学习带边界的形状的隐式表示

186650DeepCurrents：学习带边界的形状的隐式表示0David Palmer � 1 Dmitriy Smirnov � 1 Stephanie Wang 2 Albert Chern 2 Justin Solomon 101 麻省理工学院 2 加州大学圣地亚哥分校0摘要0最近的技术在重建表面方面取得了成功0表面作为通过深度神经网络参数化的学习函数（如有符号距离场）的等值集进行重建的方法已经取得了成功。然而，这些方法中的许多只能学习闭合的表面，无法重建具有边界曲线的形状。我们提出了一种混合形状表示，将显式边界曲线与隐式学习的内部结合起来。使用几何测度理论中的机制，我们使用深度网络对流进行参数化，并使用随机梯度下降来解决最小曲面问题。通过根据来自网格或点云的目标几何形状来修改度量，我们可以使用这种方法来表示任意表面，隐式地定义具有显式边界曲线的形状。我们进一步演示了通过边界曲线和潜在编码共同参数化的形状族的学习。01. 引言0形状表示是几何处理和学习算法的关键组成部分0处理和学习算法。根据目标应用的不同，不同的表示具有不同的权衡。广义上，形状表示自然地分为两类：拉格朗日或显式；欧拉或隐式。在这项工作中，我们展示了如何使用几何测度理论中的“流”理论来设计一种灵活的神经表示，结合了每个类别的有利因素，隐式地表示表面的内部，同时保持其边界的显式表示。0拉格朗日表示通过给出形状的坐标来编码形状0为了以拉格朗日方式表示曲线，可以给出沿曲线的连续点的坐标。类似地，为了表示三维表面，可以使用网格，将表面组合成简单的补丁。拉格朗日表示具有很高的精度，但需要预先确定的组合结构，这使得难以表示具有不同拓扑的形状族。0* 作者对本文贡献相同。0相比之下，欧拉表示通过点的坐标或者参数化形状的区域来编码形状0在某个背景域上的函数。例如，表面可以被编码为在规则网格上采样的标量函数的“等值集”。有符号距离场（SDFs）的等值集是一种流行的隐式表示。隐式函数自然地捕捉拓扑变化，但传统的隐式形状表示中，必须使用固定的网格或网格离散化背景几何，会在远离感兴趣等值集的区域浪费分辨率。最近的神经隐式表示方法缓解了这个问题[7, 38,46]。神经网络的普适逼近性和可微性使其成为规则网格离散化的有吸引力的替代方法。0神经隐式表示具有自己的限制0局限性。与其他基于等值集的隐式表示一样，大多数神经隐式表示只能编码闭合的表面，缺乏边界曲线。边界是有用的，因为它们可以提供可控变形的操作手柄，并且常见的边界可以用来将表面拼接成更大的关节表面。0在本文中，我们描述了一种新的神经编码方式0带边界的隐式表面，然后将其组合成更复杂的混合表面。我们表示的关键在于几何测度理论中的“流”理论。在这个理论中，“k”维子流形通过与微分“k”形式的积分来定义，这是对分布（0-流）通过与光滑函数的积分来定义的推广。流空间是完备的范数线性空间，使得在表面上进行优化变得方便，边界算子在这些空间上也变得线性。经典上，流是通过将其转化为质量范数最小化来解决普拉特的最小曲面问题的关键。我们采用质量范数作为主要损失函数，鼓励我们的神经流收敛到光滑的表面。0我们通过三个应用程序演示了我们的表示方法0首先，我们演示了它如何通过随机梯度下降有效地计算最小曲面。然后，通过修改用于定义质量范数的背景度量，我们可以从数据中重建任意曲面。最后，我们通过对具有显式边界控制的曲面族进行编码，展示了我们表示方法的灵活性。186660贡献。总之，我们0• 提出了一种新的神经隐式曲面表示方法，具有0显式边界曲线；0• 展示了如何使用质量范数上的随机梯度下降来计算最小曲面；0最小曲面；0• 引入了自定义背景度量和额外的损失项来从数据中重建曲面；0使用术语来表示数据中的曲面；和0• 描述了一种学习曲面族的框架；0通过边界参数化以及潜在代码来表示形状。02. 相关工作0我们的工作采用了最小曲面计算中的经典思想0我们的工作采用了最小曲面计算中的经典思想，并将其与现代深度学习的背景相结合，形成了一种新的神经形状表示。下面，我们总结了这两个领域中的关键先前工作。02.1. 最小曲面计算0大多数计算最小曲面的方法0在20世纪，通过有限差分方法在网格上离散化数值最小曲面问题，假设曲面是函数图形[11,17]。基于网格的方法后来适应了三角网格[32,66]，允许生成的曲面离开函数图形的空间[62]。现代基于网格的最小曲面求解器使用平均曲率流[3, 15,22]，拉伸网格[50]，拟牛顿迭代[49,51]，Voronoi剖分[45]或带有共形约束的曲率流[12,33]。这些基于显式曲面表示的方法很直观，但由于面积泛函的非凸性，优化往往会出现局部最小值问题，甚至可能发散，如果初始网格的拓扑结构错误[49, 62]。0解决最小曲面问题的另一种方法是0基于几何测度理论(GMT)，该理论的理论基础在20世纪60年代得到了发展[25, 26,42]。在这个理论中，曲线和曲面通过对偶于微分形式的电流来隐式地表示。这种表示方法已经在几何处理[5, 39, 40,43]和医学成像[6, 19, 20, 21, 28,60]中使用。在几何测度理论中，最小曲面问题变成了凸最小质量范数问题(见第3.4节)。在图上的最小质量问题的离散模拟是一个称为最优同调链问题的线性规划问题[10, 16, 18,56]。基于GMT的欧几里得空间最小曲面问题的离散化由[47]首创，并由[4, 64]重新审视。02.2. 用于形状重建的深度学习0使用深度学习生成3D几何图形已经变得流行起来0在视觉和图形领域，使用深度学习生成3D几何图形已经变得流行起来。现在，网络架构可以输出许多显式的形状表示，如体素网格[13, 67, 71]，点云[23, 68, 70]，网格[30, 44,0尽管这些方法产生的内容通常易于渲染和操作，但在拓扑结构和/或分辨率上通常受到限制，限制了表达能力。0另一种方法绕过了拓扑结构和分辨率的限制0通过使用由神经网络参数化的函数隐式地表示三维形状来解决问题。在DeepSDF中，Park等人[46]学习了一个近似目标几何体有符号距离的场，而Mescheder等人[38]和Chen和Zhang[7]将查询点分类为形状的外部或内部。其他人通过提出新的正则化器、损失函数和训练或渲染方法[1, 29, 36,57]进一步改进了结果。虽然这些工作在表面重建方面取得了令人印象深刻的细节水平，但它们在两个方面存在缺点——缺乏控制和无法表示开放表面，即具有边界的表面。0神经隐式学习方法通常过度拟合于一个目标形状0单个目标形状或学习由高维潜在空间参数化的形状族。最近的工作表明，将经典几何处理算法应用于神经隐式几何[69]是可能的，但将有针对性的操纵和变形应用于学习的形状仍然是非平凡的。几篇论文提出了混合表示，结合了神经隐式表示的表达能力和显式表示的控制能力。Genova等人[27]通过学习多个隐式表示按照学习的模板配置重建形状。在DualSDF[31]中，可以对学习的隐式形状进行操纵，通过对应的显式几何基元进行更改。BSP-Net [8]和CvxNet[14]将学习的隐式曲面类别限制为半空间和凸包。[37]在点云上定义局部隐式函数，便于在训练过程中在离散点和平滑曲面之间进行转换。0因为神经隐式形状通常是水平集0对于学习函数的表示，这限制了可表示形状的类别为封闭曲面。两个值得注意的例外是[9]，它学习的是无符号距离函数而不是SDF，以及[61]，它将输入点映射到目标曲面上的最近点。我们的DeepCurrents采用混合表示，明确地模拟边界并允许它们用作操纵的手柄。03. 准备工作0几何测度理论是一个广阔的领域，我们将不在此处详细介绍0在此我们尝试概述。有关全面的处理，请参阅[24，35，53]。我们专注于构建我们在二维和三维中的优化问题所需的基础知识，省略了在更高维环境空间中出现的技术问题。0电流理论的动机是解决Plateau的问题0问题，即找到最小面积的表面的问题Dk(U) = (⌦kc(U))⇤(2)⇣ 2 ⌦kc(U) 7! T(⇣) 2 R.(3)D0(U) = (⌦0c(U))⇤ = (C1c (U))⇤ = D(U).(4)[⌃](⇣) :=⌃⇣.(5)[@⌃](⇣) =Z@⌃⇣ =Z⌃d⇣ = [⌃](d⇣),(6)@T(⇣) := T(d⇣).(7)A(⌃) =sup⇣2⌦kc (U)⇢Z⌃�.(8)M(T) :=sup⇣2⌦kc (U)186670由给定边界围成的�0arg min0�0{ A(�) : @� = Γ }. (1)0问题（1）在嵌入式带边界的平滑子流形空间中寻求解，该空间缺乏用于优化推理的方便性质，如凸性和紧致性。在GMT中，该空间被放松为电流空间，广义子流形通过积分进行表征。Plateau的问题（1）被系统地转化为关于电流的问题。面积函数变成了凸质量范数，@变成了通过对偶化外微分d构造的线性算子。我们在下面详细描述这个转化过程。03.1. 电流0电流对于子流形就像分布对于集合一样0点。正如分布通过对函数的积分进行表征一样，k-电流通过对环境空间中的微分k-形式进行积分进行表征。对于我们的目的，环境空间将是一个开放子集U � Rd，d ≤3。现在，我们将假设度量是欧几里得的；有关到黎曼度量的推广，请参见第4.2节。我们还假设U是有界的且可收缩，以省略各种技术问题。0我们用紧致的平滑k-形式空间表示0由�k在U上支撑0c(U)。回忆一下，k-形式� ∈ �k0平滑地为每个点x ∈ U分配一个元素�x ∈ Vk(T)�0x ∈ U，x处的余切空间的外部幂。0在欧几里得空间中，协变量（k =1）和向量之间存在一个规范的对应关系。黎曼度量提供了一个类似的对应关系，但需要更仔细的记录（见第4.2节）。0k -电流的空间0是（紧支撑） k -形式的对偶空间，即它由 k-形式上的连续线性泛函组成。一个元素 T  2 D k ( U )由其对 k -形式的实值分配来定义：0以下是两个关键的电流示例：0• 0-电流就是一个分布，如0•  维数为 k 的子流形  �  �  U  可以看作是一个0通过对其进行积分来定义  k -电流  [�]  2 D k ( U ) ：03.2. 边界算子0通过从子流形推广边界算子0对于电流，我们需要确保  @ [�] = [ @ �]。斯托克斯定理告诉我们0这是定义的动机0换句话说，我们将  @  定义为  d 的伴随。03.3. 质量范数0与边界算子一样，我们将面积写为0将其表示为针对形式的积分的泛函，然后用电流评估替换积分。这个定义取决于 k -形式上的逐点范数  | ∙ |。由于我们在 d ≤ 3的维度中工作，使用逐点内积范数就足够了，我们不会关注在更高维度中出现的复杂情况。0如果  �  �  U  是一个带边界的光滑 k -子流形，则0它的面积满足0�  :  | � x | ≤  1  对于所有 x∈  U0因此，我们将 k -电流 T  2 D k ( U ) 的质量范数定义为：0{ T ( � ) :  | � x | ≤  1  对于所有 x  2  U } .(9)03.4. 最小质量问题0将上述变换应用于问题  ( 1 ) ，0得到一个被称为最小质量问题的松弛问题：0T  2D k ( U ) { M ( T ) :  @T  = Γ } 。 (10)0在经典的 GMT 中，电流 T  被认为在积分 k -电流 I k ( U )的空间中，这大致意味着电流看起来像是 Lipschitz曲面的整数线性组合。当在环境维度 d ≤ 7 中对 I d − 1 ( U) 进行优化时，存在一个对应于光滑子流形的最优解（参见 [24 ] 定理 5.4.15，[ 53 ] 定理 5.8，[ 35 ] 定理3.10）。更近期的理论将这个结果推广到对一般电流 D k (U ) 的优化（参见 [ 4 ] 定理 2，[ 53 ] 注释 5.2）。03.5. 用形式表示电流0为了计算目的，我们遵循 [ 64 ] 并优化0通过微分（d - k）-形式表示的 k-电流。这使我们能够用神经网络表示电流。[!](⇣) :=ZU@[!](⇣) = [!](d⇣) =ZU= (�1)d�k+1ZU⇥(�1)d�k+1d!⇤(⇣).ZU|!(x)|dvol(13)4. DeepCurrents↵](x):=Z�=Xiarg min✓= arg min✓Ex⇠UU(x),(16)|⇣x|g = |(A�1/2x)⇤⇣x|,(18)186680（ d - k ）-形式可以被视为 k -电流 [ ! ]  20D k ( U ) 通过定义0！  ^  �0对于任意  �  2  � k0c ( U ) 。通过这个识别，我们可以得到0斯托克斯定理：0! ^ d � (11)0d ! ^ � =0边界约束 @ [ ! ] = Γ 因此成为一个外微分方程,0d ! = δ Γ, (12)0其中 δ Γ 是表示 Γ 的奇异 (d - k) -形式.0同样, k-电流的质量范数变为L^1范数.0(d - k) -形式的范数:0M ([ ! ]) = k ! k 1 =0其中 dvol 是体积形式.0我们将Plateau的最小曲面问题转化为一个凸优化问题,其解空间可以由解析形式表示.04.1. 神经表示0( 12 ) 的线性解空间可以由以下方式参数化0使用Hodge分解如下:0! = d f + �, (14)0其中 � 2 � d − k ( U ) 是 (12) 的任意特解, f 2 � d − k − 1 ( U ); 我们忽略了调和项, 因为 U 是可缩的. 对于 U � R^2中的曲线 (k = 1, d = 2) 和 U � R^3 中的曲面 (k = 2, d = 3),f 将简单地成为 U 上的一个函数, 我们可以用神经网络表示.使用(欧几里得)音乐同构 ] 来将我们的1-形式 ! 编码为向量场! ]. 直观地说, 与电流对应的向量场指向表面的法线方向.在这种等同下, (d f) ] = r f, 可以通过自动微分计算.0至于 �, 有一个特别方便的选择0作为Biot-Savart场, 当 Γ是多边形曲线时可以用闭合形式表示(参见[65]):0d ~ ` �~r0( ˆ t i ∙ (ˆ 10i - ˆ r 00i ))0| ˆ t i � ~0i | 2 , (15)0其中 d ~ ` 表示 Γ 上的向量弧度测度, ˆ t i 是 Γ 的第 i 段的单位切向量, ~r 00i 和 ~r 10分别是 i 和 ˆ r 10分别是从点 x 到段 i 的初始和最终顶点的向量, ˆ r 00i 和 ˆ r 10实际上,我们通过缩放10^-3来更好地匹配我们网络权重的归一化;这只是通过统一的比例改变了质量最小化问题.图1(a)可视化了2D中的Biot-Savart场.0通过上述选择, 我们可以使用神经网络0解决最小质量问题:0k d f � + � Γ k 10通过缩放10^-3来更好地匹配我们网络权重的归一化;这只是通过统一的比例改变了质量最小化问题.图1(a)可视化了2D中的Bio0解决最小质量0其中 f � 是具有权重 � 的神经网络, U U 是 U = [ -1, 1]^d 上的均匀分布. r可以通过自动微分精确计算, 而 � ]0Γ 是边界-0相关的 Biot-Savart 场，通过闭式计算得到。 (16)中的期望通过在 U上均匀采样来近似，从而得到一种通过随机梯度下降（SGD）0与以前的电流离散化相关的0与之前的离散化方法不同，我们（a）通过神经网络而不是体素网格来表示 f ；（b）通过闭式计算评估 �；以及（c）通过可用于 SGD的期望来评估质量范数。这些关键选择使得我们的最小曲面可以达到任意分辨率。04.2. 修改度量0对于所考虑的计算机视觉应用来说，关键是0在本文中，我们可以使用背景黎曼度量来编码不在欧几里得度量下是最小曲面的一般曲面。质量范数最小化的性质几乎肯定会延续下去，特别是极小值的正则性（参见，例如，[41]）。0设 g 是由以下方式给出的黎曼度量：0g ( X, Y ) = h AX, Y i = h X, AY i 8 X, Y 2 TU, (17)0其中 h∙ , ∙i 是欧几里得内积，A是切向丛上的平滑变化的对称正定线性映射（ A x : T x U !T x U ）。对于 k -形式 � ，黎曼逐点范数为：ZUarg min✓= arg min✓Ex⇠UU(x))�i.(20)Lcurr(·) = Ex⇠UU(x))�i.(21)oj⌃(x)),(22)wx = exp✓� 12�2 kx � proj�(x)k22◆,(23)Lsurf(·)=Ex,✏ (� � f(x � "nx) + f(x + "nx))+ , (24)186690（a）（b）（c）0（d）（e）（f）0图1. 在二维空间中，在欧几里得度量下最小化质量范数 k df + � k 1会得到连接两个边界点的线段（b）。通过我们自定义的数据相关背景度量，我们可以将半圆重构为一个电流（e）。 �显示为矢量场（a），自定义度量由定向椭球体表示（d，不按比例）。相应的函数 f 在右侧显示（c 和 f）。0其中 | ∙ | 是欧几里得逐点范数，B � � 表示由 B � � ( X 1 , . . . , Xk ) = � ( BX 1 , . . . , BX k )定义的拉回形式。g-质量范数为：0M g ([ ! ]) = k ! k 1 ,g =0| ( A - 1 / 2 ) � ! | (deA )0d / 2 dvol . (19)0微分方程（12）及其解（14）是拓扑不变的。0总之，黎曼问题与最小曲面问题不同0通过一个对称正定矩阵 B x 将欧几里得度量转化为一个黎曼度量：0k d f � + � Γ k 1 ,g0h��� B x ( r x f � ( x ) + � ]0如图1所示的二维示例中，0在欧几里得度量下最小化质量范数会得到一条直线段（b）。改变度量（d）会得到一个半圆（e）。相应的密度图 f显示在（c）和（f）中。04.3. 损失函数0我们的训练过程优化的主要目标函数0我们的训练过程中的主要损失是电流损失，根据（20）得到：0h��� B x ( r x f � ( x ) + � ]0我们通过从 U 上均匀分布的样本中进行采样来近似期望。0对于最小曲面计算（第 5.1 节），我们设置0对于曲面重建（第 5.2 节和 5.3 节），我们定义0B x = w x ( I - ˆ n proj � ( x ) ˆ n >0其中 � 是地面真实表面，proj � ( x ) 是 � 上离 x 最近的点，ˆ n proj � ( x )是其单位法向量。这个正半定矩阵对应于退化的黎曼度量，惩罚电流与表面方向不一致的偏差。与 � 对齐的补丁（即 r f + � ] 的位置）0Γ k  ˆ n )0在评估方程（20）时，对于一半的样本0在 U 中，我们设置 w x = 1 ，对于另一半样本，我们设置0其中 proj Γ ( x ) 是离 x最近的边界点，使用欧氏距离计算，σ = 0.1。我们凭经验发现，添加这种边界加权，使得靠近预定边界的样本对当前损失有更高的贡献，并且具有高斯衰减，稍微改善了我们学到的曲面，特别是在边界附近。请参见第5.4节的消融研究。0对于曲面重建，我们采用了额外的损失项0我们定义表面损失为：0其中 x � U � ，U 是目标曲面 � 上的均匀测度，n x 是点 x 在 �上的（定向）曲面法向量，" 和 δ是小的阈值。在实践中，我们设置 δ = 0.01 ，随机选择 " �U [0.0199, 0.0201] ，并通过在 � 上进行采样来近似期望值。0这个铰链损失鼓励我们学到的函数值0目标是使得函数 f在目标曲面上的不同位置之间的差异不小于一个边界 δ。这个目标看起来可能是多余的，因为度量（22）已经鼓励了与目标曲面的对齐。实际上，这两者是互补的——曲面损失鼓励函数 f在目标曲面附近跳跃，而当前损失确保跳跃的带宽减小。我们发现使用曲面损失项有助于我们的模型收敛到更好的最优解（请参见第5.4节的消融研究）。04.4. 网络架构0网络用于参数化 f � ： R 3 → R 。给定输入点 x ∈ R 3，我们首先将其投影到随机傅里叶特征（RFF）空间，如[58]所述，得到 ˆ x ∈ R 2048。我们的RFF系数是2048维的，从 N (0, 4)中进行采样。然后，我们使用由三个隐藏层组成的MLP h �对RFF向量进行解码，每个隐藏层具有256个单元和softplus非线性激活函数。这个流程在图2的上半部分中有示意图。coder architecture for learning families of currents (see Fig-ure 2, bottom). We initialize a latent code zj ⇠ N(0, 0.1)for each mesh, and we encode the mesh boundary geom-etry using a boundary encoder E�. For shapes that havemore than one boundary, we use a separate encoder for eachboundary loop to obtain a set of boundary latent codes z�i.We then concatenate the latent codes along with the RFFs[zjz�1. . .zRbconvolutional layers with stride 1 and circular boundary con-ditions. The first layer uses a kernel of size 5 while thelatter two use kernels of size 3. Each layer has 256 channels,and we use ReLU after each layer except the last. Afterthe convolutions, we take the mean across all the bound-ary vertices to obtain the boundary latent code. Circularconvolutions combined with mean pooling ensure that ourencoder is invariant to cyclic permutations of the vertices,which correspond to the same boundary geometry.186700图2.最小曲面优化和单个曲面重建（顶部）以及形状空间学习（底部）的网络架构概述。输入点 x首先使用随机傅里叶特征进行编码。然后，这些特征可选择与对应于形状标识和边界的潜在编码进行连接，最后解码为标量输出。0此外，我们提出了一种边界条件自适应的解码器 h � ，与上述过拟合设置中的解码器相同。0j |  ˆ x ]  并将该向量通过一个0我们的边界编码器输入边界顶点 v Γ 205. 实验结果0我们通过实验证明了DeepCurrents的有效性。0在最小曲面计算、单个曲面重建的过拟合以及形状空间学习和插值方面，我们展示了一些实验结果。我们还进行了消融研究，以验证我们的主要设计选择。我们的所有模型都是在一台NVIDIA GeForce RTX 3090 GPU上使用Adam[34]进行训练的。0图3.通过[64]在90x90x90网格上计算的最小流体（中间）显示出明显的网格伪影，特别是在边界附近。相比之下，我们的DeepCurrents具有更高的有效分辨率（右侧），并且具有类似的参数总数（725,249个权重）。边界（左侧）是三叶结（顶部），霍普夫链（中部）和博罗米尼环（底部）。05.1. 最小曲面0我们使用我们的方法计算最小曲面0三个边界配置。我们为每个模型训练了10^50迭代（约12分钟），学习率为0.0005，在每一步中从环境空间中采样4096个点，并将学习率降低0.6倍，每10000步。在这些示例中，我们只使用欧氏度量优化Lcurr，不使用Lsurf或边界加权。0图3将我们的结果与[64]的结果进行了比较，0使用体素网格；颜色表示局部流体方向，对应于曲面法线方向。为了公平比较，我们选择网格大小以近似我们的可训练参数数量（90^3 x725,249）。虽然我们学习的流体很好地遵循平滑的输入边界，但[64]的流体显示出明显的网格伪影。因此，我们的表示具有更大的容量来编码具有相同参数数量的高分辨率曲面。05.2. 表面重建0我们使用DeepCurrents进行表面重建0通过过度拟合FAUST人体数据集[2]中的几个分割部分来训练。我们通过根据提供的分割将网格分割，对每个分割类别内的所有模型进行刚性对齐，并将它们重新缩放以适应[-0.5,0.5]的范围内。0我们为每个模型训练了10000次迭代（约4分钟）0初始学习率为0.001，每2000次迭代衰减0.6倍。我们从环境空间中随机采样4000个点（计算Lcurr）和4000个点186710图4.人体表面重建。我们过度拟合DeepCurrents模型以重建几个躯干、头部、手部和脚部的网格。我们在每个学习的流体旁边显示了体积渲染的地面真实网格。0模型UCD（[61]）UCD（我们的）0头部0.0049 0.00100手0.0045 0.00110躯干0.0049 0.000920脚0.0055 0.000920表1.在四个形状类别的随机模型的单个表面重建上与[61]的单向Chamfer距离的定量比较。0在每一步中从网格表面（计算Lsurf）中采样。0我们展示了来自躯干、头部、手部和脚部的结果0图4中随机选择的模型。我们的流体可以忠实地重建目标几何体。0此外，我们在表1中与[61]进行了定量比较。0我们在随机选择的模型上与他们的模型进行相同时间的训练。因为他们的模型可以预测给定任何输入点的目标曲面上最近的点，我们使用这个来计算单向Chamfer距离（即Ey�U�[dist��(y)]，其中U�是目标网格上的均匀分布，dist��是曲面的欧氏距离）。0我们通过对我们学习的流体进行网格化来进行相同的操作0当前：我们计算边界曲线上f的平均值s；即使有多个边界曲线，这也是有意义的，假设我们的曲面有一个连通分量。然后，我们使用MarchingCubes提取f-1(s)的等值集的网格。这个等值集通常是一个包含我们所表示曲面的闭合曲面，带有边界��。0作为子集。我们通过删除顶点x，其中|r_x f �(x) + �]|0Γ(x)| < δ。在实践中，我们使用0δ = 5 × 10^-3。0我们的方法始终实现了更好的重建质量。0structions than [61]。05.3. 潜在空间学习0我们使用我们的边界条件自动解码器（第0tion4.4)来学习一个分离的表示，可以在高维学习的潜在空间中进行插值，捕捉形状身份，同时对边界几何形状具有明确的控制。我们将数据集中的每个网格与一个随机潜在代码（可训练参数）关联起来，并为了区分形状身份和边界几何形状，我们进行随机变换。这些变换改变了边界形状，同时保持了潜在代码。0在每次迭代中，我们执行随机增强0对目标网格进行变换：我们通过在每个欧拉角中采样一个值在[-10°，10°]之间来旋转每个网格，我们通过一个随机因子在其两个主要方向上将网格的每个边界环缩放到0.85到1.15之间，我们使用谐波蒙皮权重将这些变换传播到整个网格，并且我们通过在每个维度上随机偏移-0.05到0.05之间的值来移动网格。0我们为每个形状类别训练一个模型，共300,0000迭代（约10小时），初始学习率为0.0004，每60000次迭代衰减0.5。每一步，我们从每个网格中随机采样一个批次的8个网格，并从每个网格中采样4000个点。0在图5中，我们从每个形状类别中选择两个模型0并在它们的边界和潜在身份之间进行独立插值。我们的模型将高级姿势和风格分离，同时尊重规定的几何形状。05.4. 消融研究0我们验证了一些关键设计选择。在图6中，0我们过度拟合了五个模型到相同的手部网格。虽然我们的完整模型实现了清晰的重建，但从我们的当前损失度量中删除边界加权会导致边界周围的表面模糊。将 h �中的softplus激活函数改为ReLU会使整个学习表面明显变得不那么锐利，我们推测这是由于ReLU在优化电流d_f +�时具有零二阶导数。从我们的优化中删除表面损失项无法恢复目标表面的大部分内容，支持我们的观点，即表面损失对收敛非常有帮助。最后，如果不将输入点投影到随机傅里叶特征上，模型将无法学习。06. 结论0通过采用几何测度理论的工具，我们0我们为具有边界的曲面构建了神经隐式表示。我们的SGD方法用于质量规范最小化，可以计算任意分辨率的最小曲面，与之前在固定分辨率网格上表示电流的工作相比。此外，通过构建背景度量，我们可以构造一个质量最小化问题来编码任意曲面。结合这个条件-186720图5.在潜在空间和边界空间中的DeepCurrents插值。对于每个类别，我们从训练集中选择两个网格（用蓝色边框显示），并在两个边界（水平轴）以及两个潜在代码（垂直轴）之间进行线性插值。潜在空间插值在两个网格之间产生平滑的过渡，同时遵守规定的边界插值。0图6.消融研究。从左到右：没有随机傅里叶特征的手部重建结果，没有我们的表面损失项的结果，没有边界加权的结果，以及我们的完整模型。0通过神经表示的表面重建方法，我们可以编码整个曲面族。0神经表面表示。沿着边界将DeepCurrents拼接在一起，可以产生混合表面表示，其中显式边界曲线为用户控制提供“手柄”。这种表示方法适用于目标表面被分解为多个部分的情况。与网格分解不同，DeepCurrent分解不要求部分具有简单的形状，甚至不要求部分是简单连通的。0我们认为DeepCurrents是构建灵活的神经表面表示的关键工具。0我们的方法的另一个扩展是支持其他在电流语言中可以表达的损失函数和优化问题。例如，可以使用神经表示和SGD来优化[39]中研究的凸问题。还可以在旋转群SO(d)或特殊欧几里得群SE(d)等空间中计算最小电流。0未来的工作方向之一是研究如何在这种模型中实现其他损失函数和优化问题。例如，可以使用神经表示和SGD来优化[39]中研究的凸问题。还可以在旋转群SO(d)或特殊欧几里得群SE(d)等空间中计算最小电流。0我们的方法的另一个扩展是支持具有方向或框架场的形状重建。在这种情况下，可以使用高斯映射来编码平滑先验。0这种情况下，这种模型可能为带有方向或框架场的形状重建提供有用的先验，或者可以利0我们的方法的另一个扩展是支持由环面T3表示的形状。这将需要修改我们的显式�和在边界处评估df。0尽管我们的潜在空间模型经常产生高质量的周期性最小曲面，即用区域 [ − 1 ,  1] 3 替换-0尽管我们的插值器通常不会被明确地正则化以使其看起来像曲面，但它们并不是明确地被正则化以使其看起来像曲面。这有时会产生模糊的结果(见图5，手中的右上方)。未来的工作可以设计损失项，以确保插值器在某个度量下保持最小，类似于[29]中SDF的eikonal正则化。0致谢0MIT几何数据处理小组感谢-0感谢美国陆军研究办公室(W911NF2010168和W911NF2110293)、美国空军科学研究办公室(FA9550-19-1-031)、美国国家科学基金会(IIS-1838071和CHS-1955697)、CSAILSystems that Learn计划、MIT-IBM WatsonAI实验室、丰田-CSAIL联合研究中心、AdobeSystems赠款、MIT.nano Immersion Lab/NCSOFTGaming Program种子资助以及Skoltech-MIT NextGeneration Pro-gram的慷慨支持。此工作还得到了美国国家科学基金会研究生研究奖学金(Grant No. 1122374)的支持。DavidPalmer感谢Hertz Fellowship和MathWorksFellowship的慷慨支持。[2] F. 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