我们的约束方法始终比非约束方法更快-同时找到相同的全局解决方案。1. 介绍许多中心计算机视觉问题的主要困难之一-除了正确处理噪声和不完整数据-是离群值的鲁棒检测。对于许多优化方法,离群值的数量对运行时间甚至对可解性具有巨大影响。因此,稳健估计的一种常见方法文献中已经提出了大量的抗差估计优化方法,大致可分为局部优化方法和全局优化方法。鸣谢。该项目获得了欧盟地平线2020研究和创新计划以及欧洲研究理事会项目VarCity的资助,资助协议编号为2019 - 2019。637221和273940。局部优化方法RANSAC [13]目前有超过15K的引用,是迄今为止最流行的方法。 它已被用于许多应用中,并已提出许多扩展,例如。[2018 - 08 - 18][2018 - 08 -18][2018 - 08 - 18][2018 - 08 - 18][2019 - 08 - 19]最大的优点是它的简单性和各种场景的有效性,但它也有一些缺点:1)它不保证最优性,并且仅找到局部最优,2)如果它不包含在采样集中,则它不能找到精确解,以及3)其预期的计算时间随着大量的异常值呈指数增长。全局优化方法全局方法通常具有相当大的计算成本,因为它们大多基于在整个优化域内的穷举搜索。几乎每一个全局方法都使用分支定界(BnB)策略来使搜索易于处理,例如。[1、2、16、22、38]。与我们的方法类似,有几种方法在BnB优化中使用混合随机编程(MIP)[4,9,22,36],以便更快地解决整个问题。最近[5]提出将一致性最大化问题转化为树搜索问题,然后用A-搜索遍历以实现更快的优化。与[10,26]等穷举方法相比,该方法不需要对残差进行线性化,只遍历树的一个小子集。应用方面,许多相关的工作专门针对特定的问题类别,如线性问题[22],伪凸问题[5,21],或者,它们甚至更专门针对特定类型的几何问题,例如包括旋转[2,16],旋转+焦距[1],平移[14],旋转+平移+缩放[27]或基本矩阵[27]的问题。37]。这些方法中的大多数专门针对特定的问题,并且它们对不同问题类的应用不一定是直接的。在本文中,我们提出了一个通用的优化框架,它涵盖了所有可以用LMI约束表示的问题,因此,解决了大多数上述问题类。捐款. 我们认为,许多计算机视觉问题有一个特殊的结构,可以利用全球鲁棒估计方法,使他们更加共同,4942i=1i=1我我与当地随机化方法相比,- 特别是,我们提出了一般的LMI约束,有可能被用于各种几何问题。派生约束包括:刚体、刚体+比例、限制旋转和本质矩阵。- 这些LMI约束在BnB范式中用于最优地解决以下共识最大化问题:绝对相似变换线性矩阵不等式(LMI)是对y∈IRn的约束,使得A(y)≥0. 半定规划(SDP)是在线性矩阵不等式(LMI)约束下,对线性目标进行最小化(或最大化)这是一个凸优化问题,可以使用邻域点方法有效地解决[3]。2.3. LMI约束二次规划LMI约束二次规划是一个问题的形式:姿态和相对姿态估计。尽量减少yy<$Qy+q<$y+r,(二)- 我们表明,使用LMI约束加快搜索过程。进一步的观察(对于绝对姿态问题)表明,添加更强的LMI约束(例如,摄像头必须在一定角度内)使得优化过程更快。纸张大纲。我们首先介绍符号和背景理论(Sec. 2),在我们陈述问题之前(第二节)。(3)第三章。然后我们定义了本文所考虑的变换形式如果A(y)≥0,其中Q是实对称矩阵,q是实向量,r是实标量。当Q≥0时,问题(2)可以用SDP最优求解。注意,Q≥0对于某个矩阵M总是可以分解为Q=M<$M,使用Cholesky分解。因此,(2)等价于以下SDP:(第二节)4),并推导出几个LMI约束的各种几何约束(节。(五)。然后,我们讨论(二)。6)和实验评估(第6节)。7)三个特殊的计算机视觉问题。最后,我们得出结论(二)。(8)尽量减少y,θ受θ,.Σ我我的y <$M<$θ−q<$ y−r≥0,(三)#21453;,并指出今后可能开展的工作。2. 记谱法背景本节介绍我们将在整个论文中使用的符号。介绍并讨论了LMI约束的代数定义和几何解释.最后讨论了LMI约束二次规划与半定规划的相似性。2.1. 半正定矩阵公式当处理矩阵时,A≥0(分别为 A0)表示A(y)≥0。3. 使用LMI的共识最大化考虑一个几何变换T(x):U→V,它将一对测量P={U,V}联系起来。设γ(x)是已知P和估计x的残差。在LMI约束下最大化测量的一致性(即内点集)的问题问题3.1给定一组测量对Z={Pi}n和阈值π,对称矩阵A是半正定的(分别为最大x,x,Z|、|,正定的)。A =(a ij)是逐元素表示的。一个m×n矩阵其行式表示为A = [a1,. . . ,ai,. . . ,其中ai是n维向量。在γ i(x)≤λ的条件下,Pi∈ζ,A(x)≥0。(四)对给定的对称矩阵集K={Ai}l,K ≥0对所有i= 1,. . . 、湖重要的是要注意,K ≥ 0等价于A = diag(A1,A2,. . . ,Al)≥ 0。2.2. Spectrahedron、LMI和SDP定义2.1(光谱面体[35])光谱面体是半正定矩阵与仿射线性空间的交集。一个实对称矩阵的n维仿射线性空间可以通过A(y)=A0+ nyiAi,其中y =[y1, y2,. . . ,y n]n∈ IRn. 因此,我们认为,分面体可以由集合S定义:S={y∈IRn:A(y)≥ 0}.(一)通常,精确求解(4)是不平凡的,因为这是NP难组合优化问题。这些问题通常使用抽样和测试技术来解决,例如RANSAC,不能保证结果的最优性。相比之下,精确方法是基于树搜索算法的变体[5,10,22,26,38]。我们下面的命题关注的是寻找一类这样的问题的最优解。命题3.2(具有LMI的一致性)问题3.1可以使用树搜索方法最优地求解线性残差γ i(x)或二次残差γi(x)= x<$Qix + q<$x + ri,其中Qi≥ 0。4943我j=1i=1我⊺证明如下所示,在LMI约束下最小化γi(x)的最大值的问题是凸的。其中{ui,vi}是对Pi的测量向量,并且Bi(x)、b(x)和βi(x)是形成变换T(x)的关于x的线性项。对于一个给定的问题,我们希望强制T(x)的结构约束,尽量减少X最大我γi(x),(五)的LMI,同时最小化(10)的残差。A(x)≥0。对于线性γi(x),(5)等价于以下SDP,最小化θ,x,θ4.1. 带噪声残差模型我们将噪声建模为高斯过程。因此,两个相应测量值之间的不相似性度量用广义平方表示,受 γi(x)≤θ,θi,A(x)≥0。类似地,如果γ(x)=x<$Qx+q<$x+r与Q(六)≥0,端点距离(也称为平方马氏距离)。对于给定的对Pi,残差(或不相似性度量)由下式给出:我我则(5)可以使用以下SDP求解,对于Qi=MMi,γi(x)=i(x)−1i(x),(11)i(x)=Bi(x)ui+b(x)−βi(x)vi最小化θ,x,θ.受I Mi xx<$M <$θ−q<$ x−riΣ≥0,≥i,(七)其中,k是已知分布的协方差矩阵。注4.1残差(11)是二次函数我我形式为γ(x)=x<$Q x+q x+ r与Q≥0。A(x)≥0。我我或者,遵循与[11]中类似的凸性论证,可以证明(5)是LP型[24](或广义线性规划)。证明到此结束混合编程。在进入进一步的细节之前,我们使用混合半定规划(MI-SDP)[9,36]讨论解决(4)MI- SDP框架可以最优地求解(4),可以重新表述为:4.2. 残差最小化一旦获得了问题3.1的最优内点集,则可以使用以下结果获得最佳估计x,该最佳估计x最小化所有内点的集体残差这可以被认为是一个细化步骤。结果4.2最小化和的最优估计x所有内点对的残差的最小值={Ij}m可将其转换为-尽量减少x, zZ1,我利用线性矩阵不等式约束二次规划得到,若γi(x)≤∑ i+ziM,∑i,zi∈{0,1},(八)尽量减少X. Σmxj=1ΣQjx+. Σmj=1Σ⊺qjx+ Σmj=1Rj, (十二)其中z={zi}nA(x)≥0。是二进制变量,M是一个大的A(x)≥0。足够的正常数。在优化中,通过使用常量(例如这是一个凸问题,可以有效地解决我们-使用SDP,如第2.3节所述。所以,作为M.见[6,Ch.[7]关于选择此选项的指南stant. 直观地,生成残差γi(x)的数据对Qj≥0= 0Mj=1 Qj≥ 0。如果zi= 1,则将被视为离群值。因此,对于给定的最优解z∈(8),最大一致性集合可以通过下式获得,ζ∗={i|z= 0}。(九)4. 转换方程式虽然命题3.2表明,一般类49445. LMI约束在本节中,我们将介绍我们将在实验中使用的四个LMI约束。最近在[15,29]中提出了其中两个限制。另外两个约束是本文首次提出的。首先,我们定义函数L:IR3×3→IR4×4的形式,的问题(4)可以最佳地解决,在这项工作中,我们是a11 +a22 +a33一台32-a23一名13-a31一名21-a12关注以下形式的问题,βi(x)vi=Bi(x)ui+b(x),(10)L(A)=a32−a23a11−a22−a33a21 + a12a13+a31a13 − a31a21+a12a22−a11−a33a32+a23a21−a12a13+a31a32+a23a33−a11−a22.(十三)4945α5.1. 轨道和旋转矩阵定义5.1(Orbitope [29])一个轨道是一个紧代数群的轨道的凸包,它线性作用在一个实向量空间上。轨道具有实代数簇的结构,轨道拓扑是凸半代数集。命题5.5(SSO(3)和SO(3)轨道)S∈ SSO(3)存在A∈ conv(SO(3)),使得S=α A,当且仅当α >0:αI4×4+L(S)≥ 0.(十八)S∈SSO(3)的证明 ⇐⇒ S=αA,其中A∈SO(3),α >0。注意,从(13)式可以看出,1L(S)=L(S)。因此,我们认为,一个三维旋转矩阵R∈SO(3)有维数-αSα第三个。然而,它的重言式轨道是一个九维凸体。下面的定理是这项工作的关键组成部分:定理5.2(SO(3)轨道面[29])重言式或重言式conv(SO(3))是一个谱面体,其边界元是一个四次超曲面.一个3×3矩阵A位于conv(SO(3))中当且仅当,I4×4+L(A)≥0.(十四)对于某些应用,期望的旋转矩阵必须具有围绕任意旋转轴的受限旋转角度。例如,两个摄像机之间的相对旋转不能太大而不能使它们共享共同的视场。这样的旋转角度限制可以使用以下引理表示为LMI约束。引理5.3(有界SO(3)[15])考虑R∈SO(3)以角轴形式表示为绕任意轴的旋转角θ。对称矩阵R+R的特征分解的形式为,2cosθ0 0式(18)等价于I4×4+L(α)≥0。 更换后A=S,我们得到与定理5.2相同的结果。等价性的向后证明可以用非常类似的方式获得。注 5.6 对 于 给 定 的 α >0 和 S=αR , 其 中 R 有 界 于|θ|≤θ≤90°,则以下LMI也必须成立,S+ S≥ 2 αcosθ I3×3。(十九)在校准后的相对姿态公式中,旋转矩阵与反对称矩阵(所谓的本质矩阵)一起出现。更正式地,归一化的本质矩阵定义如下。定义5.7(归一化基本矩阵)通过旋转R和平移t相关的两个相机的归一化基本矩阵的集合由下式给出E={E=[t]×R:R∈SO(3),nt=1}.(二十)其中re[t]×是一个3×3ske w-对称矩阵。我们现在将表明,R+R= U02 cosθ 0 <$U−1。(十五)0 0 2本质矩阵也可以表示为LMI使用我们的以下命题。为|θ |≤90<$,对称矩阵R+R<$≥0。实际上,旋转角度在给定的上限内,|θ|≤ θ ≤ 90Ω,当且仅当,R+R≥2 cosθ I3×3。(十六)5.2. 与旋转耦合的变换一些涉及旋转和额外尺度的变换(例如,度量变换)可以借助缩放旋转矩阵来表示下面的定义涉及缩放旋转矩阵的结构。定义5.4(SSO(3))给定一个实的、紧的、线性代数群H,一个三维标度特殊正交群定义为:SSO(3)={H∈ H:HH∈= α2I3×3,det(H)= α3,α>0}.(十七)在下面的命题中,我们提供了一个凸松弛的缩放旋转矩阵作为LMI。命题5.8(本质矩阵与轨道拓扑)一个3×3矩阵E属于(20)的规范化本质矩阵集合E,仅当,2I4×4+L(E)≥ 0.(二十一)证明对于任意的E∈ E,其奇异值分解由E=Udiag(1,1,0)V给出。这可以进一步分解为E=A+B,其中A∈SO(3)并且B=Udiag(0,0,-|紫外线灯|)V.利用(13)式,可以证明L(B)≥−I4×4。此外,由式(1 4),L(A)≥−I4×4。因此,L(E)=L(A)+L(B)≥−2I4×4,这导致(21)。6. 多视图几何问题在本节中,我们介绍了三个多-如问题3.1(使用LMI的一致性最大化)中公式化的多视图几何问题。不同的问题指定不同的变量项,参考(10),并且它们的LMI约束总结在表1中。4946我变换约束βi(x)Bi( x)b( x)LMIS相似性S( x)∈SSO(3)1S( x)t( x)Ks ≥0绝对位姿R(x)∈SO(3)<$r3(x)ui+t3(x)R(x)t(x)Ka≥0相对位姿E(x)∈ E(ni)1e2(x)−(ni)2e1(x)<$ui[ni]×E(x)0Kr≥0表1:三个不同示例问题的剩余项和约束的总结。βi(x)、Bi(x)和b(x)是与(22)、(24)和(26)相比的(10)的可变项。LMI约束在(23)、(25)和(27)中给出。6.1. 相似变换推论6.2R(x)∈conv(SO(3))是可能的,当且仅当以下LMI对某个x∈IR12是可行的:我们考虑一组图像,摄像机拍摄同一个场景。然后将这些图像送入SfM管道[17,30]以获得3D重建。 设{ui,vi} ∈IR3,i=1,. . .,n,其中n≥ 4,Ka=6.3.相对姿态.ΣI4×4+L( R( x))≥0。(二十五)是SFM引起的相机中心Ui和它们的真实世界位置Vi(例如GPS测量)的笛卡尔坐标向量对由于SfM重建是度量的,因此SfM诱导的相机及其世界测量通过以下方式相关:vi=S(x)ui+t(x),(22)其中S(x)是一个3×3的缩放旋转矩阵,t(x)是一个3×1的平移向量,x∈IR12。请注意,(22)与(10)类似,因此其残差可以写为:在(11)中。另一方面,命题5.5的直接应用为缩放旋转矩阵约束提供了凸松弛,作为LMI,即,S(x)∈SSO(3).推论6.1S(x)=αA使得A∈conv(SO(3))是可能的当且仅当下面的LMI对于某些我们考虑齐次向量对{ui,vi} ∈IR3,i = 1,. . . ,n,其中n ≥ 8,它们是两个校准相机的像点{U i,Vi}的测量值。对于本质矩阵E,两个图像点之间的关系可以表示为,. Σ Σ⊺Σ(ni)1e2(x)−(ni)2e1(x)uivi=[ni]×E(x)ui,(26)其中x∈IR9 ,[ni]×是一个3×3skew对称矩阵,对任意ni∈N(v∈ N),ei(x)是E的行向量.再次注意,(26)类似于(10),因此其残差错误可以写成(11)。另一方面,命题5.8的直接应用提供了一个凸松弛,作为一个LMI,基本矩阵约束,即。E(x)∈E.推论6.3E(x)∈ E是可能的,仅当下面的LMI对某些x∈IR9是可行的:x∈IR12且α>0:.ΣKr= .Σ2I4×4+L(E(x))≥0。(二十七)Ks=αI4×4+L(S(x))≥ 0.(二十三)6.2.绝对姿态我们考虑测量向量对{ui,vi} ∈IR3,i= 1,. . .,n,其中n≥5,其中ui是场景点U i在世界坐标系中的笛卡尔表示,vi是校准相机的相机坐标系中的像点Vi的齐次表示。 如果[R|是摄像机的姿势。世界帧,然后场景和图像点相关,7. 实验结果我们对第6节中描述的三个问题进行了实验,包括合成数据和真实数据。我们的方法在MATLAB 2016 a中使用Yalmip1工具箱和Mosek2作为SDP求解器实现。所 有 实 验 都 是 在 Intel Core i7 CPU 2.60GHz 和 12GBRAM上进行的。 尽管通过正确建模各个应用程序的协方差矩阵仍有改进的空间,但我们使用了欧几里得距离,即。在第4.1节中,=I。用于以下操作的错误度量指标.Σr3( x) ui+t3( x)vi=R(x)ui+t(x),(24)评价结果质量的标准是:旋转误差R、平移误差T、比例误差S和RMS 3D误差。对于每个实验,我们计算误差Δr=||r −rgt||、其中x∈IR12,ri是R(x)的行向量,ti是t(x)的第i个元素。 再次注意,(24)是类似的到(10),因此其4947残差可以写成(11)。另一方面,约束R(x)∈SO(3)的凸松弛可以表示为LMI,使用Theo- rem5.2。∆t= ||t−tgt||,则s = ||s−s gt||. 错误报告为NRR、NKT和NZS是N次实验的RMS值这里,r是通过以度为单位堆叠三个旋转角而获得的向量,并且rgt、tgt和sgt是地面真值。1https://yalmip.github.io/2https://www.mosek.com/494810.90.80.70.60.50.40.30.20.1015% 30% 45% 60% 75%90%(a) 异常值比率10090807060504030201015% 30% 45% 60% 75% 90%(b) 异常值比率30252015100 10 20 30 40 50 60 70 8090100(c) 样品图2:相似性转换(合成数据):RANSAC对我们的图(a)和(b)显示了两种方法不同运行的行为,同时增加了离群值比率。图(c)显示了针对我们的方法的RANSAC结果的多个实例RANSAC的结果在不同数量的内点,而我们的方法总是提供相同的精确解。500250100502510521.5百分之十五30% 45% 60% 75% 90%异常值比率离群值N=30 N=40 N=5075%3.42 - 7.04 - 11.81-W/:有约束(我们的)。W/O:没有限制。(-):大于3600秒。图1:相似性转换(合成数据):我们的方法随着点的数量和离群值比率的增加而增加。7.1. 相似变换在本节中,我们将展示在添加LMI约束之前和之后所提出的方法的一般性质对于我们所有的实验,我们将重建尺度限制在[0. 二五0],回忆命题5.5中的α。合成数据。我们综合生成了相似性变换,并将其应用于N个点(均匀生成),以获得地面真实值对应。然后,我们通过向这些对应的特定子集添加大量噪声来引入离群值,直到获得所需的离群值比率。在表2中,已经针对少量点呈现了MI-SDP(不具有来自等式(8)的LMI约束)与我们的(具有约束)之间的时间比较在存在大量异常值的情况下,加速非常显著。图1显示了我们的方法的运行时与约束。在图2中,我们将我们的方法与RANSAC进行了比较。我们将所有情况下的点数固定为N= 100,并运行不同的实例,同时增加离群值比率。针对图2c将异常值比率设定为75%,并进行100次实验。注意,RANSAC的平均性能(在该图中)近似对应于图1中75%的性能。2b.表2:相似性转换(合成数据):在有和没有LMI约束的情况下获得的解之间的时间一致性(23)。即使对于较小的N(点的数目),没有LMI约束的MI-SDP(8)方法也需要很长的时间。真实数据。来自Yahoo Flickr Creative Commons数据集[18,32]的图像用于通过COLMAP3(一种开源的运动结构(SfM)管道[30])获得3D重建。获得的SfM重建对应于:罗马斗兽场(2060张图片),巴黎圣母院(3743张图片),万神殿(1385张图片)和特莱维喷泉(2909张图片)。大约只有10%的图像具有GPS信息;为每个数据集找到的有效GPS标签的数量如表3所示。该表还提供了其他定量结果。由于缺乏地面实况配准参数,对报告的定量结果进行了目视评价。正如预期的那样,结果的质量随着内点数量的增加而提高。这可以在Colosseum中观察到大量的内围值,而Pantheon数据集(内围值的数量只有14)。对于定性评估,所有3D点云都注册到Open Street Maps4中,如图所示。3 .第三章。图4提供了RANSAC和我们的斗兽场数据集的方法之间的比较在同一图中,还提供了GPS高程测量图。可以观察到,GPS数据沿着垂直轴表现出巨大的偏差,特别是影响RANSAC行为─https://colmap.github.io/3http://openstreetmap.orgRANSAC我们RANSAC我们RANSAC我们点4060801002003D误差(RMS)时间[秒]内点内点W/W/OW/W/OW/W/O百分之十五0.260.610.4420.647百分之三十0.6291.17472.053154949场景偏航角倾角(Pitch)横摇(Roll)∆T高度规模∗|ζ |/N时间[秒]斗兽场<1o<1o<1o<1m<1m<百分之一一百一十七/一百四十七88岁26S圣母院<3O<2O<1o<2m<1m<百分之一一百零三/一百四十四四十三17S万神殿<3O<5时<2O<3米<2m<百分之七十四/四十七十六岁12s特莱维喷泉<2O<1o<3O<1m<1m<百分之三一百零四/一百四十六十五68s∗θ[度]:旋转误差(偏航、俯仰和滚转)。T[米]:翻译错误。最大共识集(maximum consensusset)N:可用GPS标签的数量表3:相似性转换(实际数据):定量结果。 目视评价配准质量。侧视图顶视图10090807060504030201020 40 60 80 100 120 140GPS样本图4:相似性转换(真实数据):RANSAC(紫色)与我们的了下图显示了GPS高程测量值,从20米到90米不等,其中42(直线)是斗兽场的真实高程。琵琶式[R|数据集中还提供了6个查询图像的t ]。 我们遵循已建立的[19]图像到SfM本地化管道来找到查询图像的绝对姿态:我们计算所有查询图像中的SIFT [ 23 ]特征,并将描述符与重建中使用的所有30幅图像的SIFT特征数据库进行匹配。由于在SfM重建中使用的描述符与3D点相关联,因此我们获得潜在3D-2D对应的列表{ui,v′}。2D图像点v′是trans-p的。我我图3:相似性转换(真实数据):使用我们的方法和GPS信息获得的配准3D重建的侧视图和俯视图。在更多的实验中,RANSAC结果通常质量很差(有时甚至完全低于地平面),而我们的方法始终提供完全相同的解决方案。7.2. 绝对姿态在这个实验中,我们使用了来自30个图像的无序集合的SfM重建地面真相绝对-GPSColosts埃门测量高程thm E海格·瑟特莱维喷泉圣母院万神殿斗兽场海拔[米]4950我形成为归一化(齐次)图像坐标:vi= K−1[v′1]T,其中K表示内部摄像机校准矩阵。每个查询图像的对应列表{ui,vi}平均包含44. 百分之二十五我们的目标是恢复绝对姿态[R|t]的查询图像,给定潜在匹配的列表,如第6.2节所述。图5显示了与其他方法的比较,即:ASPALINE[39] , DLT+LM5[17] , EPALINE[20] ,REPPALINE [12]。报告的低旋转和过渡错误是内围集共识最大化的直接后果。表4用执行时间和内点数量补充了在这里,我们提供5直接线性变换(DLT),然后是Levenberg-Marquardt(LM)最小化重投影误差。4951场景图像方法|ζ|/N学位[[%]时间[秒]喷泉RANSAC20 /390.294.810.61我们25 /390.151.763.35海尔热叙RANSAC35 /702.123.200.63我们四十九/七十0.122.8723.84|:内点的数量。|: number of inliers. 我们的:带约束的方法 θ R [度]:旋转误差。 T [%]:翻译错误。表5:相对位姿(实际数据):RANSAC与我们的方法有和没有LMI约束。0.250.20.150.10.05误差内点时间[秒]∗ ∗联系我们|ζ |/N我们的我们的2019 -03 - 26 13:00:00沪ICP备15024555号-10.90.80.70.60.50.4Exp01 Exp02 Exp03 Exp04 Exp05 Exp06沪ICP备16011501号-12019 - 04 - 040.13 0.41 25/46 20.442019- 04 - 24 17/47 174.81 10.402019 -06 - 18 0.31 23/44 120.24 58.06∗θR[度]:旋转误差。T[%]:翻译错误。最大共识。0.30.20.1*T我们的:施加额外的限制(16):R+R≥I.Exp01 Exp02 Exp03 Exp04 Exp05 Exp06282624表4:绝对位姿(实际数据):我们的方法的误差,内点集和时间。通过添加额外的约束,我们在Exp06(最坏情况)中获得了2倍的加速,在Exp05(最好情况)中获得了16倍的加速22201816Exp01 Exp02 Exp03 Exp04 Exp05 Exp06图5:绝对姿势(真实数据):与其他方法比较。显示了六个实验的旋转误差、平移误差和真实内点数量。两组结果,一组仅具有LMI约束(25),另一组具有对旋转角度(的|≤ 60 μ m)。|≤ 60◦).该表再次证实了本文的主要贡献:由于使用LMI施加了更多的限制,BNB探索了更少的空间--显著减少了我们实验的时间--同时找到了相同的解决方案。请注意,在这些实验中使用的旋转角度限制可能并不总是适用于绝对姿势问题。然而,只有一些模糊的先验知识(如IMU测量),这种限制可以确认。7.3. 相对姿态我们用两个不同的数据集进行了实验-数据集和所得结果的详细信息见表5。在存在LMI约束(27)的情况下,将通过我们的方法获得的报告结果与RANSAC约束进行比较五点算法[25]可以观察到,对于两个数据集,具有LMI约束的全局搜索方法找到比RANSAC更大的内点集合。在这两种情况下,相对姿态估计的质量随着内点的增加而提高8. 结论提出了一个线性矩阵不等式约束下一致最大化问题的全局优化框架.我们推导出几个LMI约束,并证明了一些中央计算机视觉问题可以转换成这种形式。特别是,我们成功地进行了相似性变换,绝对姿态,相对姿态估计问题的实验。实验表明,由于加入了LMI约束,在全局最优框架下,计算时间也有显着的加速。作为未来的工作,值得探索与其他精确方法[5,10,22,26,38]结合使用LMI约束,因为LMI约束有可能提高其有效性。因此,我们将这些方法视为互补的工作,而不是竞争对手。除了将其与其他优化方法相结合外,我们还期待探索适合所提出的优化框架的其他计算机视觉问题。ASPALODLT+LMEppressionREPPPLET我们ASPALODLT+LMEppressionREPPPLET我们旋转误差[度]内点转换误差[%]4952引用[1] J. C. Bazin,Y.徐河I. Hartley和M.波勒菲斯旋转和焦距未知的全局最优内点集最大化。在ECCV,第803-817页[2] J. C. Bazin,Y.Seo和M.波勒菲斯通过旋转搜索实现全局最优在ACCV,第539-551页[3] S. Boyd和L.范登伯格凸优化。剑桥大学出版社,纽约,纽约,美国.[4] T.- J. Chin,Y.Heng Kee,A.Eriksson和F.诺伊曼用混合整数线性规划去除异常值. 在CVPR,2016年6月。[5] T.- J. Chin,P. Purkait,A. Eriksson和D.苏特树搜索的高效全局最优共识最大化。在CVPR,第2413-2421页[6] J. W. 中国佬优化的可行性和不可行性:算法和计算方法。Springer Publishing-ing Company,Incorporated,第一版,2007.[7] S.崔,T. Kim和W. Yu. ransac家族的性能评价。2009年[8] O. Chum和J. Matas。与prosac匹配-渐进样本共识。见CVPR,第220-226页[9] M. Conforti,G. Cornuejols,和G.赞贝利编程。SpringerPublishing Company,Incorporated,2014.[10] O. Enqvist,E. 问吧F Kahl和K. A˚st rom¨ m. 《多视图几何形状的装配》,第738-751页2012年。[11] D. 埃普斯坦拟凸规划Combinatorial and ComputationalGeometry,52:287[12] L. Ferraz,X.Binefa和F.莫雷诺诺格尔用代数离群点剔除法快速CVPR,2014。[13] M. A. Fischler和R. C.波尔斯随机样本同意:模型拟合的范例及其在图像分析和自动制图中的应用。Commun.ACM,24(6):381 -395,June 1981.[14] J. Fredriksson,V. Larsson和C.奥尔森实用的鲁棒双视图平移估计。在CVPR中,第2684[15] A. Habed,D.帕尼保德尔角Demonceaux和D.福菲对偶绝对二次曲面的branch-and-prune秩和手征度约束估计的有效剪枝lmi条件CVPR,第493-500页[16] R. I. Hartley和F.卡尔通过旋转空间搜索进行全局优化。IJCV,82(1):64[17] R. I. Hartley和A.齐瑟曼。 计算机视觉中的多视图几何。剑桥大学出版社,第二版,2004年。[18] J. Heinl y,J. L. Schoenbe r ge r,E. 邓恩和J M. 弗拉姆重建世界 * 在六天 *(由雅虎1亿图像数据集捕获)。CVPR,2015。[19] A.伊尔沙拉角扎克,J. M. Frahm和H.比肖夫从运动恢复结构点云到快速位置识别。见CVPR,第2599-2606页[20] V. Lepetit,F.Moreno-Noguer,and P.Fua. Epnp:pnp问题的一个精确的o(n)解。国际计算机视觉杂志,81(2),2009年。[21] H. 李一种带野值点的L三角剖分的实用算法CVPR,2007。[22] H.李鲁棒几何估计的保证全局最优性的一致集最大化。在ICCV,第1074[23] D. G.洛从尺度不变的关键点中提取独特的图像特征。IJCV,60(2):91[24] J. Matous Meschek,M. Sharir和E.欢迎线性规划的一个次指数界。Micromica,16(4-5):498[25] D. 是的。五点关系问题的有效解决方案IEEE传输模式分析马赫内特尔,26(6):756[26] C. Olsson,O. Enqvist和F.卡尔一个多项式时间边界的匹配和配准与离群。在CVPR,第1-8页[27] D. P. Paudel,A.哈贝德角Demonceaux和P.瓦瑟尔图像集和结构化场景的基于RO-BUST和最优平方和的点到面在ICCV,第2048[28] R.拉古兰岛Chum,M. Pollefeys,J. Matas和J. - M.弗拉姆 Usac : 随 机 样 本 共 识 的 通 用 框 架 。 TPAMI , 35(8):2022-2038,Aug. 2013年。[29] R. Sanyal,F. Sottile和B.斯特姆费尔斯轨道。Mathe-matika,57(02):275[30] J. L. S chonbe r ger和J. - M. 弗拉姆结构从运动重新审视。在CVPR,2016年。[31] C. Strecha,W.von Hansen,L.诉古尔山口Fua和U.托内森。高分辨率图像的基准相机校准和多视图立体载于CVPR,第1[32] B. Thomee,D.A. Shamma,G.弗里德兰湾Elizalde,K.倪D.波兰,D。Borth和L.- J. Li。Yfcc100m:多媒体研究中的新数据。Commun. ACM,59(2):64-73,Jan.2016年。[33] B. Toronto和D.W. 默里用于运动估计的引导采样和ECCV,第82-98页,英国伦敦,2002年史普林格出版社[34] Torr和A.齐瑟曼。Mlesac:一种新的鲁棒估计器及其在图像几何估计中的应用。计算机视觉与图像理解,78(1):138[35] C.文赞特这是...一个光谱面体通知美国Soc,61(5):492 -494,2014.[36] L. A.沃尔西可编程。Wiley-Interscience是离散数学和最优化领域的研究机构。J. Wiley Sons,纽约(纽约州 ) , Chichester , Weinheim , 1998 年 。 Wiley-Interscience出版物。[37] J. Yang,H. Li和Y.贾通过内集最大化的最优本质矩阵估计。在ECCV,第111-126页[38] Y. Zheng,S. Sugimoto和M.奥富单位范数约束下鲁棒模型拟合的确定性最大可行子系统见CVPR,第1825-1832页[39] Y. Zheng,S. Sugimoto和M.奥富Aspnp:一个精确的和可 扩 展 的解 决 方 案 , 透视 n 点 问 题 。IEICE 交 易,(7):1525
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