27《理论计算机科学电子札记》44卷第1期（2001）网址：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume44.html20页从代数簇到余代数余簇Jir'Ad'amek1，2德国不伦瑞克技术大学理论计算机科学系汉斯·E Porst3，4不来梅大学数学系德国摘要定义了任意余完备范畴C上关于闭函子F的F -代数簇为允许自由代数的方程类。它们精确地对应于C上的一元范畴。在适当的假设下，特别是在集合和集合上的任何闭函子满足的假设下，Birkho簇定理成立。 通过对偶化，引入了完全范畴C上的余簇，它们对应于C上的余单进范畴，并允许Birkho余簇定理的对偶刻画。此外，证明了集函子F的可达性和有界性条件是等价的，这些条件是余自由F -余代数存在的充分条件。介绍什么是多样性？一个经典的答案是：一个方程表示的类，有限代数（如群、格等）。不那么经典的回答：一个等式表示的代数类，其无穷运算可能是无界的（如完全半格或紧Hausdor空间）。第一个，经典的情况下，正好对应于代数的一个finitary单子1SMS项目下的支持34-99141-301非常感谢。2电邮地址： adamek@iti.cs.tu-bs.de3这篇论文是在第二作者长期逗留期间写的，数学的斯泰伦博斯大学，其好客是感激之情。4 电子邮件地址：porst@math.uni-bremen.de2000年1月，出版社dbyElsevierScienceB。 V.操作访问和C CB Y-NC-ND许可证。ADA'MEKANDPORST28⇒→在Set之上。后一个，然后，代数的任意单子集。然而，这与Set作为基范畴无关：我们将引入-F-代数的方程和方程类，其中F是任何上完备范畴C上的内函子。具有自由代数的方程类称为簇。证明了它们精确对应于C上的Monadic范畴。虽然这是一个民间传说的事实，但似乎从来没有真正制定过。我们的公式是基于第一作者在[2]中提出的自由F-代数作为“项对象”的余极限的构造在[6]中，存在自由F-代数的函子F称为簇.对于集合上的所有变元（以及保持正则满态的“合理”范畴上的所有变元什么是共变种？这是一个简单但重要的观察，范畴C上的每一个闭函子，F-余代数的范畴Coalg（F）是Fop-代数范畴的对偶，其中Fop是Cop上的闭函子充当F.因此，通过简单的对偶，我们得到了余代数的余方程和余方程类的概念.那些具有余自由余代数的余方程类（即，它们是Fop-代数的变种）称为余变种。而且，对于完全基范畴来说，这些就是共单范畴。如果F是协变量，即，如果所有的上自由余代数都存在，且C=Set或C是在余积、子代数和子余代数下是闭的。协变量-仅用于集合上的有界内函子-已经被许多作者考虑过。当我们的方法专门用于这种特定情况时，我们的方法与大多数这些概念的等价性将在下面显示什么因子是（CO-）变量？在现场的各种各样的人已经被-在[6]中，完全以存在任意大的固定点为特征。集合上协变量的完整刻画还不清楚，但几个充分条件是已知的：M。Barr在[9]中表明，每个可访问的函子都是 协变量，Y. Kawahara和M. Mori [17]证明了每个有界函子都有一个最终余代数（由此得出每个有界函子都是协变量）。在本说明中，我们证明了可达性实际上等价于有界性，并且两者都等价于F是小的，即，hom-functors的一个小余限这似乎是第一次正确地证明了蕴涵可达性=小（但参见例如P. Freyd [11]，其中隐含地包含了这个结果）。1关于函子的令F：CC是某个范畴C的闭函子。 类别Alg（F）和Coalg（F）的定义如下。ADA'MEKANDPORST29→→→n∈NnAlg（F）的对象称为F-代数（C上），是对（C，α C），其中C 是一个C-对象，αC：FC→C是一个C-态射. Alg（F）的态射f：（C，αC）→（D，αD）称为F-代数同态，是C-态射f：CD制作图表FCFfF DαCαDJ J通勤。CfDCoalg（F）的对象称为F-余代数（C上），是（C，αC）对，其中C是C-对象，αC：C→FC是C-态射. Coalg（F）的态射f：（C，αC）→（D，αD）称为F-余代数同态，是使图f：C→DFC DαCαDJ J通勤。FCFfF DAlg（F）和Coalg（F）的组成和恒等式分别是C.Alg（F）和Coalg（F）是C上的具体范畴，因为它们都具有典型的基础函子FU：Alg（F）→C和UF：Coalg（F）→C分别为5。函子F：C D的对偶是函子Fop：CopDop作用于作为F的对象和态射。有了这些符号，1.1 引理对于任意函子F：C→C，下列成立：1. Coalg（F）=（Alg（Fop））op2. UF=（FopU）1.2 例如，设k是Birkho k意义上的签名，即， n =（n）n∈N是可数集合族n。对于函子，我们将代数范畴Alg（F）-直到一个具体的同构-描述为（Alg（F），UF=F：设置→设置如下：F*将集合X赋给集合X，X n. 相应地，F分配对于一个映射f：X→Y，有映射n∈N<$n×fn，即，映射n∈N<$n×Xn→n∈N<$n× Y n映射一对（ω，（x1，.， xn））到对（ω，（fx1，...，fxn））。[5]只要不可能引起混淆，我们就省略下标F。opADA'MEKANDPORST30形式为F的函子称为多项式函子。我们收集了一些著名的性质类别的F-代数的情况下C=集如下：1.3 定理对于集合的每一个闭函子F，下列成立：1. Alg（F）有所有的极限，这些极限是由U产生的。2. Alg（F）具有所有共极限。那些被F保存的东西是由U创造的3. Alg（F）有同态的正则因子分解;这些因子分解是由U创建的。1.4 注：上述性质在更一般的情况下成立，而不仅仅是在Set上：作为对基本标准证明的检查（参见[3]或[6]）显示，仅需要范畴C=Set和函子F• C是完备的，余完备的，（正则）余幂的，并且有同态的（正则epi，mono）-因子分解。• F保持（正则）满射。这些条件也可以被假定为特别是对于范畴Setop上的每个内函子都满足。我们只需回忆一下V的下列结果。T rn kova′（参见[6，III.4.5-6]）：Set上的每个内函子F要么保持单态，要么存在一个保持单态的函子FJ与F在所有非空集合和函数上重合，并且FJ<$/=<$/=F<$。因此，关于集合上范畴Alg（F）和Coalg（F），人们总是可以假定F保持单态：Coalg（F）和Coalg（FJ）（具体地）同构，而Alg（F）=Alg（FJ），只要F不保持单态.通过引理1.1，通过对偶化得到以下性质F-余代数的范畴：1.5 定理设F是集合的闭函子。然后，下面的保持：1. Coalg（F）有所有的共极限，这些都是由U.2. Coalg（F）具有所有限制。那些被F保存的东西是由U创造的3. Coalg（F）有同态的正则因子分解;这些是由U创建的。ADA'MEKANDPORST31我0我我→→2自由代数与余自由余代数2.1 对于集合上的多项式内函子F，生成元集合X上的自由代数X的概念是众所周知的。我们可以递归地将其描述为X=i ωX，其中X=X+10一期+1=X+F深度为0的项是变量和空值运算= X +{（ω，t0，...，t n−1）|ω∈ n，t0，.，t n−1∈X}=X+F<$X项深度i+1或者直接地说：X是所有有限的“正确”标记树的代数 我们有万有箭头ηX：X→X，将X嵌入X。2.2 X上的自由F-代数对于C的一个对象X（具有FX−−→X X与态射ηX：X→X具有如下普适性质：给定F-代数（C，α C）和C的态射f：XC，存在唯一的F-同态f扩张f，即，使得下图中的数据可以互换。FXX X，， XηXFf fJαCFCFJ，sC换句话说，ηX是遗忘函子U：Alg（F）→C的万有箭头。2.3 引理设F：C → C是函子，其中C有有限余积，X是C-对象.对于态射<$X：X + F I X→ I X，具有分量η X：X→I X和α X：F I X→ I X，以下是等价的。(i) （I X，ι X）是X + F（−）型的初始代数。(ii) （I X，α X）是X上具有泛态射η X的自由F-代数。2.4 推论对于自由F-代数X，有XX + FX。这是应用于F X = X + F（−）的Lambek引理（初始F -代数是F的不动点）。最好给内函子F起一个名字，这样C的每个对象允许一个自由F-代数，即使得U有一个左伴随。2.5 定义（[6]）一个内函子F：C C称为一个变元，只要在每个C -对象上存在一个自由F-代数。XADA'MEKANDPORST32−−→−我−→我我Xi→→→Xi我≤2.6 示例1. 集合上的多项式内函子是变元。2.更一般地说，如果C有上极限和有限乘积，使得ω-链的上极限与有限乘积可交换，则C上的每个多项式内函子F是一个变元。事实上，很容易看出，对于所有的ε，Fε保持ω-链的余极限。然后自由代数可以通过以下方法得到：2.7 有限自由代数构造（见[2]）：这是一个著名的初始F-代数（0上的自由F-代数，C的初始对象）作为链的余极限的构造的应用。0−→！ F0−F→！F20F2！ F30···到函子FX=X+F（）（见上面的引理2.3设C有可数余极限。给定C中的一个对象X，我们定义一个ω-链X（i ω）如下：0−→！ X+F0−X−+−F→！X+F（X+F！）X+F（X+F0）−−−−−→ （X+F（X+F（X+F0））···那就是：！• X0= 0，X1=X+F0=X+FX0和x0，1=0X+ F0是唯一的态射• Xi+1 = X + F Xi 且xi+1，j+1 = X + Fxi，j，对所有i≤ j断言：如果F-因而X+F-保持上极限X=colimi ωX的上链，则X是X上的自由F-代数。更详细：假设（X−→X）是上极限co锥。如果X+F存在，则我们有一个唯一态射<$X：X+FX→X，其中<$X<$（X+Fxi）=xi+1两个分量η X：XX和α X：FXX of Xform a freeX上的F证明对于每个F-代数（C，αC）和任何态射（“赋值给变量”）f：X C递归地定义上述链（项的计算）的上锥如下：f=！ 和f= [f，αC<$Ff]0然后（唯一）因子分解X一期+1−→Xf我C=f使（唯一）i−→i同态f：（X，α X）→（C，α C）其中f=f <$η X.✸2.8 实施例1.对于内函子FY= 1 +Y×Y（即，一个恒定和一个二元运算），我们知道X中的项是深度为i的二叉树被标记为X+ 1。这正好对应于上面的结构。ADA'MEKANDPORST33我我i、j→Ki、j我Jk，k+1KKK我我0一期+1我KKK2.对于内函子FY=YN（即，一个ω-ary运算），我们可以再次形成项的集合X，但是这里ω步之后的余极限并不给出自由F-代数，当然：我们需要以下的ω12.9 自由代数构造（见[2]或[6，IV.3.2]）：设C是一个余完备范畴。对于C上的每个闭函子F和每个对象X（变量（i任何序数）和连通态射X：X →X（i≤ j）通过以下transfinite归纳：！• x0的 = 0，X1 =X+F0，其中x0，1是唯一态射0X+F 0• Xi+1 = X + FXi 对所有序数i，xi+1，j+1=X+Fxi，j对所有i≤j• Xj=colimijXi对所有具有上极限余锥xi，j，ij的极限序数j.<声明：如果上述链构造在k步后停止，即，如果k是序数使得x：X→X+FX是同构，则X是自由的X上的F-代数 更详细：用下式表示xk，k+1的逆：组件αX：FX→X和ηX：X→Xk k k它们构成X上的自由F-代数。证明给定一个F-代数（C，αC）和一个态射f：X→C，我们用上述的transfinite归纳法定义一个上锥f：X → C（i是序数）（左出极限步骤;相容性yfj<$x=fi（ij）意味着fi（ij）求出极限序数j的fj）：f=！且f= [f，α C<$Ff]现在f：X →C是唯一的同态，其中f=f <$η X。✸2.10 定义（[6]）函子F：CC称为构造变元只要它的自由代数构造2.9对每个C对象X停止。一个函子可以是一个变量，尽管上面的链构造不能对每个X都停止（参见[6，IV.3.A]）。然而，我们有以下结果：2.11对于无穷基数λ，上完备范畴上的闭函子F保持λ-链的上极限，它是一个构造性变元。事实上，如果F保持X=colimj λX，则自由代数构造λj在λ步之后停止2.12 定理（[6，4.3]，[4]）Set，Setop，Veck6和Vecop范畴上的每一个变元都是构造变元。[6]这是某个域k上的向量空间范畴。−→ADA'MEKANDPORST34→×在Settriviali上调用一个内函子FF在非空集上是常数，我们可以证明（注意，trivial内函子显然是变元）：2.13 定理（[6]）集合上的非平凡闭函子F是（构造性）变分函子，且F具有任意大的不动点。2.14 自由余代数是自由代数的对偶C-对象上关于函子F：C→C的余自由F-余代数X（ F-余代数同态f扩张f，即，使得图CαCF CF得双曲余切值.FJXFFJX，，ρXXFX上下班换句话说，ρX是健忘函子的一个可数箭头U：Coalg（F）→C。2.15 定义一个内函子F：C C被称为协变函数，只要在每个C -对象上存在一个上自由F-余代数。该术语由基于1.1和2.3的以下注释来解释。2.16 备注对于任何F：C →C，下列公式是等价的：• F是协变量。• Fop是一个变量。如果C有有限个乘积，另一个等价条件是：• 对于C中的每一个对象X，函子FX=X F都有一个终结（= final）余代数。上面的自由代数结构的对偶化给出了以下结果2.17C是一个完备范畴.对于C上的每个闭函子F和C中的每个对象X（“有颜色”），定义对象Xi（i为任意序数）和连接态射Xi，j的transfinite上链：Xi → X j（i ≥ j）如下（其中1表示C的终结对象）：• X0=1，Xi=X×F1，其中x1，0：X×F1−→！1唯一态射i+1，j +1i，j• X i+1= X×FX i对所有序数i，x= X × Fx，对所有i≥ j• Xj=limi jXi对所有具有极限锥xj，i，i j的极限序数j.ADA'MEKANDPORST35→≤≤我我如果这个上链构造在k步之后停止，即，如果k是一个序数，设xk，k+1：X×FXk→Xk是同构，则Xk是上自由F-X上的余代数 更详细的：通过<$X：Xk表示xk，k+1的逆→X×FXk（含组件）αX：Xk→FXk和ρX：Xk→X它们构成X上的余自由F-余代数。对于F-余代数（C，αC）和态射f：C→X，f的扩张f是余锥的第k个成员fi：C→Xi，由transfinite归纳法定义（不考虑极限步骤如下：f0=！ 且fi+1=<$f，Ffi <$α C<$.2.18 函子F：CC被称为构造性协变函数，条件是它的构造-余代数构造2.17对每个C-对象X停止。作为推论2.11的对偶，以下成立：2.19 推论一个完备范畴上的内函子F，如果对某个无穷基数λ保持 λ-上链的极限，则它是一个构造性协变量。2.20实施例1. 集合上的多项式函子是协变量（这里λ=ω）。Σ2. 集合上的广义多项式函子，即，函子FY=i∈I YCi对于一个给定的（不一定是有限的）集合族（Ci）i∈I是协变元（同样，λ=ω）。3. 集合上的每个具有任意大指数不动点的内函子（即，存在任意大的集合X，使得每个集合Y与卡片X卡Y卡expX是F的固定点）是协变量（见[4]）。与定理2.13比较。3变种与余变种以下定义概括了[1]中的概念：3.1 设F是上完全范畴C的闭函子。使用2.9中的符号X和f，我们定义：我我1. 在X上的方程箭头是正则满射e：X→E，对于某个序数i。一个F-代数（C，αC）被称为满足e，条件是对于每个态射f：X→C，态射f通过e因子：XeE我，、、f，一、五JzCADA'MEKANDPORST36∈ EEEEωω→我我我i、ji、jJ2. 对于任意一类方程箭，Alg（F，）表示所有满足每个e的F-代数所张成的Alg（F）的全子范畴.这样的范畴称为C上的（F-代数的）等式范畴.3. C上的一个方程范畴Alg（F，）称为C上的一个（F-代数的）簇，只要其基础函子UE= U|Alg（F，E）：Alg（F，E）→ C有一个左伴随3.2 说明1.经典（无穷）泛代数中的方程是成对的项，即平行的态射u，v：1→X =X一个代数（C，αC）满足这个方程i，对于每个态射f：X→C唯一同态f=f扩展f合并u和v，即，fu = f v。在上面的意义上，这等价于满足方程箭头e：X E，它是u和v的一个协均衡器。一般来说，每对平行态射（具有C-对象A，X和序数i）u，v：A→X在C中定义了一个方程arrowe：X→E，u和v的一个coequalizer。一个代数（C，αC）态射f：X→C我们有fu=fv）i（C，αC）满足e在我我超越理智2. 如果基范畴C有核对，则相反地，方程列可以用平行对代替：给定正则满射 e：X→E，用u，v：A→X表示e的核对。然后是代数我我满足u=v i满足e。在这里可以观察到，索引i可以任意升级：平行对u，v：A→X和序数j > i，设uJ=x u，vJ= x v. 然后方程u=v和uJ=vJ满足相同的代数3. 设C有核对，设F是一个构造变量。它遵循2。我们要考虑的所有方程都是u，v：A→X对于C中的对象A，X：实际上，将任何给定的并行对升级为序数j，使得X = X。这里，u = v被（C，α C）满足意味着对于每个f：X→C，唯一同态f：（X，<$X）→ADA'MEKANDPORST37→◦→→→→→E∈ EEEE→（C，αC）合并u和v。由于（X，<$X）上的所有同态h都有形式h=f（对于f= h η X），我们看到对于所有同态h：（X，<$X）（C，α C），（C，α C）满足u = v i <$hu = hv。因此，我们可以等效地使用方程箭头e：X→E它们是自由F-代数在C中的正则代数。4. 假设F是一个构造变量，使得Alg（F）具有共等价物（例如，当C具有核对和态射的正则因子分解时，C是正则余幂的，F保持正则满态，见注1.4）。 则代替正则满态e：XE在我们可以处理Alg（F）中的正则满态。为此目的，回顾以下概念：(a) 范畴C中的对象I称为内射w.r.t.。给定态射e：C→D，条件是每个态射h：C→I在e上分解：h：CeD、、、、H 、、、，zJ(b) 给定一类同态，我们用Inj表示的内射类，即，Alg（F）的所有内射代数所张成的全子范畴每个E。(c) 注射剂w.r.t.所有正则单态称为正则内射。(d) 对偶概念是（正则）投射和投射类Proj。现在观察到，对于每个方程u，v：AX，我们有一个新的方程u，v：AX，它被完全相同的代数（C，αC）满足（因为，给定同态h：（X，<$X）（C，αC），那么（h u）=h u和（h v）=h v）。 如果e<$：（X，X） （E<$，αE<$）表示在Alg（F）中u和v的余均衡器，则对每个代数（C，αC），我们有（C，αC）满足e∈（C，αC）是相对于t的单射。是的。5. 考虑基本范畴C=Set。然后从4开始。对于任何变量F：Set Set，F-代数的每一簇都是由Alg（F）的正则满射的内射性所具体化的，其中Alg（F）具有正则投射域7。反之亦然：每一类由Alg（F）的正则满射内射性指定的具有正则投射整环的F-代数都是一个簇。7集合上的自由F-代数都是正则投影的.我ADA'MEKANDPORST38{|∈}PP2我我我事实上，考虑Alg（F）中的这样一个满射e：（D，αD）→（E，αE）由于同态id：（D，αD）→（D，αD）是Alg（F）中的正则满射，且（D，αD）是正则投射的，所以我们有一个同态m：（D，α D）→（D，α D），其中 id = id。在Alg（F）中选择一对同态u，v，其余均衡器为e.则一个代数（C，αC）对每一个同态都正交于εi ∈ εh：（D，αD）→（C，αC）我们有h<$u=h<$v。这等价于说明对于每个同态k：（D，<$D）→（C，αC），我们有k<$（m<$u）=k<$（m<$v）：给定k，放h=k<$m，给定h，放k=h_i_id。Thus，ife<$：（D，αD）→（E<$，αE<$）表示一个co均衡器，mu和mv在Alg（F）中，则分别对e和e的内射y为相当于（前者可以用方程u0=v0代替由e ′的kernel对得到）。H. [16]和[8]中的Herrlich和他的合著者3.3 示例Set上的幂集函子P不是变量。然而，我们可以考虑P-代数的方程范畴。完全半格就是一个例子。实际上，一个完全（上）自格的加入操作C是箭头αC：PC→C，满足（i）αC{x}=x，和（ii）αCMi=αC αCM我我 对于任何集合M i，C. 相反，每个-代数满足（i）和（ii）的是（唯一的）完备半格的并运算。现在（i）可以用方程箭头e表示：X →E，其中X={x}，e只是合并了x和{x}，而（ii）对应于方程箭头f：X→F，其中X是任意集合，对于给定的集合Mi在PX中，3f将M i与{M i|i ∈ I}。 同态正是保留所有连接的函数。下面的引理--可以通过简单的transfinite归纳证明--将经常被使用：3.4 F-代数的引理同态保持项的计算，即， 给定同态h：（C，α C）→（D，α D）和变量f：X→C的赋值，则对所有序数i，（h<$f）= h<$f.3.5 命题Alg（F，E）在Alg（F）中总是封闭的，1. 子代数和所有存在的极限2. C .中分裂满射所携带的同态象证据1. 是微不足道的一个明显的对角线填充的论点。2.设r：（C，αC）→（D，αD）是C中具有余收缩s的同态，其中（C，αC）满足方程e：X→E.给定f：X→ D，1ADA'MEKANDPORST39我→EEEE231我→我我我21122X11X131233有r（s f）=（r s f）= f。因此，由于（s f）通过e分解，所以是吗？✸3.6 定理余完备范畴C上的一元范畴正是具体等价于C上的簇的范畴。普罗夫特岛假设：通过贝克 由于Alg（F，）在C的同分分裂下是闭的，因此证明了U：Alg（F）C产生绝对余均衡器.这是证明完全一样，在证明贝克二.相反，它表明，对于上完备范畴C上的任何单子T=（T，η，μ），T-代数的Eilenberg-Moore范畴CT与Alg（T）的子范畴Alg（T，为此，考虑对于每个C对象X，中国+1Xni+1−→X+TXi=Xi+1<$−TXi。一个方程箭头类E1现在定义如下：对于每个C-对象设eX：X →eX是m2，n2<$η<$m1的余均衡器. T-代数X（C，αC）满足eXi，对于每个态射f：X→C，态射f= [f，αC<$Tf]：X+TX→C满足f <$m2= f <$n2<$η <$m1，或等价地，f = α C<$Tf <$η <$m1。由于η是自然的，这等价于f=αC<$ηC<$f，对于X=C和f= 1C，满足T-代数 公 理 αC<$ηC= 1C 。 相 反 ， αC<$ηC= 1C 通 过 与 f 的 复 合 得 到f=αC<$ηC<$f。因此，满足E1等价于αC<$ηC= 1C。接下来，我们定义一个方程箭头类E2如下：对于每个C-对象，令d X：X + T X2µX，n3<$Tn2<$T2m1。=X→DX是n3<$Tm2<$的TX，µX2，，T，m2，zTXn3 X+TXdXDTX，、、、，2 2XT2m1，zT n 2T2X一个T-代数（C，αC）满足dXi ∈ C，对于每个态射f：X C，态射f= [f，αC<$T[f，αC<$Tf]]：X+TX→C满足fn3<$Tn2<$T2m1=fn3<$Tm2<$µ X。 这相当于αC<$T αC<$T2f=αC<$Tf <$µX，或者，由于µ是天然的，所以αC<$TαC<$T2f=1ADA'MEKANDPORST40→CCEEαCµCT2f.选择f= 1C，这就满足T-代数公理αC<$T αC=αC<$µC。相反，αC<$T αC=αC<$µC通过与T2f合成得到αC<$T αC<$T2f=αC<$µC<$T2f。因此，E2的满足等价于αC<$T αC=αC<$µC。选择E = E1<$E2，则得到CT= Alg（T，E）。✸3.7 定理设C是一个具有正则分解和核对的余完备、正则余幂范畴。如果F：CC是一个结构变量，若保持正则满态，则下列对Alg（F）的任意满子范畴K等价：(i) K是一个变量。(ii) K在分裂满射所携带的子代数、乘积和同态象下是闭的。根据命题3.5，我们只需证明（ii）蕴涵（i）。根据注1.4，Alg（F）有正则因子分解。因此（ii）暗示K是一个其反射箭是Alg（F）中正则满射的反射子范畴，见[3，16.8]。设E是自由代数的所有反射箭的类。我们称K=InjE。平凡地，K中的每个代数都是关于t的内射。所有反射箭头。相反，如果（C，αC）是内射w.r.t.反射率RC上的自由代数（F，αF），则同态扩张id的C因子的恒等式为id = gr。这表明g作为C-态射撤回声明因此，（C，αC）是（F，αF）的K-反射的分裂epi携带商，因此根据假设属于K因此，K=Inj。从备注3.2.4上面我们得出结论K是一个簇。✸3.8 推论（Birkho簇定理）：对于范畴集合上的每个变元F，F-代数的簇恰是在积、子代数和同态象下闭的全子范畴。3.9 注：在定理证明中，在特殊情况下，3.7以上，取为集合上自由代数的反射箭集F的基数小于λ（λ是正则基数），条件是F保持λ-有向余极限（参见[5，3.9]的证明）。通过形式上对偶化定义3.1，见引理1.1，我们得到如下：ing3.10 设F是完备范畴C的闭函子。1. X上的余方程箭头是正则单态映射m：M→Xi，对于某个序数i。称F-余代数（C，αC）满足m，条件是对每个态射f：C→X，态射fi因子通过m.ADA'MEKANDPORST41∈ MMMMPM →P2. 于任何等级Coalg（F，）是Coalg（F）的满子范畴，它由所有满足m的F-余代数所张成.这样的范畴称为C上的（F-余代数的）余等式范畴.3. 一个余方程范畴Coalg（F，）称为C上的（F-余代数的）余簇，只要其基础函子UM= U|Coalg（F，M）：Coalg（F，M）-C有一个右伴随（也就是说，如果Alg（Fop，M）是Cop上的簇）。通过对偶化等式范畴和簇的相应结果，我们立即得到以下结果。3.11 完备范畴C上的推论Comonadic范畴恰是C上的上簇具体等价的范畴。3.12 推论（Birkho余簇定理）对于范畴Set上的每一个协变元F，F-代数的余簇恰好是闭于余积、子代数和同态像下的全子范畴8。3.13说明1.显然，通过对偶，Coalg（F）（overSet）的一个全子范畴成为余簇的一个等价条件是成为一个投射类w.r.t.一类具有余自由余域的正则单态映射M。2. 此外，与集上簇的情况一样（见注3.9），集上F-余代数的余变也可以由关于r. t的投射性来具体化一组正则单态--实际上是一个单态--具有余自由余域，条件是函子F对某些正则基数λ保持λ-有向余极限.这很容易从这些函子的有界性（见下面的定理4.1）中得出（见[20，12]）。然而，请注意，这一观察结果不能通过注3.9的对偶化得到。虽然定理3.11表明Set上的余簇的对偶是Setop上的簇，但它还暗示了以下额外的对偶原理：3.14 命题集合上的余簇的对偶等价于集合上的簇。证明通过逆变幂集函子 J范畴Setop是集合上的一元。假设V：Coalg（F，）设为（UM）op和J的合成。我们需要证明V是一元的。 由于V有一个左伴随和创建限制，它的表面上证明，V创建余均衡器的同余关系（=核对）。设r，s：（C，αC）→（D，αD）是一对Coalg（F，M）-态射，使得Vr，Vs是一个同余关系，[8]注意，在Coalg（F）中，同态像由（普通）满射给出，而子代数的嵌入是正则单射。ADA'MEKANDPORST42→→设q：PJ（D）→X为其余均衡器。由于PJ表示同余关系并建立了它们的余均衡器，所以存在唯一的集同态QJ：D→XJ，其中PJ（QJ）=q，这是同余关系UMr，UMs的余均衡器.如果XJ=1，则这甚至将是分裂的协均衡器，使得UM从其创建r，s的协均衡器。剩下的情况XJ=Xj是平凡的：Xj上唯一的F-余代数结构显然完成了这项工作。✸3.15 说明1.余方程及其满足在集合上的余代数的情况下有以下简单的解释：定义，对于每个“余项”x ∈ X i，余方程[ x ]作为以下嵌入Xi\{ x}<$→ Xi.一个余代数（C，α C）满足[x] i ∈ x不位于f i：CX i的像中，对任何着色f：CX。这些是所有需要的余方程：我们可以用任意的余方程m：M→Xiby是c o方程组{[x]|x∈Xi\m[M]}.2. F-余代数的余簇的各种概念--均限于此情形集合上有界内函子的性质（因此，是一个变量--见第4节）--已经在文献中讨论• Alg（F）闭子范畴余积、子余代数和同态象（[20]）。• Alg（F）中的射影类余自由余代数的子余代数的嵌入集合（[13]）.• Alg（F）中的射影类正则内射余代数的子余代数的嵌入集合（[14]9，[7]）.定理3.12（与注3.2有关）特别表明，如果专门用于有界集函子，它们都等价于这里引入的概念。3. 在[10]中出现了一个更复杂的余方程概念;这可能与上面的概念不等价。4集函子的性质对于某个正则基数λ，λ-链的上极限（或者等价地，λ-过滤上极限）的集合的每个内函子F是一个2.11的变元这样的函子称为可访问的，参见[19]。一个可达函子也是一个协变量，如M所观察到的。巴尔[9]。一个不同的标准是由于Y。Kawahara和M. [2017 - 05 - 17][2017 - 05][2017 - 09 这里，正则内射性被称为扩张性质ADA'MEKANDPORST43∈≤→（X，x）→→→→∅∈存在无限基数λ使得对每个F-余代数（C，αC）和C的每个元素x存在余代数同态h：（D，αD）（C，αC）其中x h[D]和卡片D λ。我们将证明这一点，然而，是等价的可达性和两者都相当于F是小的，即，hom-functors的一个小余限4.1 定理对于集合的闭函子F，下列条件是等价的：(i) F小;(ii) F是可访问的;(iii) F是有界的。普罗夫特岛首先假设给定的内函子F保持有限相交（即，monomorphisms的回调(iii)=（i）：对于上述基数λ，设D是所有对（X，x）的（本质小的）范畴，其中X是基数≤λ且x∈FX的集合，态射f：（X，x）→（XJ，xJ）所有函数f：XJ→X满足Ff（xJ）=x。证明了F是图V：D→[Set，Set]的上极限，其中V（X，x）=hom（X，-），上极限上锥f（X，x）有分支Y（X，x）：hom（X，Y）→FY，q−→Fq（x） 为所有 q：X→ Y。也就是说，我们证明对于每个集合Y，(a) 映射fY都是表形的，(b) 当fY（q）=fYJJ（qJ）则q与qJ通过Z（X，x）（X，x）在由Y处的评估组成的V的元素的图evalY：[Set，Set]→Set。证明（a）：给定y∈FY，对于余代数（Y，const（y）），存在同态h：（D，α D）→（Y，const（y）），其中卡D≤λ，满足D/=λ，如果Y/=λ。若Y/=αchoosed0∈D，则（D，d）∈D，其中d=αD（d0）Y（D，d）（h）=F h（αD（d））=const（y）·h（d）=y.案例Y=是平凡的，因为（Y，y）D。（b）的证明：我们有Fq（x）=FqJ（xJ），对于某些q：X Y和qJ：XJY.因子q作为满射e：XZ后跟单态射m：Z Y并设z=Fq（x）;类似地，eJ，mJ和zJ。通过抑制，F保持拉回u P，uJZSJ、、、m，，vzZJvzsJmJYFFADA'MEKANDPORST44× ≤ ×≤∈≤⇒⇒→⊆P等式Fm（z）=Fq（x）=FqJ（xJ）=FmJ（zJ）因此保证存在p个FP，其中z=FU（p）且zJ=FuJ（pJ）。并且由于卡P卡（Z ZJ）卡（X XJ）λ2=λ，我们得到D的一个对象（P，p）具有态射（X，x）<$q−（Z，z）→u（P，p）<$u−J （ZJ，zJ）→q（X J，xJ）形成所需的Z字形。（i）=（ii）：每个（ii）(iii)设F对某个正则基数λ保持λ由于每个集合都是基数小于λ的所有子集的λ（1）给定集合C和T<$FC，有卡片T λ，存在子集m：B <$→C用卡片B λ和TFm[FB]。我们证明了F是有界的：给定（C，αC）和x∈C，通过transfinite归纳法定义基数小于λ的子集的λ<• {x};• 给定Bi，将（）应用于T=αC[Bi]，得到mi+1：Bi+1→C，其中mimi+1，αC[Bi]Fmi+1[F Bi+1]，和卡Bi+1<λ;• 给定一个极限序数i，定义Bi=J I Bjc ar dBj<λ对于所有j
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