基于竞赛选择的蚁群优化算法求解二次分配问题

工程科学与技术，国际期刊22（2019）673完整文章基于竞赛选择的蚁群优化算法求解二次分配问题IHaydarKılı，UgurYüzge计算机工程系，Bilecik Seyh Edebali大学，11210 Bilecik，土耳其阿提奇莱因福奥文章历史记录：2018年6月28日收到2018年10月16日修订2018年11月29日接受在线发售2018年关键词：赛事选择Antlion二次分配问题A B S T R A C T提出并发展了蚁群优化算法（ALO）的一个改进版本，即基于锦标赛选择的蚁群优化算法（QAP）。ALO算法存在运行时间长、局部最优解停滞和对某些问题的早熟收敛等文献描述了不同的方法，提高蚂蚁优化器的性能，但其中大多数是关于特定的优化问题。本文在ALO算法的随机行走机制中引入了锦标赛选择法，并对ALO算法中的一些方程进行了修正。为了比较所提出的基于锦标赛选择的ALO（TALO）算法与经典ALO算法，我们处理了十个基准函数。比较结果根据不同的指标进行评价，如平均最佳值、标准差、最优性、准确性、CPU时间、函数求值次数（NFE）等。对提出的TALO算法进行了详细的分析分别是收敛性分析、统计分析、搜索历史分析、轨迹分析、平均距离分析、计算复杂度分析。建议的TALO算法进行了比较，与其他ALO版本（二进制ALO和混沌ALO变种）相同的最后，对二次分配问题（QAP）实现了TALO算法. QAP的结果已与几个著名的元启发式算法进行了比较。TALO最后，通过QAPLIB网站上的实例分析了TALO算法求解QAP问题的解质量实验结果表明，与其他元启发式算法相比，TALO由于TALO算法的性能，我们希望这个版本适用于不同的优化问题。©2018 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍在数学和计算机科学中，元启发式算法在求解优化问题中发挥着重要作用近三十年来，元启发式算法得到了广泛的应用，遗传算法、差分进化算法、粒子群优化算法、人工蜂群算法、蚁群算法等元启发式算法，已经成为现实世界的优化问题的流行。一般来说，元启发式算法模仿自然界的一些机制，如动物的进食习惯，交配动机或狩猎技术[1，2]。一些最流行的算法是遗传算法（GA）[3]，*通讯作者。电子邮件地址：hairar.kilic@ bilecik.edu.tr（H. kılı），ugur.yuzgec@bilecik.edu.tr（U. Yüzge）。这篇论文以简短的形式发表在ICATCES 2018上。由Karabuk大学负责进行同行审查。粒子群优化（PSO）算法[4，5]，人工蜂群（ABC）算法[6-组合优化问题是计算机科学与应用数学交叉的研究领域之一数据分配，旅行商，装箱，设施布局，机器调度和二次分配问题的例子。二 次 分 配 问 题 （ quadratic assignment problem ， QAP ） 是Koopmans和Beckmann于1957年提出的组合优化问题之一。它被定义为一个设施分配问题。这些设施位于许多已知的地方，而且是费用最低的地方。在这个问题中，每个设施的成本之和是一般成本函数。在文献中，有几个工作解决QAP使用的元启发式算法。其中一些是：通过模拟退火算法[13，14]，遗传算法[15]，蚁群算法[16]，禁忌搜索算法[17]和粒子群优化算法[18]求解QAP。https://doi.org/10.1016/j.jestch.2018.11.0132215-0986/©2018 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestch674H. 克利厄湾Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673蚁群优化算法（ALO）由Seyedali Mirjalili[19]在2015年提出，是一种元启发式算法。蚁狮来自食蚁科的捕食性昆虫物种，其名称来自幼虫期有趣的营养物质ALO算法模拟了蚁群在幼虫阶段的捕食机制有五个主要步骤：蚂蚁的随机行走机制，建立陷阱，陷入蚂蚁有一些研究报告在文献中关于现实世界的优化实现或提高性能的ALO算法。这些是最优非凸和动态经济负荷[21]，PID控制器参数设计[22]，最优柔性过程规划[23]，互联电力系统的自动发电控制[24]，无人机的最优路线规划[25]，多目标最优发电调度[26]，确定IIR滤波器的最优系数[27]，特征选择问题[32虽然原始ALO算法对不同的基准优化问题都给出了有效的结果，但它在算法机制上存在一些不足。ALO算法的缺点之一是在优化过程结束时运行时间较长其原因在于其码结构中采用的随机游走模型。本文在改进TALO算法的基础上，提出了一种改进的ALO算法。我们将随机行走模型的距离改为最大迭代数/5。在Mirjalili的工作[19]中在求解极小化问题时，采用锦标赛选择法优于轮盘赌法。在极小化问题中，锦标赛选择法是一种比较有效的方法[28，29].出于这个原因，对于随机行走机制，我们更喜欢锦标赛选择方法而不是轮盘赌方法。此外，在蚁穴诱捕阶段，蚁穴周围的上下边界之间还出现了一些新的运动。这些移动使得蚂蚁在搜索空间中更有效地围绕选定的蚂蚁行走。在这项研究中，基于蚁群优化的锦标赛选择算法（TALO）的提出，以克服的缺点原始ALO算法在Mirjalili的工作中为此，提出的TALO算法的性能分析。从文献中，十个基准函数被用来评估所提出的TALO算法的性能。在比较工作中，TALO算法与原始ALO算法在最佳值的平均值、CPU时间、函数求值次数（NFE）最优性、精度度量方面进行了比较。对TALO算法进行了详细的建议的TALO算法也与其他ALO版本（二进制ALO和混沌ALO变种）进行了比较。本研究的主要目的是将所提出的TALO算法应用于QAP问题。在QAP实例上，将TALO算法与ALO算法、遗传算法（GA）、粒子群优化算法（PSO）和萤火虫优化算法（FOA）等著名的元启发式算法进行了同时，在相同的QAP实例中，与二进制ALO算法和混沌ALO算法的性能进行了比较。最后，我们提出了解决QAP的建议TALO算法的解决方案的质量使用QAPLIB中的一些例子。本文其余部分的组织如下：第二节简要介绍了二次分配问题的基本情况第三介绍了ALO算法的基本原理第4介绍了提出的TALO算法及其创新机制。在基准测试和QAP测试中，TALO算法的性能将在第5中讨论。最后一部分是结论和未来的工作展望.2. 二次分配问题二次分配问题（QAP）是由Koopmans和Beckman首次提出的。在解决这个问题时，主要目标是找到总分配的最小成本，Fig. 1. 二次分配问题（QAP）EðÞ¼6677.ðÞ¼¼ð Þ我我一E当且仅当Anti0： 50;ifrand≤0：5ð4Þ4. 基于锦标赛选择的蚁群优化算法为了保持蚂蚁本文通过对随机游走模型、搜索机制、选择过程的改进，发展了ALO算法Xt¼。Xt-ai。dt-ctbi-ai-1ctð5Þ等等在原始ALO代码中，随机行走机制使用最大迭代次数来生成蚂蚁其中i表示变量数的值，t是迭代次数，a代表随机游走的最小值（a¼minX），b为最大值的的随机walk（b max X），c表示围绕着十字点的动态极限的下限值，d是围绕着十字点的动态极限的上限值。一旦蚂蚁开始落入陷阱，蚁狮就会扔沙子来固定陷阱，并将它们滑向陷阱的中心。关于这种行为的数学模型如下所示：CtAntlionTCt6步行路线这对算法的运行时间不是有效的方法。为此，通过减少随机游走的大小，实现了对ALO算法的首次创新。我们使用n值作为等式中的最大迭代次数/5。（三）、因此，ALO算法的长运行时间被显著缩短。在蚂蚁滑向蚂蚁陷阱的阶段，以一定的滑动速度移向蚁穴我们对蚁穴和移位做了一些改进蚂蚁通过扔沙子。它由以下等式给出。ct<$Antliontct）iið Þdt¼Antliontþdt我dt¼Antliont dt7t我t t）iici 公司简介 - -dt¼ Antliont- dt如果 0： 5选择 0：75 13<buporAnttb<低ð16Þ评估所提出的TALO算法与原始ALO算法-Rithm。 所有的基准函数都包含不同的特性。其中，rand表示区间[0，1]中的随机数，表示搜索空间的下限，bup是搜索空间的上限。在元启发式算法中，选择过程用于从群体中选择更好的个体。如轮盘赌法、锦标赛选择法、截断选择法、线性排序选择法和指数排序选择法等。特别是对于最小化问题，锦标赛选择是最有效的方法[29，30]。在该方法中，在个体随机选择具有最佳成本值的个体使用四个指标，定义如下：最优性<$1-kc0-c^0k2½0;1]<$17k- k准确度：1/4- kx0-^x0k2/20;1]1/8 k-kN成为锦标赛的冠军该方法的参数是锦标赛规模，称为巡回赛。该参数可以是范围从2到人口数的值。在这项研究中，我们关注一个最小化问题，QAP，所以我们更喜欢锦标赛选择方法，而不是平均值 1cN1标准D eviatio nnnnnnnnnffiffibcffiffiffiffiffiffi-ffiffiffiffiffiMffiffiffiffieffiffiffiaffiffinffiffiffiΣffiffi2ffiffið19Þð20Þ在原始ALO算法中使用的轮盘赌轮选择方法。旅游规模被选为2。在锦标赛方法中，从总体中随机选择两个组，并且通过将总体大小除以锦标赛大小来找到每个组的大小。基于比赛选择的蚁群优化（TALO）算法算法2（TALO算法的伪码。）.1. 初始化蚂蚁的位置2. 计算蚁群3. 保存最好的蚂蚁和它的位置（精英蚂蚁）4.while（迭代最大迭代）5.对于（每只蚂蚁）6.使用锦标赛选择方法7.在陷阱中随机滑动行走的蚂蚁。（十二）-（十五）8.生成蚂蚁围绕精英蚂蚁的随机行走路线9.生成蚂蚁围绕选定蚂蚁的随机行走路线10.正规化随机游动11.计算蚂蚁的位置12.如果Ant不在搜索空间内，13.在搜索空间14.end if15.端16.计算蚂蚁17.对于（每只蚂蚁）18.如果蚂蚁的成本价值优于蚂蚁19.蚂蚁吃蚂蚁（更新蚂蚁的位置20.end if21.端22.更新精英蚂蚁23. end while其中，x0是搜索空间中的位置，c=x0=c0是优化问题的解，cx0=c0表示通过算法找到的候选解，c-和c表示c的上下界，-x和x表示最优化问题的上下界。搜索空间最优性度量给出了候选解的目标函数值与全局解的相对接近程度。精度度量定义候选解的位置与全局解位置的相对接近程度。MeanMetric表示平均解。CPU时间和函数求值次数（NFE）提供了有关算法运行时间的一些信息。用于比较工作的基准函数如表1所示。d表示基准数学公式中问题的维数。图2显示了本研究中使用的十个基准函数的3D图停止终止的两个标准已用于基准测试，一个是达到最大迭代次数，另一个如下所示：如果 jf best-fworstj VTR然后停止算法210<其中f best是最佳适应值，f worst是群体中最差的适应值，VTR代表要达到的值，该值用作10 e 6在这项研究中人口规模决定了作为优化参数（问题维度）的数量的10倍，并且我们将基准的维度定义为10。 在基准测试中，种群规模为100，最大迭代次数为1000。ALO和TALO算法均已运行50次。这些算法的代码已经在具有Intel（R）Core（TM）i7-6500 UCPU@2.50 GHz/8.00 GB RAM的PC上运行。在比较结果中，评估了四个指标，如平均最佳/标准差，功能评估（NFE）/CPU时间，最优性，准确性。TALO和ALO算法的10D基准测试的结果总结在表2中。从该表的平均最佳/标准差结果可以看出，所提出的TALO算法对于所有基准函数具有最佳性能NFE/CPU时间指标的结果我0. Σp1/1PPfx418： 9829d-6. p1Di¼1iD1/1Griewank函数10 [-100，100]ffx¼021/1我40001/1我我f4×10d×10 d× 10d×10 d×2- 10 cos× 2p×i在x×10;···;0时d-1灌.2Σ2282i¼1xi -16 xi 105xii¼1i1021/1我21/1我ffiXH. 克利厄湾 Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673-691677表1基准功能。功能范围解决方案Ackley函数fxxx x 1/4-20：ex p.-0：2 q100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001个Pd10[35，35]f×10× 10cos2pxi20exp1atx¼0;···;0F 2016年12月28日x2-Qd余弦1在x0;·· ·;00处Levy函数10 [-10，10]f×100f3xsin2pw1d-1wi-12h11 0sin2pwi1iwd-12h1sin22pwdiatx¼1;· ··;1wi<$1xi4-1;i<$1;2;· ··;dRastrigin函数10 [-5.12，5.12] f××× ×0第一部分Rosenbrock函数10 [-2.3，2.3]f×100f5×10×1Schwefel Function10 [-500，500]fx¼0di¼1球函数f7× 10 ×10 ×10×10×21/1xisinjxi jat x¼ 420：96;·· ·; 420：9610 [-5.12，5.12] f××× ×0在x0;·· ·;00处我Styblinski-Tang Function10 [-5，5]fStyblinski-Tang-39：16F 100万美元 .4在x1/4时2秒- 2：9 ; ·· · ; -2：9秒Sum Squares Function10 [-10，10]fx^0f9x1x2I¼在x0;·· ·;00处我Zakharov函数10 [-5，10]f×100F2016年12月28日x2英寸。1个Pd2002年9月2日。1个Pd在x¼0;···;0时，x 4图二. 基准函数3D图形。在x1/4;···;1秒时结果表明，TALO算法比ALO算法快10-20倍。最优性度量显示与全局解的接近程度。TALO算法证明了最佳值(1) 所有基准。原始ALO算法具有最佳值仅适用于FN7、FN9和FN10功能。精度度量指示与全局解点的接近程度。根据这个指标，最好的结果是所有基准函数的TALO。ALO算法仅在四个基准测试中具有最佳值。678H. 克利厄湾Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673表2比较结果与50个独立运行的TALO和ALO算法。每个功能的最佳结果以黑体强调阿洛塔洛最佳函数平均值（标准差）FN1 2.14e-01（5.05e-01）FN2 1.42e-01（7.52e-02）FN3 2.49e-01（3.49e-01）FN4 1.76e+01（7.44e+00）FN5 4.94e+00（2.22e+00）FN6 1.62e+03（5.73e+02）FN7 8.68e-09（3.49e-09）FN8-3.66e+01（2.45e+00）FN9 3.82e-08（3.19e-08）FN10 6.13e-10（2.28e-10）NFE（CPU时间）99,258（49.881秒）95,216（48.518秒）90,324（46.103秒）95,324（48.447秒）99,812（49.180秒）98,496（48.897秒）90,288（45.223秒）90,250（45.690秒）91,670（45.966秒）95,200（47.429秒）最佳精度平均值最佳（标准差）0.990 1.000 0.00e+00（0.00e+00）0.979 0.973 0.00e+00（0.00e+00）0.997 0.992 5.04e-06（1.16e-05）0.781 0.900 0.00e+00（0.00e+00）0.999 0.858 6.88e-05（1.40e-04）0.036 0.390 4.13e-01（9.66e-01）1.000 1.000 1.93e-35（9.53e-35）0.984 0.897-3.92e+01（5.68e-05）1.000 1.000 0.00e+00（0.00e+00）1.000 1.000 6.92e-14（4.89e-13）NFE（CPU时间）98,158（5.745秒）74,826（4.435秒）76,242（3.984秒）77,482（4.564秒）82,128（4.421秒）94,900（5.228秒）53,814（2.465秒）75,756（4.016秒）71,386（3.256秒）79,666（3.658秒）最优性准确度一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千一千5.2. 收敛性分析算法的收敛性是影响算法性能的重要因素之一，本文对经典ALO算法和TALO算法进行了性能比较。以FN1、FN4和FN6三个基准函数为例，验证了算法的收敛性。图3示出了ALO和TALO算法的三个基准函数FN1、FN4和FN6的收敛图。在该图的左列中，Y轴上的平均最佳成本/目标函数值相对于X轴上的迭代次数绘制在该图的右侧，两种算法的收敛从这些图中可以清楚地看出，所提出的TALO算法比ALO算法更早地开始收敛我们在ALO和TALO算法中使用了两个停止准则，其中之一是在收敛时停止，如等式2所示（21）. 从对数标度图可以看出，由于收敛停止准则，TALO算法比标准ALO算法更早地停止优化过程。TALO算法的这种收敛性为锦标赛选择和其他改进提供了保证，使算法能搜索到更接近全局最优点的候选解。结果表明，对于基准函数，所提出的TALO算法比标准ALO算法具有更好的收敛速度。5.3. 统计分析我们使用Wilcoxon秩和检验，这是一种非参数检验，以比较所提出的TALO算法和标准ALO算法的统计显著性。Wilcoxon秩和检验是目前常用的统计分析方法，超启发式算法该统计检验用于比较两个样品或单个样品的重复测量。在本研究中，我们使用0.95的置信水平进行统计分析。表3总结了50项独立研究的两种算法的一对样本的Wilcoxon秩和检验结果，以检验10维基准函数的零假设。在该表中，结果包括三个不同的符号。‘+’ repre- sents the significant statistical difference at0.05 level of signifi- cance,样本对相同。根据所获得的p值，除了FN3之外，所提出的TALO算法与经典的ALO算法在9个基准函数上的比较具有统计学显著性。5.4. 检索历史分析为了显示蚁群在TALO算法中的搜索能力，在对一些基准函数（FN1，FN5，FN6，FN8）的优化过程中检查搜索代理的位置 图图4示出了以ALO算法作为等高线图的TALO算法的搜索历史。该分析表明搜索代理在这些子图中，星号符号表示TALO算法的蚁群这些图显示了在蚂蚁的搜索空间中的100次迭代中获得的种群的分布，蚂蚁的位置在整个优化过程中被更新从这些子图中可以看出，与ALO算法相比，所提出的TALO算法的搜索代理在搜索空间中搜索有5.5. 轨迹分析在该分析中，我们检查了优化过程中精英蚂蚁的位置轨迹分析显示了TALO如何确定全局解点的附近位置。图图5和图6示出了FN3和FN7的轨迹分析结果。在这些图中，每个基准函数有三个图在图的左侧，在基准函数的轮廓表面上给出了两种算法的精英蚂蚁的位置。在这些图的右侧，两个子图显示了从优化开始到结束，x轴和y轴上的精英蚂蚁的位置变化可以清楚地观察到，由于使用了锦标赛选择和其他改进，TALO中的精英蚂蚁实现了比ALO中更好的探索在早期迭代中，候选蚁群快速接近TALO算法中的精英蚁群。在以后的迭代中，精英蚁群的位置在全局解位置上表现出稳定的趋势。H. 克利厄湾 Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673-691679图3.第三章。TALO算法的收敛性分析表3基准函数的Wilcoxon秩和检验结果。TALO vs ALO函数p值结局FN1 4.7330e-20 +FN2 6.6327e-20 +FN3 9.7300e-02-FN4 9.1122e-20 +FN5 7.9688e-18 +FN6 8.8626e-16 +5.6. 平均距离分析为了显示所提出的TALO算法的探索性或剥削性搜索行为，我们使用了蚁群的初始位置和更新位置之间的平均距离在该分析中，在等式中计算D维搜索空间（22）称为Eucli-dean距离：vuXD2FN7 6.6308e-20 +FN8 2.2041e-05 +距离X;Y<$kX;Yk <$t1/1xi-yið22ÞFN9 3.3111e-20 +FN104.7330e-20+对于一维搜索空间，可以简化该计算方法680H. 克利厄湾Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673见图4。TALO算法的搜索历史分析（*：TALO，：ALO）。图五、FN3基准函数的精英蚁的轨迹（e：TALO，：ALO）。distX;Y<$kX;Yk <$jx-yj23对于这种分析，我们使用的平均距离的绝对值，在每次迭代的建议TALO算法和与经典ALO算法。对于8个基准函数，在第一个蚁群的第一个维度与群体中其余蚁群的第一个维度之间进行平均距离分析。图7、平均距离分析结果得出这两种算法都是针对基准函数的。可以看出，所提出的TALO算法比ALO算法收敛更快。在前100次迭代中，ALO算法在一定范围内波动。但是，从平均距离曲线观察到，TALO算法没有波动，并且在前100次迭代中提供了彼此显著更接近的解。根据这一分析，可以说，拟议的TALO半×]半×]H. 克利厄湾 Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673-691681图六、FN7基准函数的精英蚁的轨迹（e：TALO，：ALO）。算法提供了快速收敛由于比赛方法和建议的改进，对经典ALO算法。5.7. 计算复杂性分析算法复杂度是衡量算法性能的重要指标。我们实现了所提出的TALO算法的时间复杂度分析。在时间复杂度分析中，考虑了最坏情况复杂度的情况。根据种群大小、迭代次数、循环次数、函数求值等参数确定算法的时间复杂度。时间复杂度分析对于经典ALO和建议的TALO算法，定义如下。对于步骤1中的两个算法，蚁群在大小为NP的种群中的位置的初始化在步骤2中，以时间复杂度O（NP）*O（F（x））计算蚁群的成本值，其中F（x）表示目标/成本函数。主循环（while）从第4步开始，当迭代达到最大迭代次数时停止在该循环中，根据最坏情况的场景，每条线的复杂度乘以最大迭代（Itermax在第5步的另一个循环（for（each antlion））中，该循环中的步骤被执行NP次，对于两个算法具有时间复杂度（Itermax *NP）对于蚂蚁位置的每个维度（D）实现生成蚂蚁在步骤11中计算所有蚂蚁的位置以时间复杂度O（Iter max *NP）执行。算法的时间复杂度为O（Itermax *NP）* O（F（x））。作为复杂度分析的结果，对于两种算法（ALO和TALO），最坏情况下的时间复杂度为O（Itermax *NP*D）* O（F（x））。5.8. 与其他ALO算法的比较结果在这一小节中，提出的TALO算法与其他ALO版本的基准函数进行了比较。二进制ALO[32]和混沌ALO[33]版本用于比较。在图图8-10示出了所有基准的比较结果。我们使用了ALO的三个二进制变体（bALO-1/S/V）和ALO的五个混沌变体（CALO）。从这些图中可以清楚地看出，除了FN3和FN5函数之外，所提出的TALO算法具有最佳性能。对于FN 3，bALO-V表现出优于所提出的TALO、CALO变体和其他bALO变体。对于FN 5，CALO-Singer和CALO-Tent显示出比所提出的TALO算法更好的收敛性。表4总结了所提出的TALO、二进制ALO变体和混沌ALO变体的比较结果。在这个表中，有四个统计指标：平均值，最佳，标准差和最差。从比较表中可以清楚地看出，对于大多数基准测试，所提出的TALO算法优于bALO和CALO变体仅对于FN 3和FN 5，所提出的TALO对于最差、标准偏差和平均度量值不具有最佳性能函数求值（NFE）和CPU时间结果的数量在表5中给出。从表格结果中可以清楚地观察到，与bALO和CALO变体相比，所提出的TALO算法具有最佳的CPU时间和NFE值。从该表结果可以看出，bALO-S和bALO-V对于所有基准测试函数具有最差的CPU时间值。通过对TALO算法的改进，使候选最优解在较短时间内达到全局最优。5.9. QAP比较结果5.9.1. 与ALO、GA、PSO和FOA的比较本研究中，QAP实例取自www.yarpiz。com网站[31]。用TALO算法对该问题进行了求解，并与ALO算法、遗传算法（GA）、粒子群优化算法（PSO）、萤火虫优化算法（FOA）等著名的元启发式算法进行了比较。该问题包括W2020权矩阵和D2020距离矩阵. 这个问题包括三种不同的特殊情况。首先，十九号和二十号设施必须尽可能的靠近，然后，第11和第16设施必须尽可能靠近最后，H街682号克利厄湾Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673见图7。基准函数的蚁群之间的平均距离分析。H. 克利厄湾 Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673-691683图8.第八条。TALO和其他ALO版本（FN 1-FN 4）的收敛曲线684H. 克利厄湾Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673图9.第九条。TALO和其他ALO版本（FN 5-FN 8）的收敛曲线半×]半×]H. 克利厄湾 Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673-691685图10个。TALO和其他ALO版本（FN9和FN10）的收敛曲线第一和第十三设施必须尽可能远。这三个临界状态在权重矩阵中表示如下：19岁;20岁;20岁;19岁;10000w11;16升;w 16;11升;10000w= 1;13000w= 13;10000TALO算法和其它算法的代码已在Intel（R）Core（TM）i5-3230MCPU@2.60 GHz RAM/8的PC机上运行。每个算法都运行了10次。种群大小为20，最大迭代次数为1000。QAP性能测试所用的元启发式算法参数见表6。算法3（TALO算法求解QAP问题的伪代码。）.输入：权重矩阵（W），位置向量（x，y），位置数量，设施数量，TALO产生的候选解决方案。产出：总成本值。1) 根据TALO生成的候选解决方案创建设施列表2) 计算位置之间的距离对于i：位置对于j = i + 1：位置r你知道吗？ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiΣffiffiffi2ffiffi该QAP实例的位置如图所示。 十一岁有QAP中使用的40个位置（非指定设施）。人口规模设置为QAP中指定设施的数量。在这项工作中，人口规模被用作设施数量的一半。为了解决QAP问题，将TALO算法应用于组合优化问题。对于本研究中使用的QAP场景，我们假设问题维度（NP）计算距离（i，j）：di;j¼distance（i，j）= distance（j，i）首尾相接3)计算总成本成本= 0i：设施对于j = i + 1：设施xi-xjþyi-yj等于位置的数量。最初，TALO算法随机产生范围[01]中的蚁群位置。然后对这些位置值和排序位置的索引值进行排序，cost = cost + weight（i，j）*distance（facility（i），facility（j））首尾相接在QAP中，这些位置被用作设施的位置根据分配的设施位置，QAP使用D2020距离矩阵和W2020权重矩阵进行计算。下面给出了如何通过TALO算法求解QAP的伪代码图12示出了由TALO和其他元启发式算法在一次运行结束时获得的结果。在这些图中，蓝色正方形表示已分配的设施，粉色圆圈表示686H. 克利厄湾Yüzge/工程科学与技术，国际期刊22（2019）673表4比较结果与10个独立运行的基准函数。Fn方法bALO-1 bALO-S bALO-VCALO日志CaloPiecCalo歌手CaloSinuCalo帐篷TALOFN 1平均值6.062e+007.251e-011.806e-021.019e-011.606e+001.593e-012.173e-011.259e-010.000e+00最佳2.597e+00 1.806e-021.806e-021.349e-021.689e-013.020e-024.679e-021.786e-020.000e+00标准差2.632e+00 7.201e-010 . 0 0 0 e +009.199e-021.149e+008.692e-021.918e-019.323e-020.000e+00最差11.177e+001.841e +001.806 e-023.084e-013.134e+002.663e-016.949e-012.744e-010.000e+00FN 2平均值3.809e-011.033e-022.997e-033.118e-025.279e-036.917e-034.736e-030.000e+00最佳1.164e-017.524e-046.989e-063.925e-042.964e-035.051e-045.519e-051.795e-050.000e+00标准差2.519e-017.979e-033.860e-033.650e-03和2.081e-023.141e-033.095e-033.339e-030.000e+00最差9.594e-012.376e-027.559e-031.084e-027.669e-028.865e-031.034e-029.006e-030.000e+00FN 3平均值4.446e-013.083e-032.545e-061.319e-05 2.635e-038.681e-052.495e-059.819e-062.552e-06最佳4.503e-031.365e-042.545e-062.012e-07 3.281e-062.998e-074.693e-084.185e-074.329e-31标准差4.399e-012.782e-034.464e-221.691e-05 2.351e-031.724e-043.582e-058.923e-064.148e-06最差1.265e+00 8.312e-032.545e-064.622e-05 6.652e-035.483e-041.113e-042.543e-051.351e-05FN 4平均值5.237e+002.503e-019.938e-035.674e-038.403e-011 . 6 0 5 e -033.759e-034.852e-030.000e+00最佳2.046e+00 9.938e-039.938e-033.315e-022.294e-042.645e-047.119e-040.000e+00标准 差3.177e+00 3.882e-010.0 0 0 e +00 7.689e-034.954e-011.553e-033.944e-035.735e-030.000e+00最差1.143e+01 9.952e-019.938e-032.363e-021.419e+005.419e-031.294e-021.939e-020.000e+00FN 5平均值1.726e+00 2.878e-031.43