基于边生长的移动立方体算法及其在虚拟现实智能硬件中的应用

虚拟现实智能硬件2021年11月3日第4引文：王欣，高素，王茉楠，段正华一种基于边生长的移动立方体算法虚拟现实智能硬件，2021，3（4）：336-349 DOI：10.1016/j.vrih.2021.08.006·文章·一种基于边生长的移动立方体算法XinWANG1，SuGAO2，MonanWANG1*，ZhenghuaDUANN11. 哈尔滨理工大学医学生物力学与材料黑龙江省重点实验室15000，中国2. 北京师范大学附属医院，北京100875*通讯作者，mnwang@hrbust.edu.cn投稿时间：2021年1月6日修订日期：2021年2月21日接受日期：2021年4月19日国家自然科学基金（61972117）;黑龙江省自然科学基金（ZD 2019 E007）摘要移动立方体算法是目前最流行的三维重建表面绘制算法之一。该方法首先根据输入图像形成立方体体素，然后使用15种基本拓扑结构从体素中提取等值面。该算法处理每个立方体体素在一个基于网格的方式，但它不考虑在相邻的立方体等值面之间的关系。由于模糊性，最终重建的模型可能会有洞。本文提出了一种基于边生长的移动立方体算法。该算法首先提取种子三角形，生长这些种子三角形，然后重建整个3D模型。根据生长边的位置，我们提出了17种具有等值面的拓扑构型。重建结果表明，该算法能较好地重建三维模型。当只需要3D模型的主轮廓时，该算法表现良好。此外，当数据中存在多个分散的零件时，该算法通过设置基于种子选择的区域，可以仅提取与种子连接的零件的3D轮廓。关键词三维重建; Marching Cube;边缘生长1介绍三维重建算法主要分为体绘制算法和面绘制算法。表面绘制算法首先从二维（2D）断层图像中提取特征，然后使用中间几何图元（如四边形、三角形、六面体、圆锥体和四面体）来拟合待重建模型的3D表面轮廓[1]。体绘制算法直接将输入数据映射成屏幕上的3D图形，而不通过中间几何图元。本文提出的算法属于面绘制算法。一般来说，与体绘制算法的执行相比，面绘制算法的执行需要更少的存储器，并且在重建模型的细节方面导致更好的性能。目前，表面绘制的主要算法包括轮廓线三角剖分，cuberille，2096-5796/©版权所有2021北京中科学报出版有限公司Elsevier B. V.代表KeAi Communization Co. Ltd.提供的出版服务。这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http：//creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。www.vr-ih.comXin WANG et al：A Marching Cube Algorithm Based on Edge Growth337[2][3][4][ 5][5][6][7][8][9][10]在这些算法中，最著名的是Lorensen和Cline在1987年提出的MC算法。MC算法由于其三维重建效果好、重建速度快、算法原理简单等优点，在实际应用中得到了广大图像开发者的认可。目前，MC算法已成为三维重建领域的经典算法。从深入的研究学习和实际应用的结果来看，我们发现MC算法存在以下不足。第一个缺点是模糊性，这意味着相邻立方体之间的拓扑结构不匹配，最终重建的3D模型包含孔洞。第二个问题是在计算空体素时浪费了一定量的时间。空体素是指不与等值面相交的立方体，通常占所有立方体的95%以上[6]。由于MC算法以基于体素的方式处理所有立方体体素，因此部分时间浪费在空体素的计算中。第三个缺点是MC算法生成大量三角形，不利于模型的绘制和存储。MC算法的模糊性首先由Dürst在1988年报道[7]。他们发现，MC算法有一些基本的配置，可以被各种其他拓扑结构所取代，并且不可能确定在重建过程中使用哪种拓扑结构。拓扑结构的不合理选择可能导致相邻体素中的等值面之间缺乏连接，最终导致生成的等值面中出现孔洞。1990年提出的行进四面体（Marching Tetrahedra，MT）算法是最早解决二义性问题的面绘制算法之一，它是在MC算法的基础上提出的。MT算法将每个立方体体素细分为多个四边体素，然后从每个四面体中提取等值面进行重建。然而，当立方体被划分为四面体时，该算法也具有二义性。由于分割的模糊性，重建的模型可能仍然有洞。此外，MT算法的重建时间比MC算法长得多。1991年，Nielson和Hamann提出了渐近判定器[9]。该方法能较好地判断立方体曲面的二义性。根据判断准则，可以解决立方体表面的二义性问题，但该方法仍然不能解决立方体的二义性问题。对于MC算法本体的模糊性，目前主要的判断方法有鞍点法、临界点法和广义渐近法。对于这些判断方法，虽然在一定程度上解决了歧义，但也增加了重建时间。1990年，Van Gelder和Wilhelms提出，在实际应用中，只有3%的拓扑结构是模糊的[10]。由于模糊性的出现频率较低，Van Gelder和Wilhelms提出了一种扩展的查找表方法，该方法扩展了主要的模糊拓扑结构，拓扑结构的判断主要基于立方体顶点的灰度值和阈值。这类方法在解决模型空洞的前提下，不仅重建速度快，而且重建效果好，具有特殊的研究价值。1994年，Zhou等人进一步改进了该方法[11]。 2013年，Masala等人在扩展查找表方法的基础上，将MC算法的15种拓扑配置扩展到21种。该方法能有效地解决模糊性问题，在重建速度和三维模型质量方面表现出良好的性能。目前，一些软件应用程序已经应用了这种方法[12，13]。目前对MC算法重建时间的优化方法主要有并行计算和八叉树方法。Wilhelms和Van Gelder[14]提出的八叉树方法通过对输入数据进行分块处理，可以在一定程度上避免计算一些空体素。Montani和Scateni提出了使用中点来代替MC算法中的线性插值点这338虚拟现实智能硬件2021年11月3日第4方法减少了许多浮点运算，是当前MC算法常用的加速方法[15]。利用Montani和Scateni的思想，一些学者还用黄金分割点和多段点代替线性插值点。当输入数据量较大时，MC算法会生成大量的三角形网格。主要解决方案是简化重建的3D网格模型[16]。2011年，Vignoles和Donias提出了简化的移动立方体（SMC）算法，该算法使用立方体的顶点来代替等值面与立方体之间的交点。该方法有效地避免了MC算法的二义性，生成的三角形数量也比MC算法少。然而，SMC算法的精度不如MC算法[17]。针对MC算法存在的拓扑模糊性和重建速度慢的问题，提出了一种基于边生长的面绘制算法。该算法首先选取种子三角形，然后对种子三角形进行边的叠加，从而达到三维重建的目的。2算法描述2.1方法和过程在MC算法的3D重建过程中，每个立方体的等值面根据其15个基本拓扑进行插值，如图1所示。图1MC算法的15种基本拓扑结构。MC算法的二义性是指立方体的拓扑结构在被选择时并不唯一，对应的拓扑结构可以被其他拓扑结构所替代。由于存在歧义，MC算法在重建过程中对每个立方体分别进行处理，没有考虑相邻立方体之间的关系。当不确定使用哪种拓扑结构时，重建的模型偶尔会有洞，如图2所示。众所周知，物体的外轮廓是连续曲面在三维重建中，物体的等值面也是连续的。因此，图2由歧义引起的漏洞示例。339Xin WANG et al：A Marching Cube Algorithm Based on Edge Growth通过相邻立方体不是独立存在的，而是相互连接的，如图3所示。从图3中可以看出，当一个等值面穿过一对相邻的立方体时，它在相邻立方体的公共表面上留下一条相交线，这条相交线是两个立方体中等值面的公共边，作为两个等值面之间的连接。根据相贯线的特点，提出了一种边生长MC算法。该算法的核心思想是利用已有的等值面图3相邻立方体的等值面之间的关系。在相邻立方体中生成等值面。如图3所示，如果左立方体中的等值面已经生成，而右立方体中的等值面还不存在，则右立方体中的等值面可以通过两个立方体中等值面的公共边生成，该公共边称为生长边。本文提出的算法有一个增长队列和两个标记数组，以确保整个重建过程顺利运行。队列存储增长边信息，标记数组记录如何处理每个立方体以及如何将立方体的增长放入增长队列。生长边缘信息包括两端的3D坐标、两端的梯度值和生长边缘将生长的立方体坐标。该算法分为以下步骤：步骤1：选择种子三角形，并将种子三角形形成的生长边放入生长队列。第二步：从生长队列中去除生长边，根据拓扑配置插值等值面与立方体边的交点，并将交点连接形成三角形网格。第三步：将步骤2中生成的等值面与相邻立方体的表面相交的新边作为生长边，并将其放入生长队列。步骤4：重复步骤2和3，直到队列为空。算法流程图如图4所示。2.2种子三角形选择如图1所示，对应于MC算法的拓扑配置1的等值面是三角形。鉴于拓扑配置1的简单性，三组数据用于3D重建。3D重建的结果如图5所示。图5（a）-（c）分别示出了使用MC算法对数据1、2和3进行3D重建的结果，而图5（a）-（c）示出了使用MC算法对数据1、2和3进行3D重建的结果，（d）-（f）分别示出了当仅重构拓扑配置1的立方体时数据1、2和3的3D重构的效果。从相同数据重建的结果比较来看，图5（d）-（f）基本上可以反映物体的近似轮廓，除了模型中的三角形面片数量较少，而且独立的三角形面片均匀分布在每个横截面上。从重建结果可以看出，拓扑构型1在这些模型的三维重建中所占比例较高。由于拓扑构型1的简单性和高比例性，将拓扑构型1的三角形作为种子三角形，然后将种子三角形的边作为生长边进行生长重构。在实际应用中，选择的种子三角形的数量必须合理：340虚拟现实智能硬件2021年11月3日第4图4给出了算法流程图。图5仅使用拓扑配置1的MC算法的重建结果的比较。由于噪声，三角形可能不会产生期望的重建效果，而具有太多的三角形将在种子三角形的选择中消耗更多的时间。在本研究的大多数实验中，从拓扑1的一个层生成的所有三角形都被选为种子三角形。该方法简单易行，能达到较好的重建效果。对于层数的选择，我们需要选择曲率发生变化的层，因为该层中拓扑构型1的含量较大，中间层通常可以满足种子选择的要求。对于种子三角形，它不限于一层立方体，而是可以手动选择或在Xin WANG et al：A Marching Cube Algorithm Based on Edge Growth341指定3D区域。该算法的核心是基于边缘生长的三维重建。选择种子三角形的目的是获得生长边，这也可以从其他拓扑中获得。2.3基于边缘生长2.3.1插值在该算法中，提出了一种三段插值方法进行插值重建。三段插值方法需要在线性插值和中点选择之间进行插值。假设p1和p2是立方体一侧上的两个顶点的3D坐标，hu1和hu2是立方体一侧上的两个顶点的3D坐标。灰度值，等值面的阈值为Y。当此边和等值面具有交点时，交点坐标使用以下公式计算：p=p1+（p2-p1）（Y-hu1）/（hu2-hu1）（1）如果公式中的（Y-hu1）/（hu2-hu1）部分称为插值比k，则p=p1+k（p2-p1）（2）表达式中k值的选取是本研究中三段插值法的一个特点。首先，应该设置下限m、上限n、下限值q和上限值p，其中需要0qmnp1和q+p然后，将k的绝对值与m和n进行比较。当k的绝对值小于m时，其绝对值为q。当k的绝对值大于n时，其绝对值为p。在其他情况下，k的绝对值为0.5。在三段插值法中，k的正负要求始终与以前相同，仅对其绝对值进行归一化。在本研究的实际应用中，q为0.25，m为0.3，n为0.7，p为0.75。2.3.2拓扑构型由于本研究在插补准则上采用三段插补法，因此插补的交点只会在每一边的两个端点之间。根据两个端点的位置，生长边缘可以分为两种类型。在第一种类型中，生长边的两端在两个相邻的边上，并且生长边与两个边相交以形成三角形，如图6的左手侧所示。在第二种类型中，生长边的两端在相对的边上，生长边将立方体的表面分成两个四边形，如图6的右手边所示。本文将前一条生长边称为三角形边，后一条生长边称为四边形边。由于生长边的位置是不确定的，我们根据生长边的两个端点I和II以及生长边所在的平面来命名立方体的顶点，这有利于等值面的提取。图7显示了三角形边增长时立方体顶点的名称。命名规则如下。生长边所在曲面上所有顶点的名称位于开始与SS，表面，其中图6两种类型的增长边缘。虚拟现实智能硬件2021年11月3日第4342生长边所在的面称为SS面，与SS相对的顶点的名称均以S_S开头，它们所在的面称为S_S面。在SS曲面上简单地形成三角形的顶点和增长边直接命名为SS，并且在SS曲面上与点SS相邻的两个顶点分别命名为SS_I和SS_II。SS曲面上与SS点相对的对角点称为SS_I_II。S_S曲面上各点的名称主要图7当立方体以三角形边生长时，立方体的每个顶点的名称。是指相邻SS曲面上的点的名称。两个曲面上相邻点的名称在后缀中相同。在利用三角形边缘进行生长三维重建时，以点SS为参考点，将其灰度值Huss与重建阈值Y进行比较。如果Huss大于阈值Y，则灰度值大于阈值Y的顶点被认为满足要求，而其余点不满足要求。如果Huss不大于阈值Y，则灰度值不大于Y的顶点称为满足要求的点，其余为不满足要求的点。如图7所示，满足要求的顶点是用大圆点标记，不符合要求的用小圆点标记。在随后的图中，大点和小点也用于标记每个顶点。在某些拓扑构形中，一些未标记的点被称为无关点，它们不参与特定等值面的生成。另外，由于该算法从生长边开始，只提取与生长边相连的等值面，因此在提取等值面时，所有满足要求的点都是相互连接的。根据生长边所在立方体表面的位置，以及立方体各顶点灰度值与阈值的关系，总结出三角形边生长时的11种拓扑构型，如图8所示。当增长四个角时，我们需要首先将立方体的八个顶点的灰度值与阈值Y进行比较。然后，将顶点分为两部分：在第一部分中，灰度值大于阈值，而在另一部分中，灰度值不大于阈值。选择数量较少的点作为参考点，即满足要求的点，满足要求的点的数量将在1和4的封闭区间如同三角形边的生长，当四个角用于增长，立方体的顶点也图8在以下条件下生长时的拓扑结构三角形的边Xin WANG et al：A Marching Cube Algorithm Based on Edge Growth343需要被命名。命名规则如下。生长边所在的曲面上的所有顶点都以SS开头，生长边所在的曲面称为SS面。SS面对面的面是S_S面，该面上的顶点名称以S_S开头。在SS面中，与生长边的顶点I相邻的满足要求的顶点称为SS_I点，不满足要求的相邻点称为SS_UP_I。与生长边的顶点II相邻的满足要求的顶点称为点SS_II，不满足要求的相邻点称为SS_UP_II。边S_S上的顶点具有与边SS上的顶点相同的后缀。图9显示了每个顶点的具体名称。根据生长边所在的立方体表面的位置，当使用四边形边生长进行重建时，得到六种拓扑构型，如图10所示。该算法根据提出的17种拓扑结构从立方体中提取等值面。根据拓扑构型在立方体中插值出等值面后，还需要判断等值面与立方体表面的交点是否能成为新的生长边，继续生长。判断的依据是该边是新的生长边，并且共享该边的相邻立方体的处理标签值和生长标签值都不是4。2.3.3立方体标记当一个立方体被处理时，它的处理过程需要被记录，只有当处理标记值达到一定要求时，才进一步cube停止的处理。每个立方体有两个标记：一个是处理标记，其记录如何根据增长标准处理立方体，另一个是增长标记，这记录如何的 增长将立方体的信息放入增长队列中。这些标记也有五个级别，分别用数字0、1、2、3和4表示。级别0是最低级别，表示多维数据集尚未处理。级别4是最高级别，表示多维数据集已被处理，不需要进一步处理。其他数字表示多维数据集已处理，但可能需要进一步处理。前面的17个拓扑只显示了一个增长边;然而，在实践中，立方体中可能有单独的等值面，因此，在这种立方体的情况下，有大量的工作要做。具体的标记物分配标准如下。提取种子三角形对应的立方体，种子三角形被提取。 在生长边缘信息被图9使用四边形边增长时立方体的每个顶点的名称。图10四边形边生长时的拓扑结构。虚拟现实智能硬件2021年11月3日第4344放入增长队列，将待处理的多维数据集增长标记的值加1。当立方体对应的拓扑结构为4、5、7、8、10、11、13、15、17时，处理完立方体后，将处理标记值设置为4。当立方体对应的拓扑结构为2、3、6、9、12、14、16时，处理完立方体后，将处理标志值设置为3。当立方体的拓扑结构为1时，立方体处理完毕后，处理标记值加1。当多维数据集的处理标记值为4时，不需要对多维数据集进行任何后续处理。当多维数据集的增长标记值为4时，不需要将关于多维数据集的增长信息放入增长队列中。此外，当立方体的加工标号大于1且小于4时，仅从立方体中提取拓扑配置1的等值面。3结果和讨论3.1双孔检测结果在该算法中，首要问题是解决拓扑结构的二义性。由于模糊性，生成的3D模型在某些细节上会有漏洞，这大大降低了模型的整体质量。针对孔洞问题，马萨拉提出了目前最简单的解决方案。Masala的改进MC算法删除了MC算法原有的15种拓扑结构中的一种，又增加了7种，最后将拓扑结构设置为21种。为了确定3D重建生成的模型是否有孔，本研究使用了Masala的数据，Masala称之为MC示例，其大小为10 × 10 × 10;即有10层数据，每层的大小为10 × 10。除了第五层、第六层和第七层之外，其他层的数据值均为0。第五、第六、和第七层在图11中示出。第六层和第七层的数据相同。图12示出了标准MC算法、Masala的改进MC算法和所提出的算法在使用MC示例的数据集进行重建时的重建结果。从图中可以看出，标准MC算法的重建结果存在明显的该算法的重建结果与Masala的改进MC算法相同，生成的3D模型没有孔。图13显示了图11MC示例的数据。图12三维重建模型的MC实例。Xin WANG et al：A Marching Cube Algorithm Based on Edge Growth345图13三维重建网格模型的MC实例。网格显示图12中每个模型的结果。如图所示，标准MC算法的网格模型在左侧有明显的锯齿。由于这些锯齿上缺少一些三角形，最终生成的模型是不完整的，有一些洞。Masala的改进MC算法所对应的网格模型与所提算法所对应的网格模型大致相同，生成的模型均为闭合网格模型。3.2重建模型的质量和时间分析Masala的改进MC算法主要是对原MC算法的拓扑结构进行了改进，而原MC算法存在模糊性问题。为了评估我们的算法的性能，我们进行了两组实验，以确定重建效果。表1显示了整个实验的环境配置。第一组实验数据是一组分割的医学图像数据，其由尺寸为125 × 105的145个二维断层图像组成。Masala改进的MC算法和所提出的算法的3D重建模型如图14所示。该算法的种子三角形是从中间层的所有立方体体素中获得的。从图中可以看出，这两种算法在3D图像的整体3D外部轮廓上具有相同的网格;然而，从模型内部来看，Masala的改进MC算法具有比Masala的改进MC算法更多的内部网格。通过该算法重建的模型。在在实际应用中，这些内部网格不表1实验环境配置参与模型的展示。这些内部网格主要是由不完全分割造成的。在只需要一个完整的外部三维轮廓网格模型的情况下，该算法在重建模型的质量方面优于Masala的改进MC算法。在相同的环境配置下，两种算法在第一组数据上进行3D重建所花费的时间和生成的三角形数量列于表2中。如可以名称操作系统CPU存储器开发环境平台参数Windows10（64位）Intel Corei5-84008 GBVisual Studio 2015VTK从表中可以看出，所提出的算法生成 中的三角形更少 重建图14第一组实验的三维重建模型。虚拟现实智能硬件2021年11月3日第4346与Masala的改进MC算法相比，在重建时间方面，表2第一组实验这两种算法之间的差别不大，所提出的算法的重建时间比Masala的改进MC算法的重建时间稍短。算法M是我们时间0.2197110.212538三角面79，72871,472在第二个实验中，重建了四组数据，并对这四组数据使用相同的重建阈值。这四组数据被标记为数据编号。1、2、3和4。同时，利用Masala改进的MC算法和本文提出的算法进行了三维重建。重建结果如图15所示，其中所提出的算法的种子三角形是从中间层中的所有立方体体素获得的。图15第二组实验的四组数据的三维重建模型。图15（a）-（d）示出了在数据No.图15（e）-（h）示出了在数据No. 1、2、3和4下通过所提出的算法重建的3D模型。1、2、3和4。从图中可以看出，Masala改进MC算法的三维重建结果与提出的算法的结果相似。图16示出了使用第二组数据进行三维重建的胸部的部分放大。从图中可以看出，Masala改进MC算法的模型与提出的算法的模型相比具有许多分散的小碎片，其有点类似于二维（2D）图像中的噪声。这些碎片降低了模型的整体显示效果，因此，当不需要与主轮廓相连的碎片时，该算法的重建质量优于Masala的改进MC算法。表3示出了两种算法在第二组重构过程中所花费的时间。347Xin WANG et al：A Marching Cube Algorithm Based on Edge Growth图163D重建模型的部分放大视图，数据编号为二、表3第二组实验资料编号算法时间（秒）三角形面玛莎拉40.130410,706,1611我们36.98296,633,879玛莎拉33.31536,885,2072我们36.4635,973,771玛莎拉3.97861,519,7883我们3.90271,276,479玛莎拉3.5484845,1654我们3.4459686,160实验和网格模型中生成的三角形的数量。从表中可以看出，在相同的重建参数下，所提出的算法的重建模型中的三角形的数量低于Masala的改进MC算法。在重建时间方面，所提出的算法需要更长的时间来重建数据No.2。该算法对其他三组数据的重建时间在实验中，将Masala的改进MC算法与本文提出的算法进行了比较，发现两种算法都能有效地避免三维重建模型表面的孔洞。在该算法中，在实验中的五组数据中，只有一组数据需要较长的时间进行三维重建，而其余四组数据需要较短的时间。此外，该算法的重建模型中生成的三角形的数量低于Masala的改进MC算法。在不需要三维重建的二维数据细节方面，该算法的性能优于Masala的改进MC算法。3.3种子区域选择对重建模型为了便于使用所提出的算法进行医学图像的三维重建，我们开发了一个简单的三维重建系统。系统可以设置种子三角形的选定区域以重建连接到种子三角形的3D模型。我们选择了一组人脑数据来测试这个系统。数据由320张二维图像组成。3D重建的结果如图17所示，其中图17 a是通过使用MC算法重建整个数据获得的模型。该模型是整个头骨对应的数据，每个骨骼分散在每个区域。图17 b示出了当种子区域为{（x，y，z）|0 ≤ x <400，0 ≤ y <400，0 ≤z10}，其对应的3D模型是上颌骨。图17c示出了根据本发明的实施例的重建结果当种子选择区域为{（x，y，z）|200 ≤ x <300，400 ≤ y <478，270 ≤ z <318}及其348虚拟现实智能硬件2021年11月3日第4图17从人脑不同区域选择的种子的三维重建结果。对应的3D模型是下颌骨。从图中可以看出，当系统选择不同的种子区域时，重建的模型也不同。由于这种重建效果，对于多个散射组织，所提出的算法可以用来设置种子区域来执行图像的指定部分的3D重建。4结论提出了一种基于边缘生长的Marching Cube三维重建算法。首先，该算法重建的三维模型不包含由二义性引起的孔洞。其次，从整体重建质量来看，其外观与Masala的改进MC算法重建的模型一致;但当只需要模型的主轮廓时，该算法的重建效果更好。由于该算法、MC算法和Masala的改进MC算法都是基于立方体体素插值的三维重建算法，所以它们的重建精度是相同的。在该算法的应用中，当数据中的组织包含多个分散的部分时，可以通过设置所选种子的区域来提取指定部分的3D轮廓。所提出的算法的主要局限性如下。它使用队列来存储增长边信息。与其他类型的算法相比，它需要更多的内存空间，不适合在小型机器上进行大规模的重建。该算法基于种子生成网格模型，不适用于重建多个散乱物体，如骨折。必须为每个分散的部分人工设置种子或扩大选种面积。在后续的开发中，可以使用多线程来加快算法的重建速度。它也可以与体绘制相结合。首先根据体绘制的显示结果确定需要重建的区域，设置种子区域和重建阈值，然后采用本文提出的面绘制算法精确重建指定部位的组织。竞合利益我们声明我们没有利益冲突。引用1杨文辉，李文辉.移动立方体算法综述。计算机图形学，2006，30（5）：854-879 DOI：10.1016/j.cag.2006.07.0212凯佩尔湾用轮廓线的三角剖分逼近复杂曲面。IBM研究与开发杂志，1975，19（1）：2DOI：10.1147/rd.191.0002349Xin WANG et al：A Marching Cube Algorithm Based on Edge Growth3作者：刘汉康.从计算机断层图像三维显示人体器官。计算机图形学与图像处理，1979，9（1）：1DOI：10.1016/0146-664x（79）90079-04[10]张文辉，张文辉.断层图像三维重建的两种算法。医学物理，1988，15（3）：320DOI：10.1118/1.5962255作者：Lorensen W E，Cline E. 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