基于NURBS的空间自由形状几何逆重建算法研究

沙特国王大学沙特国王大学学报www.ksu.edu.sawww.sciencedirect.comJournal of King Saud University基于NURBS的自由曲面几何逆重建Deepika Saini*，Sanjeev Kumar，Tilak Raj Gulati印度理工学院数学系，Roorkee，247667印度接收日期：2014年6月17日;修订日期：2014年11月18日;接受日期：2014年12月14日2015年11月12日在线发布摘要本文提出了一种基于非均匀有理B样条（NURBS）模型的空间自由形状（曲线和曲面）的几何反求算法。特别地，NURBS模型用于恢复关于所需形状的空间信息。一个优化问题，制定适合NURBS的数字化数据的在优化过程中，控制点和权重被视为决策三维形状重建问题被简化为包括控制点的立体重建和相应权重的计算的问题。使用第三图像获得两个图像中的控制点之间的对应关系通过对合成图像和真实图像的实验，验证了该算法的有效性与基于点的方法在各种类型的错误方面进行了比较©2015作者。制作和主办由爱思唯尔B.V.代表沙特国王大学。 这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍空间曲线在现实世界中各种物体的构造和设计中起着至关重要的作用。基本曲线（直线和二次曲线）很容易用代数方程解释然而，在自由形式形状（具有螺旋形状，*通讯作者。联系电话：+91 01332 285824。电 子 邮 件 地 址 ： sainddma@iitr.ac.in （ D.Saini ） ，malikfma@iitr.ac. 在（S. Kumar），trgorfma@iitr.ac.in（T.R.Gulati）。沙特国王大学负责同行审查制作和主办：Elsevier一些生物物体的形状，一些手工艺品的边缘，涡轮机和飞机叶片等）。目前，工程设计和图形学的各个学科都在广泛应用自由曲面造型。在这样的系统中，非均匀有理B样条（NURBS）（Piegel和Tiller，1995）用于表示自由形式的形状。NURBS被广泛接受的一些原因如下：NURBS表示一种数学形式，它解决了分析形状的问题，例如，直线、二次曲线等，以及自由形式的形 状 。 因 此 ， 基 本 形 状 和 自 由 形 状 都 可 以 用NURBS精确表示NURBS在仿射和透视投影下具有形状不变性。NURBS是B样条曲线和Bézier曲线的推广形式。http://dx.doi.org/10.1016/j.jksuci.2014.12.0101319-1578© 2015作者。制作和主办由爱思唯尔B.V.代表沙特国王大学。这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词三维重建;自由形状;非均匀有理B样条;透视投影;二次规划问题●●●基于NURBS的自由曲面117图1 NURBS曲线的例子：一条有五个控制点的2D曲线和一条只有十三个控制点的复杂螺旋线NURBS提供了设计各种形状的灵活性。这可以仅通过调整控制点及其对应的权重来完成。计算机视觉中的挑战性问题之一是由于以下原因使用其一个或多个透视图来恢复3D对象：自由形式的形状并不总是平面的。这些形状在透视投影下不是不变它们的形状比平面形状复杂。在不同的视角下，存在着多重对应关系。所提出的研究的主要贡献是朝向压缩重建的自由形式的形状从任意的透视投影。特别地，所提出的算法包括以下主要步骤：(i) 从透视图中的数字化数据拟合NURBS的两步线性过程。(ii) 使用第三视图建立NURBS控制点之间的对应关系。(iii) 通过从拟合的2D NURBS形状估计控制点及其相 应 权 重 ， 在 3D 空 间 中 重 建 所 需 的 自 由 形 式NURBS形状本研究是我们以前工作的延伸（Saini和Kumar，2014）。我们已经扩展了我们的自由曲线以及曲面的想法。所提出的方法具有许多优点，标准的三角形为基础的技术（Faugeras，1993年）。这里，重建可以在一般立体声框架中而不是在特定模型（矫正立体声设置）中完成。控制点及其相应权重的计算给出了更好的近似。利用NURBS在透视投影下的不变性，建立了针孔摄像机模型与标准的基于点的三角剖分方法相比，控制点的重建极大地降低了所提出算法的复杂性（Faugeras，1993; Xiao和Li，2005）。最后，给出了实验结果，验证了该方法的有效性.2. 先前工作在本节中，我们总结了现有的工作在文献中有关的重建自由形式的形状在空间。作为射影几何在计算机视觉和图形学中的一个应用，三维自由形状的重建领域正在不断发展然而，现有文献中的大部分工作集中于线和二次曲线的重建（Balasubramanian等人，2002，2003;Kanatani和Liu，1993; Kumar等人，2006; Quan，1996;Sukavanam等人，2007年）。在这方面的现有工作是基于点对应或分析公式。Xie（1994）和Xie andThonnat（1996）提出了一种基于解析公式的二次曲线重构方法。然而，他们的方法并没有解决唯一重建的问题。Balasubramanian等人（2002，2003）提出了一种从三个透视图唯一重建二次曲线的方法。首先，他们从直线和曲面（圆锥体）的相交处找到了所需曲线的解决方案，然后使用第三个视图来确定唯一的反射。Kanatani和Liu（1993）发展了一个利用正交投影推断空间二次曲线几何的计算程序Kumar等人（2006年）和Sukavanam等人（2006年）（2007）提出了一种利用几何实体的交来实现代数曲线唯一表示的方法。他们提出的方法的优点是适用于平面和非平面曲线的重 建 ， 而 Balasubramanian 等 人 （ 2002 ） 和Balasubramanian等人（2003）仅用于平面曲线。Quan（1996）使用两个透视视图解决了二次曲线的匹配问题在他的方法中，还讨论了一种独特的解决方案，即使用与●●●●●●●●●118D. Saini等人图2用NURBS方法从透视立体图中重建自由空间曲线二次曲线Kahl和Heyden（1998）证明了对极几何可以用两个图像中相应二次曲线的基本或本质矩阵来解释。Wong和Chung（2003）发现了一种匹配对象的方法，并使用其两个视图重建3D结构。该方法利用了物体点之间的拓扑关系和物体表面的平面性约束Ma（1993）提出了一种重建三维代数曲线的封闭形式解。然而，该方法仅适用于平面曲线。在非平面曲线的情况下，该方法被切换到运动恢复形状而不是立体。在An和Stereo（1996）中，提出了一种Peng等人（2012年）提出的算法使用输入图像序列进行重建过程。所提出的算法实际上是基于与投影深度图相关的推论，该推论指出，对于任何一对3D点，深度可以被理解为线性因子。Yang等人（2005年）提出了一种新的公式来获得2D在3D空间中的对称图案从其校准的透视图像。Kahl和August（2003）提出了一种使用多个图像来找到对应并恢复3D曲线许多应用需要可应用于各种领域的表面重建，CAD模型、计算机动画等的逆向工程技术（Koch等人，2000; Salman and Mansor ， 2013 ） . Salman 和 Mansor（2013）提出了一种逆向工程技术的研究，以在CAD系统中从物理模型生成自由曲面模型。 Weng等人（1988）发展了一种从两个视图进行平面重建的封闭形式解。Koch（1995）提出了一种立体场景分析系统，用于从立体图像序列中建模3D对象。在Koch等人（2000）中提出了一种自动重建方案，用于从一组输入图像建模3D对象。这种自动化的计划没有使用所需的对象，除了它的刚度的任何先验信息。Shu和Roth（2003）提出了一种恢复无纹理表面的3D位置的基于NURBS的自由曲面119表1用于实验研究的合成曲线和曲面生成中使用的方程和各种参数实验号生成方程1（图 四、：X¼linspaceZ¼1毫米2002年-2月2日; 11日Þ121>XYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYY¼linspace 100 - 2;2;11毫克Z¼12214（图第八章）沿X;Y;Z轴X¼linspace 2002年-2年;2年; 20年Þ400>0：160上述二次规划问题的最优解保证了正权，这是NURBS拟合的必要条件。1/1第1页和曲线（Farin，1992; Piegel，1991）。 1D PrimitivesQ基于NURBS的自由曲面125- 你好-你好ðÞ6475112356899zW1zw1/4;21/4：2ΣΣ通过第二摄像机O2的COP和控制17WWW4.1.2. 控制点一旦我们计算了权重，控制点可以从等式中获得。（9）将W的值代入。我们使用这种方法在两个图像平面上拟合NURBS曲线和曲面，给出了控制点集及其相应的权向量。NURBS曲线的拟合与NURBS曲面的拟合没有实质性的不同。同样的方法也适用于数字化数据的NURBS曲线拟合。为了证明这种拟合策略，NURBS曲线拟合，从41个数据点具有4阶，和13个控制点。这个空间曲线（椭圆 ） 的 方 程 被 认 为 是 x<$5×3cost -2sint;y<$4-2cost3sint 和z<$0：82 0：02 cos t 0：02 sin t，其中t从0到2 p变化。使用如下给出的投影矩阵将该曲线投影到左图像平面上：(i) 左侧（第一）图像I1中的像素位置。(ii) 右（第二）图像中的像素位置I2.(iii) 第三视图平面中的像素位置（用于唯一性的附加约束）(iv) 与成像设备及其透视几何形状相关的参数：f1;f2;xd;yd;zd和针对i1;2; 3的xa i;bi; ci。设Px w; y w; z w是3D空间中所需形状的NURBS表示中的控制点，且p1X1;Y1是它在第一个摄像头中的图像根据NURBS的透视不变性属性，p1必须是第一个相机中所需3D曲线或曲面图像的NURBS表示通过第一相机O 1的投影中心（COP）和点p1的线O 1 p 1的方程被给出为：公司简介210003X1¼Y1¼f1/4k1： 170T L¼010第0章：001 1节点序列取为1/2 00 0 0101010101010 1010 101111]。然后，B样条基此 外 ， 共 线 性 方 程 （ Balasubramanian 等 人 ， 2002;Balasubramanian等人， 2003年），对于这些点，给出如下：X1¼f1xw;矩阵由下式给出：2100···03Y 粤ICP备18018888号-1类似地，取点p<$X;Y<$作为P<$x;y;z<$的像，第60章：42190： 49610：0794···07.....22 2WWWB1/4 6。... .第二个摄像头。直线O2p2的方程通过4000···1541×13并且矩阵M被给出为：20：0222 - 0： 0601 0：0746···0： 00013点P2可以很容易地写为：Xfxw-xdcosa1yw-ydcosb1zw-zdcosc12xw-xdcosa3yw-yd cosb3zw-zd cosc3Yfxw-xdcosa2yw-ydcosb2zw-zdcosc22xw-xdcosa3yw-yd cosb3zw-zd cosc3ð19Þ2019 -06- 2600：00：00·· ·-0：00036 7.....从这两个2D点p<$X;Y<$和p<$X;Y<$，2019- 07-2200：00：点Px;y;z可以通过以下项的交集重建：四六。... ..75线O1p1和O2p2。通过这种方式，我们获得了所有的控制权。的NURBS表示所需的点三维曲线或曲面。对于这个重建在求解QPP（Eq. （16）），获得以下权重向量：三维NURBS曲线或曲面，则使用第三个视图，这将在以下小节中描述。电话：+86-021 - 88888888 一点零零七 0：9994 0：9912 0：9965 一点零八八 一点一四八 一点零一一八分 一点零三分0：9893 0：9868 一点零零九 1：0113]1×13然后，使用等式（1）计算以下控制点P1：（9）：10： 0000 9： 5342 8： 0096 4： 9791 2： 4464 1： 3955 2： 1413 4： 3203 7： 1358 9： 6140 10： 8467 10：4783 10： 00002019 - 02-29 00：00：00五点二七○一八点零六三十三分九点五六二三九点二二五○七点二八一二2019 - 05- 15 00：2×134.2. 三维空间中自由形状重建的详细过程重建过程的成像设置如图所示。 二、为了从其任意透视图重建3D空间中的自由形式形状4.3. 控制点为了实现三维曲线的唯一重构，需要建立为此，使用了称为第三视图的附加约束。 设I3为第三幅图像，它由像素坐标集X3i;Y3in组成。在这里，我们再次使用两步线性1.111222电话：021 - 88888888传真：021-8888888813×13126D. Saini等人6¼ð Þ¼ ¼¼7ΣΣ方法进行NURBS拟合，并获得第三视图中的控制点。假设图像平面I1和I2分别具有Ni<$1和Nj<$1个在这里，i¼ 1;.. . ;n128： 000040：8000和j 1;. n2和 n1; n2属于自然数集合。任意选择两个控制点，从每个控制点（第一和第二图像平面）中选择一个，并找出对应的3D点。然后，将该空间中的重构点投影到第三图像平面I3上。如果投影控制点与第三图像平面中的任何控制点具有某个阈值，这意味着相应图像平面中的两个控制点的对应性，如果不对应，则取另一个控制点并对所有控制点重复上述过程。一旦在任何一对控制点之间建立了对应关系，继续搜索。对所有控制点重复此过程。对于计算模拟，考虑了在算法1中解释表面重构算法。算法1. ：曲面重建算法输入：两个图像平面中的数据点Dx和Dy参数：节点向量和B样条基函数在两个参数方向上的次数在一个参数方向上计算归一化B样条基函数B1，在另一个方向上计算归一化B样条基函数B2fori =1 ton1 doforj =1 ton2 do端端B¼Bi;jB1 ×B2使用等式计算M。（十四）使用Quadratic从M·W0计算权重W规划问题计算两个图像平面中的控制点P，.最小化WT MT MW受W>0.D·B·W¼B·PXX使用第三透视图使用三角剖分和权值计算在3D中重建控制点Dy·B·W¼B·Py以空间曲线（椭圆）为例，演示了NURBS曲线拟合的三维重建过程。成像设置的参数取为：xd20;yd0;zd 0。 在第二（右）图像平面中获得以下控制点：使用三角测量（第4.2和4.3节），获得控制空间中所需曲线（椭圆）形状的以下点8： 000030： 800053×13空间曲线（椭圆）的原始和重建控制点的图示如图3所示。对于定量分析，使用所提出的算法计算平均值、最大值和标准差（SD）值，并与经典的基于点的方法进行比较（Xiao和Li，2005）。这些值分别为0： 0024 0： 2185; 0： 0155 0： 3700和0： 0033 0：2090，&&&（值以所提出的基于点的方法的方式给出）。&因此，所提出的算法重建的形状相当准确。5. 结果和讨论5.1. 定性结果所提出的方法被实施，以重建各种自由形式的形状（曲线和曲面）。对于实验研究，真实图像以及合成图像被用作算法的输入重建算法的代码是在MATLAB和计算机上开发的，2.53使用具有3.0 GB RAM的GHz Intel（R）I3处理器进行计算。关于生成输入数据的细节在表1中给出，而每个实验的结序列在表3中给出。所有这些合成形状的原始3D图如图1A和1B所示。 4-8（a）. 执行重建结果的整个过程如下所述1. 通过使用投影矩阵（如表2所示）投影合成3D数据点，2. 在两个视图中对这些投影数据点执行NURBS拟合以获得控制点。拟合后的NURBS曲线和曲面如图1和图2所示。4-8（b）和（c）。3. 使用第三个视图建立两个图像中控制点之间的对应关系（图4 -6（e）和图 7和8（d））。4. 使用三角剖分重建所需形状（曲线或曲面）的NURBS表示的控制点。此外，为每个重构的3D控制 点 分 配 适 当 的 权 值 ， 以 生 成 空 间 中 完 整 的NURBS曲线和曲面。这些在图1A和1B中示出。4，reffig5，6（d）和图7和8（e）。电话：+86-10 - 8888888传真：+86-10-88888888电话：+86-21 - 5555555传真：+86-21- 55555552×13七点五八六一六三一八3：95651：97981：15151：79703：6676六点零四四十五分八点零二分八四七一八点四二二五2：0000两点六二二九四分之一千六百零七六点三八七分七零七四七点六一二七六点一千三百三十二分3：84031：60980：29260：38631：3672二点零一分基于NURBS的自由曲面127不[001 pdf 1st-31files][001 pdf 1st-31files]图9真实立体图像的曲线重建结果：（a和b）导线的真实立体图像;（c和d）优化控制点的NURBS拟合结果;（e）3D重建曲线。从图中可以看出。图4 -8表明，所提出的算法在所有情况下都给出了可接受的重建形状。不仅对曲线，但所提出的算法是同样有效的曲面重建。因此，所有的实验给出了一个适当的定性验证所提出的重建方法。使用标准的基于点的重建方法（Faugeras，1993），重建的3D曲线如图5（a）所示。图5（a）示出了这些重建点的线性插值，这使得很容易可视化曲线的恢复形状。恢复的3D曲线既不平滑也不准确。相比之下，使用所提出的算法，得到的图如图所示。 5（b）.图图9和图10示出了基于真实数据的重建结果。在两个立体对中，用数码相机获取图像。这些捕获的图像被用作重建算法的输入 图图9表示3D空间中的线的边界的重构结果。输入立体图像在图9（a）和（b）中示出。对这些图像中的数据进行数字化和采样以获得数据点。这些采样数据用于拟合NURBS表示并获得控制点（见图9（c）和（d））。在图9（e）中示出了线的重建的3D边界。考虑另一个实验，其中已经捕获了3D血管的立体图像，其在图1中示出。 10（a）和（c）。研究的目标重建的表面如图所示。 10（e）.在定性分析中，我们测试了所提出的算法的鲁棒性。为了实现这一点，我们添加了高斯噪声零是说和不同标准偏差r0： 6 0： 6与两个视图中的数字化数据点，其中数据取自1号实验（参见图4）。这些数据点受到干扰，噪音在两个视图中。使用所提出的重建算法，得到的重建结果如图所示。 11（a）. 重建曲线的投影分别如图11（b）和（c）所示使用类似的策略来测试表面情况下的鲁棒性（参见图12）。在这种情况下，具有零均值和变化标准的高斯噪声将偏差r0： 4 0： 4T添加到两个视图平面中的数字化数据点中（参见图7）。图12（b）示出了通过所提出的算法重建的表面，而图12（c）表示使用基于点的参考系统Xiao和Li（2005）的重建结果。因此，所提出的算法在输入立体图像中可能存在可测量的噪声量的表面的情况下也表现得更好5.2. 定量结果这里用于计算重建误差的标准是重建形状（在重建区域中）和地面真实形状之间的最近点距离（CPD），其反映了两个形状的接近度。我们计算了CPD，并在各种表格中列出了这些误差。每个表包含CPD的一些统计数据128D. Saini等人图10真实立体图像的表面重建结果：（a和c）立体图像;（b和d）优化控制点的NURBS拟合结果;（e）3D重建表面。在不同噪音水平下的平均值、最大值及标准差。表格第二行中列出的数据是基于点的重建结果（Xiao和Li，2005），用作比较研究的参考系统在实验1（图4）的情况下，重建误差的定量测量列于表4中。在实验3（图7）的情况下，表面重建误差的定量测量列于表5中。表4中的数据表明，所提出的重建方法的性能优于基于点的重建方法（Xiao和Li，2005）。在此声明的支持下，所提出的（基于NURBS的）重建误差小于基于点的（Xiao和Li，2005）重建结果。此外，该方法实现了几乎相似的重建结果的情况下，当采样间隔的图像曲线是不固定的。表5中给出的分析对于表面得出相同的结论，但是表面所提出的算法的重建结果随着图像表面的采样而变化。但是，它不会影响重建曲面的质量。注意，在每个表中，e3d、e2dl和e2dr分别表示3D、左图像平面和右图像平面中的误差，并且每个列向量以降序合并平均值、最大值、SD的值。使用类似的标准（见表6和表7）对噪声数据情况下的重建误差进行定量分析。表6表示实验1（图4）的定量噪声数据情况下的重建误差而表7表示表面的定量分析（实验编号： 3（图（7）反射误差。表8表示不同曲线和曲面情况下的重建误差。可以看出，在存在不同量的噪声的情况下，所提出的算法的重建误差相当小。在分析结果时，我们观察到，在曲线重建的情况下，实验中较强噪声的诱导没有表现出2D和3D重建误差快速增加的迹象，如表6所示。表7显示了采用所提出的算法进行3D重建的误差。●●基于NURBS的自由曲面129图11实验编号中一组31个数据点的重建结果 1（图图4）：（a）来自损坏的立体投影的3D重建曲线;（b和c）4（a）中的曲线的损坏的立体投影和重建曲线的反投影。图12实验编号1000000中一组121个数据点的重建结果 3（图 7）：（a）3D初始表面;（b）存在噪声的重建表面;（c）基于点的重建表面。130D. Saini等人表5实验一的曲面重构误差。3.第三章。方法rt¼0：1tint基于nurbs2019 - 05 -2500：00：003d00：08731rt¼0：2tint@Ae¼ 0：59803d00：13821rt¼0：3tint@Ae¼ 0：69523d00：14711e2dl¼0：24420：23120：3315e2dl¼0：2518@A0：25550：23820：2519@A0：1015@A0：4823e2dl¼0：1263@A0：6028e2dr¼0：24620：5283e2dr¼0：19810：55300：19990：2842e2dr¼0：1289@A@A@A0：56072017年10月 18日星期一基于点电话：+86-10-68353d00：26681@A电话：+86-10-888888883d00：28671e2dl¼0：29260：28380：6597@A电子邮件：in