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9681我我径向畸变三角剖分祖扎娜·库凯洛娃视觉识别组,FEE,布拉格kukelova@cmp.felk.cvut.cz维克多·拉尔森苏黎世联邦理工学院计算机科学系viktor. inf.ethz.ch摘要本文提出了第一个最佳的,最大似然,解决三角测量问题的径向畸变相机。所提出的两视图三角剖分问题的解决方案,最大限度地减少了在扭曲的图像空间中的重投影误差的n2我们投的问题作为搜索校正失真的图像点,我们使用拉格朗日乘子公式施加对极线约束的未失真的点。对于单参数除法模型,该公式推导出一个包含五个未知量的五个四次多项式方程组,可以使用G ro¨ bner基方法进行求解。 而所提出的Gr o¨ bner基解是可证明的最优解;但对于实际应用来说太慢。因此,我们开发了一个快速迭代求解器来解决这个问题。大量的实证测试表明,迭代算法几乎每次都提供最优解,从而使其成为事实上的102-最优算法。它本质上是迭代的,但在实践中,它在不超过五次迭代中收敛。我们彻底评估所提出的方法在合成和真实世界的数据,我们表现出的好处,在扭曲的空间中的径向失真的存在下执行三角剖分。1. 介绍用现代计算机视觉的说法,要对一个点进行三角剖分,给定n≥2个摄像机投影矩阵{Pi}n,原始图像未失真图像图1.水平集的重投影误差在失真和未失真的图像。上图:首先对图像进行去失真处理,然后进行三角测量(例如: 使用[25])最小化未失真图像中的误差。由于非线性失真,这不会使原始图像中的任何有意义的成本最小化。下图:所提出的方法反而最小化了原始图像中的102误差。满足等式(1)对于所有的xi.因此,对于有噪声的数据,三角测量问题变成找到适合等式中的约束的点X的优化问题1什么是“最佳”拟合必然取决于输入数据和手头的计算资源。然而,已经表明[13],假设图像测量上的独立高斯噪声,三角测量问题的最佳最大似然解是3×4ni=1最小化重投影误差的范数。Pi∈R,一组像点{xi}i=1,xi=2[x,y,1]n- 是找到X∈R4,使得αixi= PiX,i = 1,. . . ,n,αi∈R,(1)即,使得点xi是点的投影X使用投影矩阵Pi[14]。对于无噪声的场景,三角测量问题是线性代数中的一个平凡的练习然而,在存在噪声的情况下,从照相机中心发出的通过图像点xi的n条射线通常在3D空间中不相交,即,没有3D点X由于三角测量是许多大型计算机视觉方法和系统,过去已经提出了大量用于解决该问题的算法。三角测量方法的分类可以沿着几条线建立:这些方法可以在它们能够处理的视图的数量上、在目标函数(代数的、重投影误差)的形式上、在它们测量误差的方式上(λ2-范数、λ∞-范数、λ1-范数)上、或者在它们用于计算结果的优化方法上变化。三角剖分问题最简单的解决方案之一是线性最小二乘法[14]。该方法提出天真9682快速且容易扩展到多视图情况,然而,该方法不能保证最优解决方案,并且易于出现缩放问题。通常,由线性最小二乘法或基于范数最小化的方法[12,19,17]提供的解被用作最终与其他相关参数一起优化的非线性细化方法的初始化。这种方法属于所谓的光束法平差[29,2]。光束法平差是非常有效的,但它仍然是一个局部优化方法,需要良好的初始估计。不准确的初始化可能会导致方法陷入局部最小值。近年来,大量的研究工作投入到开发全局最优三角剖分方法中。第一个最优三角剖分方法是由Hartley和Sturm [13]提出的。这种方法对于两个视图来说非常简单,其中问题简化为6次多项式方程的解。然而,它不能容易地扩展到更多的视图。在[18]中,Kanataniet al.介绍了一种两视图三角剖分问题的快速迭代解法虽然他们的解决方案可能会陷入局部最小值,但取决于迭代次数,Lindstrom [25]的方法的扩展通常会在两步中收敛到全局最优值。三视图的最佳三角剖分首次由Ste′ wenius等人解决。 [28]第10段。这种方法,像它的子扩展和加速[8,9,10]一样,通过搜索无约束成本函数的稳定点,使用求解多项式方程的高级代数方法来解决问题不幸的是,这些解决方案不仅对于任何实际应用来说太慢,而且实现也相当复杂。Kukelova等人[22]提出了一种快速的三视图三角剖分算法,然而,他们的方法只是一个宽松的公式,因此不能保证最优解。最后一组最佳三角剖分方法包括能够处理任意数目视图的算法,即,多视点三角剖分算法这些通常基于分支定界[12,1,26,16],或二阶锥规划[17,19,3]方法。所有先前提到的三角测量问题的解决方案都假设针孔相机模型(1),为了处理不失真函数,在存在径向失真的情况下进行三角测量的标准方法是首先不失真图像点,然后在不失真的点上运行三角测量方法。这意味着最新的然而,假设独立的高斯噪声的原始失真的图像测量,最佳的,最大似然解决方案的三角测量问题是一个解决方案,最小化的重新投影误差在失真的空间中的N2因此,现有技术的方法在存在径向变形的情况下不是最佳的。本文提出了基于最小化原图像空间重投影误差的范数的两视图三角剖分问题的第一种解法,即:扭曲的空间。这种方法是第一个最佳的,最大似然解决方案的三角测量问题的径向畸变相机。我们得出了两个解决这个问题的方法。第一种方法称为GBD,它是基于求解多项式方程组的Gro¨ bner基方法不幸的是,由于成本函数导致相当复杂的多项式方程系统,因此该解决方案对于实际使用来说太慢。因此,我们开发了一种迭代算法,称为ITD通过本文的其余部分。该算法在速度方面明显优于GBD。通过与理论上最优的GBD求解器进行大量的实验比较,我们发现ITD每次都能提供最优解,从而使其成为事实上的102-最优算法。它本质上是迭代的,但在实践中,它在不超过五次迭代中收敛接下来,我们正式介绍了径向畸变图像点的三角剖分问题。2. 径向畸变三角测量让我们将三角剖分形式化为在畸变图像空间中以2问题1给定1- 2之间的基本矩阵F第一和第二视图,并给出两个相应的扭曲模拟径向畸变。 如今,消费者图像点x⊤di=[xdi,ydi,1] ,i= 1,2,摄影以手机和广角为主动作摄像机(例如,GoPro型相机)。 因此,我-minimizef(x<$d1,x<$d2)=Σ22i=1<$xdi−x<$di<$,具有显著径向透镜畸变的年龄是相当常见的。在存在径向变形的情况下,投影⊤服从u(x<$d1)Fu(x<$⊤)= 0,等式(1)对于未失真的图像点其中rexdi=[xdi,ydi,1]校正失真图像αiu(xi)=PiX,i= 1,. . . ,n,αi∈ R,(2)其中u(·)是对测量的失真图像点进行去失真的非线性去失真函数。由于最先进的三角测量方法不能点,并且u(·)是未失真函数。注意,问题1使用基本矩阵F来公式化三角测量约束,而不是像投影方程(2)的情况那样使用投影矩阵Pi和3D点X,校正的失真图像点x≠diD29683⊤DiDiDi1122⊤ ⊤⊤d1d2d1d2i=1di和非失真函数u(·)。该公式不包含透视投影所需的划分,并直接导致多项式约束。基本矩阵F可以很容易地从Pi[14]和来自经校正的并且因此无噪声的图像点xdi的三角化点X以及未失真函数u(·)计算。形式上,问题1是函数最小化问题-受平等约束。用拉格朗日乘子法将原约束优化问题转化为无约束优化问题,即可求解这类问题。在问题1的情况下,这导致拉格朗日函数L(x<$d1,x<$d2,λ):我们不是指未失真的点,而是指在未失真之后满足对极约束的失真点补充材料中描述了双参数多项式失真模型的解。2.1. Gro¨bner基解方程(5)和(6)是在Lw的i v处获得的矢量方程。r. t.x的元素是i。因此(4)该系统可以用代数方法求解,如Gr o¨ bner基方法. 使用Larsson等人的自动发生器。[23]我们创造了一个多项式Σ2L=i=1 第一-xdi2n+2λ u(x≠d1)Fu(xd )、(3)方程(4)一般来说,该系统有20个解,生成的求解器执行线性elim。其中λ是拉格朗日乘子,引入常数“2”只是为了更容易地进行拉格朗日乘数理论告诉我们,如果f(x∈N,x∈N)是原始约束Prob的最小值在408×428的矩阵上进行初始化。 虽然这个解决方案是保证返回全局最优解(直到数值不稳定性),但它太慢而不能在实践中使用。但是,我们将在3.2节中使用它来验证结果我们的迭代方法在下一节中介绍。d1d2lem1,则存在λ使得(x,x,λ)为d1d2L(3)的稳定点,即, 一个所有L 的 偏 导 数 为 零 。 ( 3 ) 中 的 拉 格 朗 日 函 数 L(x∈d1,x∈d2,λ)是五个未知数的函数:四个图像点坐标x∈di,i=1,2和拉格朗日乘数λ。因此,为了找到L的所有稳定点,我们需要求解以下五个多项式方程组2.2. 迭代解在本节中,我们提出了一个迭代求解器,有效地解决了原始的ITD2-最优问题1-ITD求解器。首先,让我们表示<$xdi=S(xdi−x<$di),n1=Dxd Fu(xd2),(9)五个未知数:u(x))Fu(x)= 0,(4)n2=DxdFu(x ),(10)D12S(xd1−xd1)+2λDxd2S(x−x)+2λDxD2Fu(xd2) 为0,(5)Fu(x )的方式 为0,(6)现在,我们可以将等式(4)u(xd1−Sxd)Fu(xd−Sxd)= 0,(11)d2d2d2d1λDxλd1 Fu(x)d2)=λn1=1000 xd1、(十二)其中S是一个2×3矩阵,返回前两个坐标。λDxλFu(x<$ d)=λn2=λxd,(13)一个三维向量的nates,和Dx100d1Dxd是d21 2无失真函数u(x<$d1)和u(x<$d2)的梯度。由于其紧凑性和表现力,单参数分割模型[11]被广泛用于对径向镜头畸变进行建模,并且最近提出了基于该模型的许多不同的相机几何求解器[7,15,6,21,20,24,27]。在除法模型中,无失真函数u(·)具有以下形式问题1的成本函数可以重新表述为:f(x),x )的方式 为 2002年12月12日。(十四)所提出的方程(11)-(13)的迭代解遵循来自[ 25 ]的双视图三角剖分方法的思想。首先,令表示当前最佳ΣΣ⊤校正后的失真图像点的估计值<$x<$d1,x<$d2<$du(xdi)=xdi,ydi,1 +k(x2+y2)、(7)在第(k-1)次迭代之后。测量点x012D12196841d1d2其中,(xdi,ydi)是居中的失真图像坐标,k是失真参数。对于单参数划分模型(7),xdi,i = 1,2用作初始化。 在第k次迭代中,为了得到更新的估计,该算法开始于用当前最佳估计替换等式(12)-(13)左侧的最优点,DxdDxd 在(5)和(6)中,具有以下形式:k−1k−11DxX2Σ=1 02k1x10d1Σ,Dxx xΣ=1 0 2k2x10d2D1 ,xd2 。这就产生了表达式:将它们依次代入方程(11)。的、(8)更新的等式(11)是λk中的单变量多项式:d1012k1ydd2012 千2年其中,k1和k2是第一个的失真参数,.克好的。克kΣ第二摄像机和(xdi,ydi)是坐标。uxd1−S(λn1)Fuxd2−S(λn2)= 0,(15)矫正扭曲的图像点。注意,通过校正点,29685<)或(errkDD1D2D1D1D2D21122d11d22算法1ITD:迭代径向畸变三角剖分2.3.实现细节和运行时输入:基本矩阵F,图像点xdi=[xdi,ydi,1]畸变参数k1、k2、k 3、k 2、k3、k 4、k 2、k 3、k 4、k 2、k 3、k2、k3、k 4、k 2、k 3、k2、k 4、k 2、k 3、k 2、k3、k 4、k 2、k 3、k 2、k4、k 2,i= 1,2,⊤我们已经实现了迭代ITD求解器在C++。为了解决λ的更新,我们使用一元四次多项式的封闭形式解。与[25]类似,成本函数总是通过λ最小化,其中λ最小输出:校正点xdi=[xdi,ydi,1]解决问题1,i=1,2大小 要看到这一点,请注意,当我们取代(12)-(13)到(14)成本函数减少到一曰: 发现←0, k← 12:x0 ←xd, x0的←xdf(x)d1,x1d2)=λ2。nTn+nTn.(十八)d11d223:while(notfound)and(k≤maxiter)do4: nk←Dk−1Fu(xk−1),nk←Dk−1Fu(xk−1)考虑到这一点,我们构造了(15)的另一个求解器而不是完全解决四次多项式,每-1x100d1d22xd2d1形成从λ= 0开始的牛顿迭代。这通常5:λk←方程(15)的解,使得方程(14)最小化6: xk←λknk,xk←λknkΣ2收敛在少于五次迭代,并略快于解决完整的四次。请注意,我们不是在成本函数上执行局部优化,而是执行root优化对多项式方程(15)进行细化。第3.27:errk←xk8:xki=1didi←xd1−xk,xk←xd2−xk我们比较了这两种方法,并表明,牛顿-的求解器具有与四次求解器类似的性能9: 如果(k >1,则10:xd1,xd2←11:找到←112:其他13:k←k+ 114:如果结束15:结束while16、如果找不到|er rk−errk−1|1 2err. xk, xkd1d2Σ由于Lind- strom [25]中没有可用的实现,我们在C++中重新实现了该方法不同求解器的运行时如表1所示。请注意,我们的求解器(以及Lindstrom [25]的求解器)仅返回满足极线约束的校正图像点表1中的运行时间仅用于求解器,不计算3D点。第17章:一夜情,x⟩ ←xk−1,xk−1d1d2十八: end ifnkd1d2k−1表1.下表显示了以纳秒为单位的平均运行时间和1=Dxk−1Fu(xd2 ),(十六)1每秒三角测量的百万个点。nk=Dk−1Fu(xk−1).(十七)2x2d1对于单参数除法模型(7),方程(15)是未知拉格朗日乘数λk的四次多项式。这个多项式的根可以很容易地以封闭形式或使用数值方法找到。有关ITD求解器实现的更多详细信息,请参见第2.3节。从(15)的多达四个可能的解中,选择使成本函数(14)最小化的解。进一步,用该解计算了第k次迭代位移而xk使用等式(12)随后,新的当前估计值为xk,xk。它-3. 综合数据我们已经研究了所提出的迭代算法(ITD)的综合生成地面实况三维场景的性能。这些场景是通过首先在第一相机P1=[I]中生成2000个随机图像点来创建的|0]。这台相机的径向失真被设置为k =-0。3、焦距为f=1300px(分别为1750px),图像尺寸为3000 px×3000 px。这些设置大致对应于GoPro Hero4相机的宽(中)视野设置的参数。通过将点反向投影到从区间[2,20]中均匀选择的随机深度来创建相应的3D点。d1d2⊤我们我们Lindstrom(已关闭)(牛顿)[25日]单位(ns)119014152106点/秒0.847.119.29686根据两个自然标准停止:一旦关系,两次连续迭代的有效误差小于某个预定阈值,或者一旦误差本身小于某个预定阈值,注意,通过求解方程(15),我们在每次迭代中明确地强制极线约束。ITD求解器在算法1中形式化。然后将3D点投影到第二个相机其具有随机可行的取向和位置并且具有与第一相机相同的内部参数最后,对图像点加入标准差为σ的高斯噪声注意这里k=-0。3对应于应用于校准图像点的径向畸变参数,9687它ITD它ITD重投影误差1.51081621.81.60.50-0.01-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5420-0.01-0.1-0.2-0.3-0.4-0.51.41.21-0.01-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5径向畸变径向畸变径向畸变图2.针对不同径向失真、5%径向失真误差、1 px图像噪声的新ITD和IT [25]求解器的比较w.r.t. 3000 px× 3000 px图像大小,f= 1300px。 径向畸变k = −0。3大约对应于GoPro Wide设置。1100.881.41.30.661.20.40.200.10.512 5 104200.10.512 5101.110.10.512 5 10图像噪声图像噪声图像噪声图3. 新的ITD和IT [25]求解器对不同图像噪声的比较,k= −0。3、2%径向失真误差,3000 px×3000 px图像大小和f= 1300px。这些相机参数大致对应于GoPro Wide设置。这是表示径向变形的更常见的方式对于(7)中的未校准图像点,并且假设校准矩阵为K=diag([f,f,1]),这对应于径向失真参数k/f2。在第一个实验中,我们测试了新的三角剖分求解器的场景与各种噪声污染,不同的相机配置,不同的径向失真和不同的失真参数的错误。图2显示了我们的新迭代ITD求解器和最先进的IT求解器[25]针对具有不同径向失真的相机的结果在这种情况下,我们将1px噪声添加到图像点,并使用误差为5%的失真参数这模拟了实际应用中可能存在的校准误差。图2使用箱形图显示了IT [25]和ITD求解器在1000个不同场景上的3D误差、重投影误差和3D误差比率对于3D误差的比率,我们还显示了20%的点的结果,这些点经历了最大的扭曲(即。最靠近边界的点),以突出在扭曲的空间中执行三角测量的益处。可以看出,特别是对于较大的径向失真,我们的新方法明显优于最先进的IT求解器[25],其最大限度地减少了未失真图像空间中的202注意这里k=-0。3approximation对应于具有宽视野设置的GoPro Hero4相机。不同图像噪声污染的类似比较见图3,径向失真噪声的类似比较见图4。图4. 在这两个实验中,我们将径向失真参数设置为k=−0。3 .第三章。可以看出,通常,与IT求解器[25]相比,所提出的方法提供了更准确的3D点三角测量当我们考虑更接近图像边界的点时,改进甚至更大,这些点更容易受到失真的影响。来自这些实验的更详细的统计数据,包括中位数、平均值、新方法给出的3D误差小于[25]的点的百分比以及“20%边界点”的结果3.1. 距畸变中心的距离在第二个实验中,我们研究了三角化图像点到畸变中心(图像中心)的距离对三维三角化误差的影响。我们生成了10000个随机场景,类似于之前的实验,用于GoPro Wide 设置(f= 1300px)和GoProMedium设置(f= 1750px),图像噪声为1 px。在这两种情况下,地面实况径向畸变w.r.t. 对于校准的图像点,kgt=-0。然而,对于三角测量,我们使用畸变参数k = −0。29,以模拟校准中的误差图5显示了最新IT [25]和新ITD方法(即,3D误差IT/3D误差ITD)作为三角测量点的距离d1和d2xd1的函数xd2 从IM-老年中心。 这里w对应于图像宽度,在这种情况下是3000px。顶行显示Go-Pro Medium的结果,底行显示GoPro Wide设置的结果。它ITD所有点20%边界它ITD所有点20%边界3D误差3D误差重投影误差IT/ITD 3D错误IT/ITD 3D错误9688它ITD重投影误差2.5202151.41.31.510.5001 25102010500 125 10201.21.110 125 10 20径向失真噪声(%)径向失真噪声(%)径向失真噪声(%)图4. 新ITD和IT [25]求解器在不同径向失真噪声下的比较,k= −0。3、1像素图像噪声,3000像素×3000 px图像大小和f= 1300px。这些相机参数大致对应于GoPro Wide设置。3D误差中位数IT/ITD 3D误差均值IT/ITD3D误差1.61.6所有点的平均值中位数ITD0.1418 0.07031.51.41.31.21.11D11.61.51.41.31.21.51.41.31.21.11D11.61.51.41.31.2[25] 0.1529 0.0752IT/ ITD<71. honeymoon百分之四20%边界平均值中位数ITD0.2695 0.1357[25] 0.2810 0.1476IT/ ITD<67. honor 百分之九1.11D11.11D1[25] 0.8723 0.4762IT/ITD<79. honor 百分之三图5. IT [25]和建议的ITD方法(即,3D误差IT/ 3D误差ITD)作为三角测量点xd1和xd2距图像中心的距离d1和d2的函数,适用于GoPro Medium和GoPro Wide设置。在畸变空间中进行三角剖分的好处是显而易见的,特别是对于离畸变中心较远的点(即,已经历较大失真的点)。在此,对于某些点,最新技术方法[ 25 ]的3D误差大于1,该方法在未失真空间中优化了102重投影误差。比新ITD方法的误差大6倍。有趣的是,对于距 离 畸 变 中 心 相 似 的 点 , 即 。 d1<$d2 ( 图 中 对 角线),IT法[25]与ITD法差异不显著。在图5的最后一列中可以看到更详细的统计数据。注意,这里我们对大约16M个点进行了三角测量,但是,由于生成场景的方式,并非所有距离组合(d1,d2)都是相等的,因此这些图并不平滑。3.2. 迭代求解器在本节中,我们经验性地表明,所提出的迭代方法基本上总是收敛到全局最优解。为了进行实验,我们使用了第2.1节中的最优Gr o¨ bner基解算器。为了避免数值不稳定性的不正确的解决方案,我们对GBD求解器的解决方案进行了进一步的改进。对于实验,我们生成了与第3节类似的合成场景。我们将从GBD求解器得到的全局最优解与使用迭代方法ITD找到的解进行返回的解决方案中的差异如图6(左)所示在这里,我们比较了这两种方法解决四次方程(15),即。从λ= 0开始的四次和牛顿迭代的闭合形式求解器,如第2.3节所述。我们可以看到它ITD所有点20%边界02w/22w02w/22w02w/22w02w/22wGoPro WideD22w/23D误差GoPro MediumD22w/22w02w0D22w/2D22w/2002wIT/ITD 3D错误2w所有点是说中值ITD0.29460.1561IT [25]0.36370.1739信息技术/信息技术司1.15611.0503<77. honor百分之五20%边界是说中值96890的情况。30的情况。23二、8二、6三千两千0的情况。10−20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6二、4二、220 5 10 15 20噪声标准(px)一千010−1100101图6.(左)Log10距离全局最优值。(右)变化噪声水平所需的平均迭代次数。这两种方法都是非常稳定的,并且基本上总是收敛到全局最优解。图6(右)显示了不同图像噪声水平下收敛所需的迭代次数注意,即使对于大噪声三千两千一千图像噪声(px)等级(20像素)所提出的方法通常在少于三次迭代中收敛。0DLT(SVD)+LODLT(QR)+LODLT(Chol.)+LOMidp.+ LO它+LOITD3.3. 与光束法平差的在本节中,我们比较了在未失真图像中进行初始三角剖分,然后在失真图像中进行重投影误差的非线性图7显示了合成数据的运行时间比较,使用Levenberg-Marquardt进行非线性细化(最多5次迭代)。实验装置与第3节中的装置相似。在实验中,我们比较线性图7. 上图:噪声与图像噪声。底部:σ= 10px的运行时分布。21 .一、510的情况。5三角测量(DLT [14]),中点法(见[4,13])和[25]的方法我们还比较了不同的冰毒-010−1100101用于求解线性三角剖分中的线性最小二乘问题的ods;SVD(用于齐次参数化)和QR/Cholesky(用于非齐次参数化)。对于我们的方法(ITD)和Lindstrom的方法[ 25](IT),运行时间包括求解3 ×3线性系统以恢复3D点(大约需要200 ns)。 我们可以看到,我们的方法明显优于竞争方法。请注意,LM需要在每次迭代中求解一个3 × 3线性系统,即使在只运行两次或三次迭代的情况下也会显着变慢。 图8显示了局部优化后方法未能达到最优解的实例的百分比(我们认为当<$X− X<$X/<$X <$X> 0时失败。01)。4. 真实图像评价在本节中,我们将在真实图像上评估我们的方法我们考虑一组图像包含棋盘校准模式。这使我们能够为3D点位置提供可靠的地面实况在补充材料中,我们展示了对来自一般场景的图像的额外实验。4.1. 棋盘校准数据集该数据集包含使用GoPro Hero4相机拍摄的棋盘校准图案的图像。相机用于中等(26张图像)和宽(32张图像)视场设置(约94和122度水平)。图像噪声(px)图8.在5次迭代后未能达到最优解(虚线表示50次迭代)。图9.用于第4.1节中实验的棋盘图像示例。顶部:中等视野设置。底部:宽视野设置。萨格勒布视场)。使用[5]中的校准工具箱由于[5]估计了多项式失真模型,因此我们使用估计的相机姿态来重新拟合分割模型(7)校正的平均重投影误差分别为0.32px和0.41px图9中显示了一些示例图像。我们再次将ITD求解器与[25]中的IT求解器进行了比较,IT求解器在未失真的图像点上执行三角测量(即,在未失真空间中是最佳的)。对于每对图像,我们计算相对姿态并使用两种方法执行三角测量。结果示于表2和3中。我们还包括结果,ITD(已关闭)ITD(牛顿)Avg. num.的迭代DLT(SVD)+LODLT(QR)+LODLT(Chol.)+LOMidp. + LOIT + LO单位(ns)失败(%)单位(ns)9690它ITD它ITDITD IT它ITD它ITDITD IT0%的百分比0.07940.07930.06370.063552.0%0.12110.12050.09100.0908百分百百分之一0.09940.09710.07190.071260.5%0.17090.16990.12170.1213百分百百分之五0.27280.25630.14720.1416百分之七十七点七0.53070.52690.28810.2876百分百百分之十0.50050.47120.26320.253782.8%0.98650.97880.49530.4940百分百表2.中等视野设置下的棋盘格实验结果它ITD它ITDITD IT它ITD它ITDITD IT0%的百分比0.10200.10130.07480.0747百分之五十一点六0.19020.18530.14390.1407百分百百分之一0.17740.16030.10780.102668.0%0.36670.35490.25360.2496百分百百分之五0.72400.62550.37200.337583.7%1.45051.39700.83000.8151百分百百分之十1.40321.19670.72540.651288.1%2.88812.78001.62101.5905百分百表3.宽视野设置下棋盘格实验的结果它ITD它ITDITD IT它ITD它ITDITD IT0%的百分比0.13390.13190.09930.0966百分之六十一点二0.18560.18290.14100.1391百分百百分之一0.22600.20640.15510.144774.8%0.41580.40970.32940.3275百分百百分之五0.92820.80860.51850.4732百分之八十六点五1.70281.67831.31611.2907百分百百分之十1.69811.51761.12341.028888.0%3.11443.06662.51202.4858百分百9691表4.中等视野设置下的棋盘格实验结果前5%的最扭曲的点。它ITD它ITDITD IT它ITD它ITDITD IT0%的百分比0.23140.21620.17560.1725百分之六十一点八0.32730.30640.24410.2324百分百百分之一0.52220.41800.32720.2752百分之七十七点九0.88250.82790.75420.7164百分百百分之五2.23561.71821.30631.055388.1%3.95063.70373.26013.0760百分百百分之十4.57943.44052.62981.9991百分之九十点七8.13887.61616.38126.0055百分百表5.宽视野设置下棋盘格实验的结果前5%的最扭曲的点。我们模拟了失真参数中的误差。在表中,5%误差对应于从区间[0. 95kGT,1. 05kGT]。为了突出在扭曲空间中执行三角剖分的好处,我们还显示了5%的点的结果,这些点经历了最大的扭曲(即。表4和表5中分别列出了边界)。5. 结论本文提出了第一个最佳的,最大似然,解决方案的两个视图三角剖分问题的径向畸变相机。所提出的解决方案最小化的重投影误差在原始失真的图像空间中的N2-范数。第一个提出的Gr öbner基解,它搜索拉格朗日函数的所有驻点,然而,可证明是最佳的,它对于实际应用来说太慢了第二个迭代求解器实际上在不超过五次迭代中收敛到最优解,从而使其成为事实上的102-最优算法。我们彻底评估所提出的方法在合成和真实世界的数据,我们表现出的好处,在径向失真的存在下,在扭曲的空间进行三角剖分。致谢。Zuzana Kukelova得到了ESI基金,OP RDE计划的 支 持 , 该 计 划 是 在 CTU No.CZ.02.2.69/0.0/0.0/17050/0008025。Viktor Larsson获得了苏黎世联邦理工学院博士后研究员项目和Marie Sklodowska-Curie Actions共同基金项目的资助。3D误差[mm]重投影误差[px]是说中值是说中值3D误差[mm]重投影误差[px]是说中值是说中值3D误差[mm]重投影误差[px]是说中值是说中值3D误差[mm]重投影误差[px]是说中值是说中值9692引用[1] Sameer Agarwal , Manmohan Chandraker , FredrikKahl,David Kriegman,and Serge Belongie.实用的多视图几何全局优化。在European Conference on ComputerVision(ECCV),第1卷,第5922[2] Sameer Agarwal,Noah Snavely,Steven M Seitz,andRichard Szeliski.大捆调整。在欧洲计算机视觉会议(ECCV)中,第29施普林格,2010年。2[3] Chris Aholt、Sameer Agarwal和Rekha R.托马斯三角测量的QCQP方法。欧洲计算机视觉会议(ECCV),第654-667页,2012年。2[4] Paul A Beardsley , Andrew Zisserman , and David WMurray.导航使用仿射结构从运动。欧洲计算机视觉会议(ECCV),1994年。7[5] 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