阿贝尔任意子模型下的泛量子计算

理论计算机科学电子笔记270（2）（2011）209-218www.elsevier.com/locate/entcs阿贝尔任意子模型下的泛量子计算James R. Wootton1，2 Jiannis K.Pachos1，3利兹大学物理与天文学院英国利兹摘要我们考虑定义在自旋格上的一般阿贝尔任意子模型的拓扑量子记忆。当仅限于拓扑操作时，这些对于量子计算是不通用的，例如编织和融合。研究了额外的非拓扑操作（如自旋测量）的影响。这些被证明允许通用的量子计算，同时仍然利用拓扑保护。我们的工作提供了一个洞察阿贝尔模型和它们的非阿贝尔对应之间的关系。关键词：任意子，拓扑，容错，量子计算，量子存储。1介绍任意子是可以存在于二维系统中的准粒子[1，2]。它们的非定域行为是量子物理学基础研究的一个有趣课题[3，4]。重要的是，可以使用任意子进行容错量子计算[5，6，7]。所谓的非阿贝尔任意子模型受到最多的关注，因为它们具有存储、保护和操纵量子信息的简单方法。即便如此，已经有人提出了使用阿贝尔模型（toriccode）来实现通用量子计算的建议[8，9，10]。我们将后者的计划更广泛的一类阿贝尔模型，证明了普遍性和容错性。这为阿贝尔任意子相对于非阿贝尔任意子的力量提供了新的见解。阿贝尔任意子的物理实现比非阿贝尔任意子的物理实现简单，这为我们的工作提供了实验动力1感谢Gavin K.Brennen，Ville Lahtinen和Zhenghan Wang的鼓舞人心的对话。2电子邮件：phyjrw@leeds.ac.uk3电子邮件：j.k. leeds.ac.uk1571-0661 © 2011 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2011.01.032210J.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）209Σg∈Zdg∈Zdvp我们采用Kitaev通过分析稳定器测量的结果，称为综合征，可以确定和纠正错误的类型通过代码的某些参数来抑制伴随式给出误导性结果的概率我们specifi-ically考虑模型的基础上循环组的d元素，Zd，实现在一个正方形晶格上的每个边缘上的d元素g∈Zd用于标记d维自旋的基态，为此定义了广义泡利算子，（1）σ x= Σ|g +1美元g|，σ z= ω g|gg|.这里ω=ei2π/d。它们满足对易关系σz σx=ωσx σz。σz运算的本征基和本征值是显而易见的。σx的本征态是傅里叶变换基的本征态（二）1| g˜⟩=√dh∈Zdωgh | h⟩,与对应的特征值ω−j。为了在这两个基之间旋转，使用下面的幺正函数来执行傅里叶变换，（三）F=g∈Zd1|=1000|=√dg，h∈Zdωgh |.|.它具有F2的性质|g = |−g，F3 = F†且F4 = I。量子双模型的稳定子定义如下：围绕每个顶点v和元格p的四个自旋，(4)A（v）= σ x<$σ x<$σ x σ x，B（p）= σ z<$σ z σ z<$，123 4123 4其中编号从最顶部的旋转顺时针进行（图1）。对于每个g∈Zd ，它们有特征值ωg=ei2πg/d。没有任何子与顶点或元格相关联，如果A（v）|A = B（p）|ψ⟩ =|好吧一个任意子e g与一个顶点v相关联，如果A（v）|ωg = ω g|好吧一个任意子m g与一个元格p相关联，如果B（p）|ωg = ω g|好吧任意子真空对应于代码的稳定子空间。一个哈密顿算子可以从元胞算子和顶点算子定义如下，（5）H = − <$A（v）− <$B（p）+h。C..任意子真空，以及由此而来的稳定子空间，形成了这个哈密顿量的基态。它还将能量分配给任意子，使它们成为局域准粒子激发。任意子的产生和运动可以通过σz和σx操作来实现。 任何任意子e g或m g的产生也将导致其各自的反粒子e−g或m−g的产生。在这里，由于使用了循环群，−g表示d − g。对一个顶点的自旋1或2的操作σz，或对自旋3或4的操作σz†，在该顶点产生一个eg电荷，并在另一个顶点产生一个e−g电荷。类似地，一个元胞的自旋2或3上的σx，或自旋1或4上的σx†，在该元胞上产生一个mgux，在另一个元胞上产生一个m−g。J.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）209211JJ粒子可以使用σz和σx操作的相应字符串和循环来移动和编织这些对易关系给出了一个eg任意子绕mh顺时针运动时的相位ωgh。相位ω−gh是针对逆时针编织获得的。任意子态的叠加可以使用纠缠门[12，13]或势阱[9]移动，从而允许更复杂的编织行为。Fig. 1.该模型是在一个正方形晶格上实现的，每个边都有d能级自旋. 的编号示出了围绕元格p和顶点v的自旋。 任意子可以驻留在顶点上。 这些可能会被创造出来。通过单个自旋操作成对地移动，并且通过沿着一串自旋的这些操作的链彼此远离。 任意子 可以驻留在空位上，并且可以类 似地被创建和移动。2Qudits的编码逻辑qudits存储在晶格上使用任何子占领的状态。qudit有两种类型，表示为v和p，分别存储在顶点对和我们认为这些量子的基础被标记为|对于j = 0. d− 1。这些是根据两个顶点v1和v2或两个格元p1和p2的任意子占有率定义的，如下所示，（六）|jv=|ejv1|e-jv2，|jp=|m jp1|m-jp2.稳定器不会在存储qudit的顶点和素板上强制执行。这在代码[10]中打开了所谓的漏洞，将逻辑状态带入稳定器空间。哈密顿量（5）必须相应地修改，删除相应的元格项和顶点项。当任意子准粒子移动时，例如，为了编织，孔必须随它们移动量子点的泡利算子以类似于晶格自旋的方式定义（7）X = X|j +1j|，Z = ω j|jj|.某些逻辑操作自然地遵循任意子模型的属性。逻辑Z基中的测量可以通过测量顶点和格元的占用率来执行逻辑Z和X旋转可以分别通过编织和融合辅助任意子对来执行。可以通过创建e1和e-1，将前者放置在v1上，212J.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）209.Σ而后者在V2上。类似地，我们可以通过在斑片上放置双像素来执行Xp操作Zs运算可以通过创建m1和m-1，将m1编织在s1周围，然后零化m对来对vqudits执行。类似地，我们可以通过在p1周围编织一个电荷对来实现Zp.根据操作的手征性，将一个量子点的v1的内容编织在另一个量子点的p1的内容周围将实现受控的-Z门或其逆从（6）中可以看出，对数时间序列V/P为0时，将采用贝尔对的形式。这任意子纠缠是守恒定律要求任意子成对产生的自然结果已经证明，任意子纠缠是真正的非局域的，因为它可能被用来违反贝尔在我们的例子中，纠缠允许qudit非本地存储，提供容错。3非拓扑运算与普适性通过编织和融合实现的逻辑运算不形成强大的门集合。 进一步的逻辑运算可以通过测量 格子。这允许存储在相邻元格或顶点上的逻辑量子以X为基础进行测量。 它还允许制备广泛的的逻辑状态。我们演示了如何将这些可能被用来作为辅助协议实现各种单量子门。当d是素数时，我们证明了所得到的门集的普适性。考虑两个逻辑qudit，一个v型和一个p型，存储在邻近晶格自旋i的顶点和元格上.顶点v1取为i标为1或2的顶点，元格p1取为i标为2或3的顶点（图2）。逻辑X运算则采用以下简单形式：(8)X v= σ z，X p= σ x。我我任何投射到i的态上的投影都可以分解为自旋泡利算符的和，因此也就是逻辑量子泡利算符的和。因此，对i的单自旋总的来说，这些将处于纠缠的基础上。例外是σz和σx的测量，我我分别提供v型量子点和p型量子点的X图二.单次旋转的测量反映了周围的斑块和顶点。 v型qudit可以存储在两个顶点中，p型qudit可以存储在两个元格中.单自旋测量对应于单量子点测量或纠缠两个量子点测量。X测量值可用于在V上实现傅里叶变换F。J.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）209213Σ|⟩|jvjv.ΣΣvppDΣΣD我pv布吕−jΣD埃莱J任意状态 n=cj.这需要一个额外的p类型quditp=k|kp/kd，它可以由yXp概率地制备测量. 将它们与受控的-Z纠缠在一起产生状态，（九）Λ（Z）|吉尔霍夫. 0尼加拉瓜j，kωjk1C J|吉尔夫|kp=d-是的 ˜lΣL（X 1 F|（掌声）。在X基中测量v量子点，然后将状态传送到p型量子点，同时实现傅里叶变换F。根据测量结果，这取决于泡利校正。如果初始状态在p型量子点上，则可以使用对应的过程图3（a）给出了该过程的电路。傅里叶变换允许在两个v型量子点或两个p型量子点之间应用受控的-X。这是通过将F†应用于目标qudit，然后是受控的-Z，最后是F来完成的。单自旋测量可用于如下准备逻辑辅助状态首先，在包括状态的基中测量晶格自旋i，|φ=1 jeiφj|j.相应的投影仪可以表示为，1i（φj+k−φj）1（十） |φ⟩ ⟨φ |=e|j+ kj|为j，kei（φj+k−φj）ω−jlXkXl.j，k，l这导致了相邻的v和p量子态的叠加，它们的系数取决于|φφ将X p†应用于p qudit并将其状态投影到|0p，将使v qudit处于状态1Σi（φj+1−φj）。˜Σ使用上述方法的傅立叶变换将其转换为p古迪特1i（φj+1−φj）j| j⟩p设φ0=0并定义一组相位θksu c h，使得φj=−k=1. j−1θk，j= 1. d-1，这就变成，（十一）D2ev214J.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）209ΣΣj，kj，k|jjp。|j⟩p.J这是所需的辅助状态，可以为任何所需的θk集合做准备。辅助状态可以用于执行以下形式的单量子比特旋转，（十二）Uv，p（θ）= eiθj|吉夫角|、J在任意的状态下退出|p= kc k|克拉夫山口为此，将受控- X的倒数应用于|ψ⟩v,pand anancilla in state |θ∈v，p，以后者为目标。结果状态为（13）eiθjck|kovov，p|j−k<$v，p=<$eiθj+kck|kovov，p|jv，pJ.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）209215在Z基中测量辅助量子点并获得结果j= 0意味着相位门已经被正确地实现。否则，可以用相同的qudits重复该过程，直到获得结果，c挂起θj每次尝试成功的概率为0。5、成功只需要几步。该过程的电路如图所示。3（b）.这些相位门与傅立叶变换一起能够执行大量的单量子点旋转。对于d是素数的情况，证明了任意单量子点旋转是可能的[14]。有了纠缠门，这就提供了通用的量子计算。图三.该电路用于实现（a）傅立叶变换和（b）旋转U（θ）。这两个都是在任 意 状 态 的v型qudit上实现的。 |好吧对于p型量子点存在相应的电路4容错我们考虑两种形式的模型中的错误：扰动的哈密顿量和热误差。 前者只检测编码信息，如果他们解除简并由于qudit的非局部编码，这种扰动必须由许多体操作组成，这些体操作要么围绕孔循环，要么在孔之间拉伸。随着孔之间的距离增加，这些变得越来越不可能任何其他扰动都不会与哈密顿量交换，因此它们的效应被能隙有效地抑制自旋晶格的热误差对应于杂散任意子的产生和传播 创造这些需要消耗能量，因此间隙自然会保护它们。然而，一旦它们被创造出来，游离任意子的运动就不会消耗更多的能量。编码的容错性则来自底层的稳定子码[6]，因为测量伴随子可以检测并消灭杂散的任意子。 如果任意子传播得足够远，湮灭将不会纠正错误，而是巩固它。例如，考虑一个v型量子点存储在两个洞中，v1和v2，d个顶点分开。如果测量了伴随子，并发现了一个e−1任意子，那么它的反粒子一定存在于其中一个空穴中。假设它位于最靠近e-1的洞中，因为这是最可能的情况，所以e-1将被移动到那里以消除e1并纠正错误。然而，如果e1实际上位于离e−1最远的洞中，这个动作将不会纠正错误，但实际上会在qudit上形成逻辑X或X†运算这样的过程需要在d/2自旋上发生错误，并且216J.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）209G.Σ概率也是O（pd/2），其中p是单个自旋错误的概率。因此，将孔移动得远离会以指数方式抑制X误差。一个相应的论点适用于p型量子点.Z错误的发生需要在空穴周围编结出一个带型任意子。由于孔的边界由四个自旋组成，因此只需要两个自旋错误 这是因为这样的错误形式 在一个洞周围的一个循环的一半，并在错误纠正的尝试可能会错误地完成这个循环。解决这个问题的方法是使用重复代码，它自然地出现在任意子模型中。为了对v型qudits做到这一点，引入了两个额外的孔。第一个在与v1相邻的顶点上，记为v1J。它们之间共享的自旋被投射到状态上|0，对应于Z d的单位元。为了做到这一点，可以在σz基中测量自旋。如果结局是|g，则可以应用运算A±g（v1J），其中符号取决于链路的方向。然后，这将自旋状态映射到|0次，而不创建任意子。第二个额外的空穴在v2j上，与v2相邻，并且共享的自旋类似地投射到|0分。投影导致逻辑量子被存储在所有四个孔中，因此它变得更加离域。重复应用该程序允许量子点存储在2N个孔中，排列成两行。对于这种编码，必须在σ z基中定期测量共享自旋，以验证它们保持在状态|0分。它们的状态的任何变化都是在一个或一些孔周围发生编织的标志。 通过应用将自旋返回到状态所需的A（v）运算，|因此，这些编织物的效果可以逆转。然而，如果一行中超过一半的孔被编织在一起，则纠正的尝试将巩固错误，导致逻辑Z。这具有O（pN/2）的概率，并且因此被孔的数量指数地抑制。也可以通过使用局部磁场来抑制误差[16]。 的概率然而，由于有更多的洞，杂散任意子可能会落入其中，因此X误差的增加。这种增加是多项式的，因此可以通过增加行之间的距离来该方案被称为重复代码，因为X基测量可以使用来自不同行的任何两个顶点来执行，并且在单个孔周围的循环中，仅使用该孔来执行X因此，对综合征的测量相当于对这些综合征的多数表决相应的方案可以用于在更多的孔上存储p型量子点，尽管其中的投影情况是使用B±g（pJ1）操作到状态0。逻辑辅助状态的准备要求空穴相邻，因此容易出错。因此，准备工作应该迅速进行，在时间尺度上，错误的概率很小。除此之外，制备中的错误可以通过使用纯化方案来抑制[17]。5适用于其他型号上面开发的方法适用于所有基于阿贝尔群的量子双模型，因为所有这些群都是循环群或循环群的直积的J.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）2092172方法也有一个简单的推广到非阿贝尔量子双模型。这些在自旋晶格上类似地实现，在每个元格和顶点上定义稳定器[5]。然而，夸克和电荷准粒子不是规范不变的，所以它们可能无法直接与模型中的任意子等同。尽管如此，我们还是知道规范不变的任意子是如何从这些任意子中形成的[12]。与阿贝尔模型一样，逻辑信息可以通过不强制稳定器来存储，从而产生漏洞。然而，我们也可以选择用任意子或底层的粒子和电荷准粒子来表达编码[18]。孔之间的间隔提供了容错性，误差由距离抑制。在某些情况下，使用额外的孔也可以提供保护对于非阿贝尔模型，但完整的泛化是未知的。对于任何量子双模型，在晶格自旋上的投影可以分解成准粒子对的创造算符。自旋测量然后可以用于测量存储在相邻元格和顶点上的逻辑状态，并且创建辅助状态。然后，这些将增加模型的计算能力，从可能的编织和融合单独。注意，对于非阿贝尔模型，可能不可能分别测量v型和p型量子点，对应于上面的X测量。一般来说，可能只有v型和p型量子点之间的纠缠测量才是可能的量子双模型之外的方法的应用是投机性的。因此，我们必须用一般原则来指导我们。在任意子的任何物理实现中，有两种类型的纠缠需要考虑：底层物理介质的纠缠和任意子的纠缠。前者的任何有控制的减少似乎都会导致后者的增加。例如，到处都是真空的状态没有任何纠缠，但需要物理介质的最大纠缠态。相反，介质的可分离状态导致系统中存在不确定的任意子。相应的叠加导致任意子的高度纠缠态。对介质的局部测量将降低其纠缠度。因此，任意子纠缠应该会出现，这可以用来制备逻辑辅助态并增加计算能力。该方法也可以应用于非任意稳定子码。考虑下面的代码，定义为六个自旋1/ 2的粒子。S1=σz σz，S2=σz σz，S3=σz σz，S4=σz σz，（十四）12 2 3 4 5 5 6S5= σ x σ x σ x σ x σ x，S6 = σ z σ z σ z。12 345 6134 6量子位可以通过不强制执行稳定器S1和S2而存储在空穴中。述逻辑状态|对于S1和S2，0的特征值都是+1。国|1与−1特征值相关联。 逻辑泡利算子是Z = S1或S2和X = σx。或者，可以通过不强制S2和S3来存储量子位。 在这种情况下，泡利算子是Z=S2或S3，X=σx σx。在前一种情况34X是由单个自旋操作提供的，因此存储在此方式很容易获得。这就允许了通过单自旋测量来创建态的可能性，就像任意子一样。在后一种情况下，X和Z一样，是两个218J.R. 伍顿，J.K.Pachos/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）209操作这保护了存储的信息，因为单个自旋操作不足以导致逻辑错误。对于任意码，孔的分离意味着逻辑qudits可以被任意保护。在上述示例中，保护仅限于单次旋转错误。当信息存储在其他稳定器代码的孔中时，例如Steane和Shor代码，也会发现这种限制当然，这并不奇怪，因为这些代码被设计成将信息存储在稳定器空间中，而不是在孔中。这将是有趣的，知道是否拓扑代码是唯一的洞提供任意保护，或其他是否是可能的。6实验实现使用简单的阿贝尔模型意味着我们的工作与当前的实验建议以及实际实验是一致的。一种有希望的可能性是约瑟夫森结，对于约瑟夫森结，产生D（Zd）模型的哈密顿量的方法已经得到了很好的研究[19，20]，以及其他模型，如非阿贝尔D（S3）。极性分子也被认为是产生量子双模型的哈密顿量的一种手段，并提出了一个完整的相互作用工具箱[21]。拓扑状态也可以在没有哈密尔顿算子的情况下产生已经进行了这些实验，证明了任意编织[22，23]。这些系统虽然很小，但也可以用来证明这里描述的辅助状态的制备。7结论研究了一类在自旋格上可实现的任意子模型。这些是阿贝尔的，因此不期望拥有任何严重的计算能力。我们表明，增加单自旋测量显着增加了计算能力。这是因为它们可以用逻辑态来表示，作为纠缠基中的测量。这个额外的资源可证明为许多这些模型提供了一个通用的门集，并且可能也为大多数其他模型提供了一个通用的门集。我们还评论的容错性，自然提供的哈密顿和稳定的拓扑模型的计划的基础上。这项工作也提供了一个洞察阿贝尔和非阿贝尔模型之间的关系。例如，所使用的重复代码与D（S3）的非阿贝尔电荷中发现的编码有惊人的相似之处。关于这些观点的详细说明可以在作者的进一步著作中找到[16，24]。引用[1] Wilczek，F.，分数自旋粒子的量子力学。Rev. 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