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≥≡1T TT→第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会,俄罗斯下诺夫哥罗德,2012年LMI技术在学生项目中的应用帕维尔V.帕克辛饰Julia P. Emelianova饰Alexander Yu。马祖罗夫Arzamas Polytechnic Institute of R.E. Alekseev Nizhny Novgorod StateTechnical University 19,Kalinina Street,Arzamas 607227,Russia(电子邮件:PakshinPV,EmelianovaJulia,Alexander.gmail.com)翻译后摘要:LMI技术是非常流行的现代控制理论和应用,由于强大的LMI求解器(如SeDuMi,CSDP,SDPA)和YALMIP解析器提供的高效接口一般来说,这些工具都是基于MATLAB 的 软 件 。 此外, 还 有 免 费 的基 于 SCILAB 和 基 于 NSP 的版 本 , SCIYALMIP 和NSPYALMIP,与基于MATLAB的版本相比,功能有限。 所陈述的事实代表了一个严重的动机嵌入LMI为基础的方法在控制教育计划的学士和硕士学位。 在本文中,我们提出了我们的经验,使用LMI技术和软件在学生的项目。关键词:控制教育,线性矩阵不等式,SDP求解器,自由软件,MATLAB,SCILAB,NSP,YALMIP。1. 介绍线性控制理论的许多问题可以归结为线性矩阵不等式(LMI)的求解,∞J=[x(t)Qx(t)+u(t)0Ru(t)]dt,(6)线性函数在LMI形式的约束下的最小化(Boyd等人,1994年)。考虑一个由微分方程描述的线性xstec ( t ) =Ax ( t ) +Bu ( t ) 。(一)系统(1)是稳定的(即,所有轨迹收敛到零)当且仅当存在正定矩阵P,ATP + PA <0.(二更)关于矩阵的线性不等式(2)其中Q=QT0和R=RT> 0是权重矩阵。在这种情况下,控制律(3)的增益矩阵可以通过下式获得:K=R−1BTP,(7)其中P=PT是代数Riccati方程ATP+ PA−PBR−1BTP + Q = 0.(八)如果三元组(A,B,Q2)是完全可控和完全可观察的,则方程(8)具有唯一的变量P=PT> 0称为李雅普诺夫不等式。它正定解P = PT. 该解与以下优化问题的解一致是LMI的一种特殊的非标准形式让控制律具有线性状态反馈的形式u(t)= −Kx(t)。(三)该控制确保闭环系统(1),(3)的稳定性当且仅当存在矩阵P=PT和K,在LMI形式的约束下(Ait Rami和El Ghaoui,1996年):tracePmax,(9)TP+PA+QPB满足不等式(A-BK)TP + P(A-BK)<0.(四)BTP R≥0,P = PT> 0。(十)不等式(4)对于稳定对(P,K)是双线性的,但对于变量X=XT>0和Y,(AX − BY)T+(AX − BY)<0。(五)这里P=X−1,K=Y X−1。众所周知的LQR问题在于找到(3)形式的控制律,确保闭环系统(1)、(3)的稳定性并使成本泛函这项工作得到了俄罗斯基础研究基金会的部分支持,项目编号为10-08-00843,11-01-97025。不等式(2)、(5)和最优化问题(9)在约束条件(10)下的线性矩阵不等式可以被认为是建立基于线性矩阵不等式的线性控制理论的三个主要工具。在本文中,我们将展示如何在控制理论的基础课程范围内的学生项目中使用这些工具2. 方法与设计技巧在经典控制理论和工程实践中,广泛采用以下性能指标:上升时间、峰值响应和设定时间(时域),© 2012 IFAC 472 10.3182/20120619-3-RU-2024.000712012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会473ΣΣ≥≥单输出系统,H传递函数的范数以及增益和相位稳定性裕度、带宽和峰值响应(在频域中)。众所周知,不存在控制设计的直接方法来确保闭环系统的上述标准的期望值。 原因在于这个问题的数学形式化非常困难。另一方面,这些准则在控制工程实践中是标准的。为了解决这一矛盾,往往使用辅助准则,使得有可能提出一种有效的方法控制综合的基础上,这些标准。在这种情况下,设计过程代表了一个迭代学习的过程-设计者根据主准则的确保值逐步校正辅助准则。 存在着极点配置、H∞、H2、L1范数等辅助判据. 单输入2.2用Pakshin-Peaucelle方法这种方法涉及凸近似技术(参见Pakshin和Peaucelle,2009)。在这种情况下,稳定控制律的增益矩阵FF=R−1[BTP+L]C+,(18)其中上标“+”表示Moore-Penrose逆。通过在LME/LMI形式的约束下关于变量P、Q和L求解以下优化问题来获得矩阵P和L:迹线P−→max,是自由空间中的峰值响应(波德图中的峰值值设(1)中的输出变量的向量ATP+PA+αP PBBTP R≥0,αP−Q LT>0,定义y=Cx,(11)P >0,Q≥ 0,(BTP + L)(I-C+C)= 0。(十九)其中C是满秩矩阵。考虑系统(1)通过静态输出反馈的镇定问题u=−Fy,(12)对于每个输出变量具有给定的峰值响应和设置时间的界限2.1用扩展的Crusius-Trofino方法我们从以下参数化的李雅普诺夫不等式开始:2.3 设计技术为了获得满足主要性能指标的稳定控制,需要找到参数矩阵Q和R,使得输出变量的峰值响应和调整时间在给定的范围内。稳定裕度方法。设Q = αP,R = ρI。则不等式(13)具有正定矩阵P的解(P,F),如果以下LMI/LME系统是可行的: <$Λ(X,Y)+αX CTYT<$(A-BFC)TP + P(A-BFC)+Q+(FC)TRFC<0. ( 十三)Y C−ρ−1I<0,X> 0,(20)如果对某些参数矩阵Q=QT0且R = RT> 0,则对(P,F)是具有正定矩阵P的(13)的解,则F将是镇定控制律(12)的矩阵。因此,对于二次成本泛函,我们有以下不等式:CX= ZC。(二十一)在这种情况下,设计简化为对α和ρ值进行后续修正的交互过程。该校正基于作为解决LMI/LME问题(20)、(21)或LMI/LME的结果的TTT T优化问题(19)。参数α和ρ具有J=[x(t)Qx(t)+u(t)Ru(t)] dt 0,设线性矩阵方程组与不等式组Λ(X,Y)XQ1/2CTYT控制信号能量。极点配置方法。在标量输入的情况下,可以得到一个将闭环系统的期望极点与矩阵Q和R联系起来的解析公式(Johnson,1988)。下面的MATLAB函数使用闭环系统的指定极点计算R= 1时的矩阵QQ1/2X−I0Y C0−R−115岁,(15)<函数q= weight(a,b,p)s = size(a);CX=ZC,(16)其中Λ(X,Y)=(AX+BY C)+(AX+BY C)T,对于变量X>0,Y和Z是可行的。然后,具有增益矩阵的控制律由下式给出:F=Y Z−1(17)(12)(1)证明被省略。LR2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会474int n =n(1);c =眼;d =零(大小(b)); q =零(s);p= rot90(poly(p),2);f= rot90(poly(a),2); f= f(2:n+1);m =f;对于ii=1:n-1,2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会475ΣJ我+R>0,我我BT PR我Y C−ρ−1I、>我、我不、LRB PρI我我我我另外,对于n(t) 0,(i =1,. . . v),假设矩阵Cνi=1 i(t)= 1。是−→我我我们强烈推荐使用YALMIP(seeL?ofberg,2004)和SeDuMi(Sturm,1999)软件包进行快速算法。c=[f(ii+1:n)zeros(1,ii)]; m =[m;c];结束;g =ctrb(a,b(:,1));如果 rcond(g)epserror结束;T = g*m;a = inv(T)*a*T;主要性能指标在一些固定的模式,说,在顶点的多面体。使用Crusius-Trofino方法,我们获得稳定化控制的增益矩阵由公式(17)给出,其中矩阵Y和Z满足关于变量X、Y和Z的以下LME和LME系统:n(X,Y)XQ1/2CTYT对于k =1:n,如果k =floor((n+1)./(二)Q1/2X−I0Y C0−R−1<0,CX = ZC。(二十四)对于ii=1:2*k-1,q(k,k)= q(k,k)+(p(ii)*p(2*k-ii))-a(n,ii)*a(n,2*k-ii))*(-1)^(k+ii);结束;这里,Λi(X,Y)=(AiX+BiY C)+(AiX+BiY C)T,i=1,. . . ,ν,. Pakshin-Peaucelle方法产生增益矩阵F的以下公式:F=R−1[BTP+L]C+(25)否则我我当ii=1:2*k-1时,t=2* k-ii;如果(ii=n)(t=n)q(k,k)=q(k,k)+(p(ii)*p(t)-a(n,ii)*a(n,t))*(-1)^(k+ii);end;end;对于任意i = 1,. . . ,ν,其中对P,Li是LME/LMI优化问题的解迹线Pmax,P > 0,(26)µQLTLi我q(k,k)= q(k,k)+ 2*(-1)^(n+k-1)*(p(2*k-n-1)(n,2*k-n-1));(BTP+Li)(I-C+C)= 0,(BTP+Li)=(BTP + L),i,j = 1,. . . ,ν.end;jj结束;q = inv(这里p是期望极点的向量。采用扩展的Crusius-Trofino方法,将设计归结为一个交互式的闭环系统期望极点的这是正确的-通过选择Q = αP和R = ρI,我们得到了另一种形式的Crusius-Trofino方 法 。 在 该 版本 中 , 增益 矩阵由 公式(17)给出,其中矩阵Y和Z从关于变量X、Y和Z的以下LMI/LME问题的解获得:Λi(X,Y)+αX CTYT<$问题(15),(16).Pakshin-Peaucelle方法相应地转换为关于变量P和L的以下LMI/LME优化问题:迹线P−→max,Pakshin-Peaucelle方法的相应版本被简化为以下关于变量P,Q和Li(i = 1,. . . (v):迹线P−→ max, P > 0,Q≥ 0,ATP+PA+(µ+ 1)QPBBP R不0µQ LTαP−Q LTiρI0ATP+PAi+αPPB0(28)P >0,(BTP+L)(I-C+C)= 0,(22)(BTP+Li)(I-C+C)= 0,(BTP+Li)其中μ>0是固定参数。一般来说,μ = 1。2.4 鲁棒控制问题考虑一个不确定线性系统,其不确定性的多面体模型由以下方程描述νxstec(t)=x(t)(Aix(t)+Biu(t)),y(t)=Cx(t),(23)i=1其中x(t)是nx维状态向量,u表示nu维控制向量,Ai表示nu×nu维矩阵;Bi表示n u × n u维矩阵。nx×nu,ndC表示n维矩阵sny×nx。≥=(BTP + Lj),i,j =1,. . . ,ν.增益矩阵由表达式(25)确定 设计过程与前面的情况相同:我们在交互模式下根据相应LMI/LME问题的解所得到的主要性能指标来修正期望极点或参数α和ρ。3. 软件3.1 MATLAB≥0,该方法基于求解LMI/LME主要性能指标的保证值< 0,X > 0,CX = ZC。(二十七)≥、L>≥2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会476具有完整的行秩。问题是找到稳定的静态输出反馈控制律(12),确保所需的Rithm开发YALMIP是一种高级凸和非凸优化问题的建模和求解,特别是LMI/LME问题。它2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会477−∈[aMZMZMZmz0∈[aMZMZMZmz0mz0y0mz0mz0- -yyyy0yy0yyy0是MATLAB的免费工具箱。该语言符合标准的MATLAB语法,并实现了大量的建模技巧,允许用户专注于高级模型,而YALMIP负责低级建模。 SeDuMi是一个软件包,用于解决对称锥上的优化问题(线性,二次,二阶锥和半定优化,以及任何它们的组合)。大多数用户喜欢这个软件包的解决方案的LMI/LME优化问题,由于其高数值效率。3.2 Scilab开发人员Pakshin和Soloviev(2009)提出了一种新的开源工具,称为SCIYALMIP,用于描述和数值求解基于LMI的优化问题。 该工具基于YALMIP思想,代表了一种基于SCILAB的语言(参见Campbell et al.,2006年)用于描述和解决高级优化问题。以下事实一直是SCILAB的YALMIP接口开发的主要障碍。大多数求解器Chancelier 等 人 ( 2011 年 ) 提 出 了 一 种 用 于 NSP 的YALMIP建模语言的扩展,称为NSPYALMIP,在开源环境下运行(参见Chancelier等人,2007)和支持SeDuMi工具箱。NSP、SeDuMi for NSP和NSPYALMIP可从http://cermics.enpc.fr/jpc/nsp-tiddly/。 塞-DuMi和NSPYALMIP软件包可在工具-盒子在那里。请注意,NSP的控制系统工具箱正在开发中,目前使用NSP组织交互式设计程序4. 一个成功项目在这一节中,我们描述了一个学生项目,在给定的飞行参数的不确定性下,分析了飞机角纵向运动的稳定问题运动的线性化模型由以下等式定义stec=ωz,创建为MATLAB工具箱,仅在ωstecz=−aα−aωzωz+aαΘ+aδδ,(29)MATLAB环境下。一些MATLAB-mz mzmz mz的解算器是商业的,存在免费分发的Θstec=−aαθ+aαΘ,一些(例如,SeDuMi);因此,只需要MATLAB许可证就 可 以 使 用 YALMIP+SeDuMi 。 因 此 , 将YALMIP+SeDuMi作为完全免费的软件用于教育目的和基础科研可能是一个很好的优势。此软件工具可从网址:http://spiderman-2.laas.fr/OLOCEP/SciYalmip;并提供详细的安装说明。SCIYALMIP提供了一个独特的接口,可以与不同的LMI求 解 器 ( 如 CSDP ( Borchers , 1999 ) , SDPA(Fujisawa等人,1995年))。3.3 NSP其中,θ是俯仰角,ωz表示角速度,Θ =α,α表示迎角,δ表示升降舵角。所考虑的系统的状态和控制向量是x(t)= [ωzθ]T,u(t)=δ,通常,只有ω z和ωz是直接测量的,我们有y(t)= [<$ωz] T.在所考虑的飞行模式中,飞机具有以下参数不确定性:NSP是在GPL许可证下开发的类似Matlab的科学软件包(Chancelier等人,2007年)。这是一α αmzmz0 -αααmz0+aα]、α=0。3aα ,高级编程语言,可用作aα∈[aα−<$aα,aα+ aα],aα= 0。3aα,一种脚本语言(因此,aωz∈[aωz−aωz,aωz+ aωz],aωz= 0. 3aωz,高效的数值例程)。 它可以服务于交互式计算环境或编程语言。NSPmz mz0δ δmzmz0MZ-αδmz0δmz0mz mz mz0+ aδ],aδ= 0。5 aδ。支持命令式编程并具有动态特性-标称数值如下:(Krasovskii,自动内存管理的类型系统(1973):α= 4。2,aα=-0。77,aωz = 1。5,aδ=保持一个类系统,具有简单的继承和接口实现,在NSP编程级别可见(但不能扩展到NSP级别)。当用作交互式计算环境时,NSP包括在线帮助设施,并提供对GUI设施和图形的轻松访问提供了大量的库,简化了新功能的实现。它需要编写一些包装器代码(据说是一个接口),用于在外部库和NSP内部数据之间创建粘合代码。接口机制可以是静态的,也可以是动态的。动态功能允许构建工具箱。NSP模拟Matlabmex库,这是一种为接口编写包装器代码的方法。该工具用于获得从Matlab到NSP的SeDuMi端口。NSP与其他类似Matlab的科学软件共享许多范例,例如,Octave,ScilabGtk(Campbell等人,2006),以及脚本语言(如Python)。-7。四、该问题是在给定的设定时间和所有多面体顶点的俯仰角峰值响应的界限下,通过恒定静态输出反馈控制律(12)使系统(29)相对于给定的不确定性为了找到矩阵Qi和Ri,我们使用Johnson 计算产生增益矩阵F=[ 12. 4 1. 9]。图1显示了闭环系统中的典型阶跃响应。所有的LMI/LME编程都是在NSPYALMIP的框架内使用SeDuMi求解器完成的。下面我们给出一段解决LMI优化问题的源代码它类似于MATLAB编程代码。一,a一,a2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会478\\图1.一、典型阶跃响应(桨距角)clc;全部清除;opts = sdpsettings('solver','sedumi ',' verbose ',0,'warning',1);disp(nx =3;%状态变量数nu =1;%输入变量数ny =2;%输出变量数N =4; %不确定参数数NV=2^N;%顶点数%标称值和标称基质amz α 0 =4.2;amzomegaz0=1.5;ayalpha0=-0.77;amzdelta0=-7.4;A0=[0 ,1,0;-amzalpha0、-amzomegaz0、amzalpha0;-ayalpha0,0,ayalpha0];B0 = [0; amzdelta0; 0];%不确定性界限pamzalpha=0.3;pamzomegaz=0.3;payalpha=0.3;pamzdelta=0.5;amzomegazmin = amzalpha 0-pamzalpha* amzalpha 0;amzomegazamax = amzalpha 0 +pamzalpha*amzalpha 0;amzomegazmin= amzomegaz 0-pamzomegaz*amzomegaz 0; amzomegazmax= amzomegaz 0+pamzomegaz* amzomegaz 0;阿替拉敏= ayalpha 0-payalpha * ayalpha 0;阿替拉敏max = ayalpha 0+payalpha* ayalpha 0; amzdeltamin= amzdelta 0-pamzdelta* amzdelta 0; amzdeltamax= amzdelta 0+pamzdelta* amzdelta 0; amzalpha =[amzdeltaminamzdeltamax]; amzomegaz=[amzomegazminamzomegazmax];ayalpha =[ayelaminayelamax];amzdelta=[amzdeltaminamzdeltamax];C =[1,0,0; 0,1,0];%顶点矩阵i=1的计算;对于i1=1:2 , 对 于i2=1:2 , 对 于i3=1:2,当i ~ 4=1:2时,Ai =[0,1,0;-amzalpha(ii)、-amzomegaz(i2)、amzalpha(ii);-ayalpha(i3),0,ayalpha(i3)];Bi= [0; amzdelta(i4); 0];i=i+1;结束 ;结束 ;结束;int sum =1;权重矩阵Q和Rspec的%计算= [-10 -5-5];Q=重量(A0,B 0,质量标准); R= 1;矩阵P和LP = sdpvar(nx,nx);对于i=1:NV,Li = sdpvar(nu,nx); end;quiz =set([]);对于i=1:NV,quiz=quiz+set([+set(P>0)+set([mu*Q,+set((对于i= 2:NV,j=i-1;quiz = quiz + set(minimize=-trace(P); solvesdp(quiz,minimize,opts)P=double(P);%计算增益矩阵F和闭环矩阵,并检查对于i= 1:NV,Ki=inv(R)*(ACi=Ai-Bi*Fi*C;eigACi=eig(ACi); end;对于i= 1:NV,disp(sprintf(=%i=1的阶跃响应%步骤(A1-Bi *Fi*C,Bi*Fi*C,[1 0 0],[0 00],1);保持;end;grid on;网格小调5. LMI练习为学习LMI理论和应用的学生考虑一些有趣的练习。练习1.利用YALMIP,求出离散Riccati不等式的正定解P = PT2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会479Σ−ΣATPA−P−ATPB(BTPB+ R)−1BTPA + CTC <0.(三十)两种典型的解决方案如下。解决方案1.通过公式(Boyd等人,(1994年)[U±V ZW]−1=U−1−U−1V[WU−1V±Z−1]−1WU−1(31)我们得到ATPA−P−ATPB(BTPB+R)−1BTPA+ CTC = AT[P −1+ BR−1BT] −1A − P + CTC。(三十二)使用Schur互补(Boyd等人,1994),并考虑到(32),我们可以将不等式(30)改写为和求解器。例如,一个流行的和强大的SeDuMi求解器现在支持NSP平台。在不久的将来,我们希望开发出具有用户友好界面的完全免费的软件,用于解决控制工程和教育中的LMI问题。引用Ait Rami,M.和El Ghaoui,L.(1996年)。随机控制中 非 标 准 Riccati 方 程 的 LMI 优 化 IEEE 自 动 化 学 报Control,41,1666- 1671.博彻斯湾(1999年)。CSDP,一个半定C库编程.优化 方法&软件,11-2(1-4),613网址:https://projects.coin-or.org/Csdp/。Boyd,S.,加维湖Feron,E.,和巴拉克里希南,P Q ATA P−1+BR−1BT0.(1994年)。系统中的线性矩阵不等式控制理论应用数学研究,第15卷。费城的SIAM再次使用(31)和上面的Schur补,我们有X+BR−1BT−AXAT−AXCT[I−CXCT]−1CXAT>0最后坎贝尔,S.L.公司,尚塞利埃,JP,尼库卡,R. (2006年)。 Scilab/Scicos中的建模和仿真。SpringerVerlag, NewYork,URL:http://www.scilab.org.尚塞利埃,JP,德莱贝克,F.、Lelong,J.,X+BR−1BT−AXATAXCTCXATI−CXCT其中X = P-1。(33)尼 库 卡 河 , Pincon , B. , 和 Quadrat , J.P.( 2007 ) 。 NSP , 也 被 称 为 Tumbi 。 网 址 :http://cermics.enpc.fr/jpc/nsp-tidly/。Chancelier,J.P.,Pakshin,P.V.,和Soloviev,S.G.(2011年)。解决方案2.应用公式(31),将公式(30)改写为AT[P −1+ BR−1BT] −1A − P + CTC <0.(三十四)将不等式(34)预乘和后乘X=P-1导出X−XAT(X + BR−1BT)−1AX−XCTCX<0.最后,根据舒尔补,用于nsp软件包的LMI解析器。第18届国际会计师联合会世界大会论文集,1-6。意大利米兰。 IFAC PapersOnline,2011,ISSN1474-6670,DOI10.3182/20110828-6-IT-1002.00962.Crusius,C.A.R.和Trofino,A.(1999年)。输出反馈控制问题的LMI充分条件IEEE自动变速器控制中心,44,1053-1057。Fujisawa,K.,Kojima,M.,中田,K.,和山下,TM. (1995年)。 半定规划算法AX X+BR−1BT0CX0I0.(三十五)rithm) 用户 手动 -版本6.00。东京工业大学.技术报告B-308,URL:LMI 的 ( 33 ) 和 ( 35 ) 可 以 很 容 易 地 解 决 使 用YALMIP。练习2(通过静态输出反馈同时镇定一组离散系统)。利用YALMIP,求出一个正定矩阵P = PT和一个满足不等式的矩阵F(Ai−BiFC ) TP (Ai−BiFC ) −P + DTD+(FC )TRFC <0.提示: 使用定理1的结果。6. 结论我们的经验表明,基于LMI的学生项目允许达到控制理论的经典和现代概念之间的合理平衡。这些项目表明,控制设计是一个复杂的,互动的和多阶段的过程。此外,积累的经验表明,在独立的SDP求解器NSPYALMIP,SCIYALMIP和YALMIP的情况下,使NSP,SCILAB和MATLAB之间的从这一事实出发,并从NSPYALMIP在控制教育中的积极经验出发,我们集中精力扩大优化问题2012年6月19日至21日,俄罗斯下诺夫哥罗德,国际会计师联合会第九届研讨会480∼http://sdpa.indsys.chuo-u.ac.jp/sdpa/。约翰逊角(1988年)。lqr理论的“不可及极点”缺陷分析与补救。Int.J. Control,47,697Krasovskii,A.A.(1973年)。自动飞行控制系统及其分析设计。诺卡,莫斯科。Lüofberg , J. ( 2004 年 ) 。YALMIP: 一 个 在MATLAB中进行建模和优化的工具包。网址:http:control.ee.ethz.ch/joloef/yalmip.php.帕克申山口和Peaucelle,D.(2009年)。稳定与不确定系统的静态输出反馈无源化。第18届IEEE控制应用国际会议论文集,507-512。圣彼得堡,俄罗斯。Pakshin , P.V. 和 Soloviev , S.G. ( 2009 年 ) 。SCIYALMIP:SCILAB中解决半定规划问题的免费工具。第八届国际会计师联合会控制教育进展研讨会论文集,1-5。日本,久本。 IFAC Papers Online,2009,ISSN 1474- 6670,DOI 10.3182/20091021-3-JP-2009.00045.Sturm,J.(1999年)。使用SeDuMi 1.02,一个MAT-LAB工具箱,用于对称锥上的优化. 优化方法和 软件 , 11-12, 625-653。 网址 :http://sedumi.mcmaster.ca/。
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