无导数优化方法的求解非光滑方程

nnn0n埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，38原创文章求解非光滑方程的无导数优化方法M.A. Ha fiza，*，Mohamed S.M.Bahgatba沙特阿拉伯纳季兰大学科学和艺术学院数学系，纳季兰，1988年bMinia大学理学院数学系，Minia 61111，埃及接收日期：2012年8月6日;修订日期：2012年10月22日;接受日期：2012年2012年12月14日在线提供本文提出了一类无导数的三阶和四阶收敛的非线性方程的方法。在所提出的方法中，为了得到给定函数在迭代的不同步骤的导数的良好估计，使用了几个线性组合的差除。该家族成员的效率指数等于1.442和1.587。给出了收敛性和误差分析。数值比较与其他现有的方法，以显示所提出的方法的性能数学潜规则分类：41A25、65H05、65K052012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍非线性方程f（x）= 0的根r。这些方法中最著名的近年来，许多学者发展了几种求解非线性方程的迭代方法在本文中我们xn1 ¼xnfxn;f0xn将开发有效的方法来找到近似值，f（x）=0的根r，而不计算导数。许多研究者考虑了许多方法来提高牛顿法的局部阶收敛性，文献中有几种不同的方法用于计算这是一种公知的基本方法，并且在简单根r的邻域内平方收敛。这种方法不适用于任何函数的导数在任何区间内都没有定义的情况。因此，Steffensen修改了牛顿法，他用前向差分近似代替了牛顿法中的一阶导数f 0（x）。f0x fxnbfxn-fxnPx1*通讯作者。电子邮件地址：admin@mha fiz.net（硕士）Ha fiz），hotmail.com（M.S.M. Bahgat）。同行评审由埃及数学学会负责bfxn并得到了著名的Steffensenbfx2xn1 ¼xn -fxn;bf这是已知的Steffensenb2R-{0}，前提是分母不等于1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.10.007制作和主办：Elsevier关键词非线性方程;收敛性分析;非光滑方程;迭代法;无导数方法;最优收敛阶-n求解非光滑方程的无导数优化方法族392≈≈1nnnnnnny - -n1nnnyn - -y - -n2nnn1f0xfx -fyf0y2fyn-fxn-fxnbfxnb-fxnpx;y;4nyn- xyn- xbfxn2nnn2n nnnnnnnyn- xnbfxn1nn零. Newton和Steffensen在 文 献 [10-13] 中 ， 我 们 得 到 了 一 类 不 含 导 数 的Steffensen类方法最近，Cordero et al.文[14]提出了一种无导数迭代法，取代了Ostrowski方法中的前向差分近似这个思想在发展我们的新迭代方法中起着重要的作用，该方法不需要关于y的一阶和二阶导数。更精确地说，我们现在近似f0（yn），通过组合过去步骤中已知的数据来减少每次迭代的评估次数。为此，如下考虑函数P1（tP_t_a_b_t-x_c_t-x_2;P01tb2ct-xn：通过代入已知值，中心差分近似然而，它仍然是一个三阶方法，需要四个功能评估P1yfya by-xncy-xn;每次迭代。因此，这些方法的效率指数为31/41.1316小于牛顿的21/2和Steffensen方法[15]。然而，本文的目的是建立新的无导数的最优阶方法我们的目标是将收敛速度提高到4而不需要对函数进行任何额外的评估。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们描述了我们的家庭的方法。在第3节中，我们展示了这些方法的收敛阶。在第4节中，不同的数值试验证实了理论结果，并允许我们将该系列与本节中提到的其他已知方法进行比较。2. 方法说明为了完整起见，我们分别回顾[14，17]中的方法如下：算法2.1. 对于给定的x0，计算近似解xn+1的迭代格式P01ynf0ynb2cyn-xn;P1xnfxna;P01xnf0xnb;我们可以很容易地得到未知参数。我这样2. fyn-fxn-f0xPx;y：2nn此时，有必要用已知值的组合来近似f00（yn）。Ptabt-xct-x2dt-x3并且还考虑到该近似多项式满足插值条件f（xn）=P2（xn），f（yn）=P2（yn），f0xn<$^P02xn和f0ynn<$^P02ynn，通过将已知值代入P2（t）中，我们得到一个三个未知数的三个线性方程组。通过求解这个系统并简化，有f002 . fyn-fxn-f0x¼Px;y：ð3Þnnnyn¼ xnfxn;f0xn使用（1），我们还可以从（2）中删除第一个导数，fx2fy2nnn（三）x¼ y-：.Σ算法2.1具有四阶收敛性，由Jisheng et al. [16]第10段。f00米 2 .fyn-fxn-fxnbfxn-fxnpx;y：5算法2.2. 对于给定的x0，计算近似解xn+1的迭代格式现在使用Eqs。（1）-xn1 ¼xn2fxnf0xn：2f02x-fxf00x第三阶，表示为Ha fiz Bahgat方法(HBM1-HBM5）。 那么算法2.1可以写在n n n这被称为哈雷现在我们引入下面的三次收敛迭代格式。算法2.3. 对于给定的x0，计算近似解的形式。HBM1：对于给定的x0，计算近似解xn+1的迭代格式bfx2xn+1的迭代格式yn¼xn— fxn;bfn n nfx2fy2f xnx¼x- ：y 1/4xn- ;n1Pxfx-fyf0xn0nnnxn1 ¼xn联系我们f0xn我们使用Steffensen一个校正器，然后我们有以下新的方法有CON-关于y的一阶和二阶导数，这可能会产生一些问题。为了克服这一缺点，几位作者开发了只涉及一阶导数的方法。聚散度三阶HBM2：对于给定的x0，计算近似解xn+1的迭代格式---nnnn40M.A. Ha fiz，M.S.M.Bahgatx¼x-：- 你好≈（）¼-2≈nn0nnn1nnn2nnnn0n0n1nnnnnn1N12N3 12nnn我J我J我JK国王！nnn2C1nnnn1N.Σ.1 1n22yn¼ xn-fxbfxn2bf[19]《礼记·乐记》：此外，如果我们考虑近似（2）中的导数，并将其替换为除差-2fyP1xn;yn能量法xn= 1/2y-n n：2P2x;y-fyPx;y0f½xn;yn]f½wn;yn]1nnn2nnfyn;HBM 2被称为新的两步改进哈雷无二阶和一阶导数，用于求解非线性方程f（x）= 0。HBM3：对于给定的x0，计算近似解xn+1的迭代格式bfx2f½wn;xn]然后我们得到更高的效率指数方法。此外，算法HBM5可以以与算法HBM6相同的形式重写。3. 收敛性分析yn¼ xn — fxn;bfn n nfxnn1nPx现在我们可以修改[18]中的方法，去掉下面两种方法中的导数。HBM4：对于给定的x0，计算近似解xn+1的迭代格式bfx2现在让我们讨论上述算法在b= 1时的收敛性分析。定理3.1. 设r是开区间I上充分可微函数f：cRfR的样本零点。如果x0足够接近r，则由HBM 2定义的两步法具有三阶收敛性。yn¼ xn — fxn;bf证据 考虑xn1 ynfðynÞPx2fxnfyn：Pxf x- fyy¼x-nnfxn2nn;600万n0n0的nn nfx fHBM5：对于给定的x0，计算近似解xn+1的迭代格式xn1 yn2fynP1xn;yn：72P2x;y-fyPx;yyn¼ xn-fxbfxn2bf设r是f的简单零点。由于f是一个非常小的函数，ble，通过将f（xn）关于r展开，我们得到xn1 ynfðynÞPx4个月前：PxPx;yfxnc1enc2e2c3e3c4e4···让我们注意到，在计算成本方面，开发的方法只需要三个功能评估，步因此，它们的效率指数为31/3 1.442，此外，我们有fx2¼c2e22 c c e3。2ccc2e4···9高于21/21.4142牛顿和斯蒂芬森[15]第10段。因此，这些方法不产生最优的收敛阶。然而，本文的目的是建立新的无导数方法与最佳顺序，即，我们的目标是在不对函数进行任何额外评估的情况下因此，我们将使用再次利用泰勒fx nfx nc1 1c1e n3c2c1c2c2c2e2···10这给fx n fx n-fx nc2e n。3c2c1c2c2e2权重函数w，其表示为w41;1f½xn;y]f½wn;y]=P0xn1104c3c1þ···1n2c23c3c2nn 11其中w=xfkr+f（x）和f [x，x]=（f（x）-f（x））/（x-x），其中c/4; k/4 1; 2; 3;. e = x-r。我们可以将算法HBM 3修改为如下：现在，在（6）中替换（9）和（11），我们有下降算法你好cc2e2x的迭代格式n+1个.C312c22031yn¼ xn — fxbfxn2bfþ2c C3-C1-C2C3-C2C3-C2enþ···ð12Þx¼ y-fyn（4-1）;n1Px2fyc21c1e20n1f½xn;yn]f½wn;yn]=P0xnnn.32 2222第三章1该方法（HBM6）具有四阶收敛性，每一步只有三个功能评估。他们有效率，效率指数为41/3 ~ 1.5874，即新方法（HBM 6）达到了最优收敛阶4，并证明了和C2C3C1C2C1C3C1-C2C1C3C1-C2C2-C2C1þ···ð13Þ;þ-;þ-nnnnnHBM6：对于给定的x0，计算近似解通过泰勒;n2求解非光滑方程的无导数优化方法族41CC422ennP1xn;ync1-c1c2en-c3c22-c3c- 3c1c3e···141/2桶cþ2ÞP2xn;y2c1c2c2c4c3-2 2c3c2 6c1c3c1c2 2c2C2nC2P2 xn; yn.c2β131.nn2222Σ132221¼c2e¼ 18c26c2- 14c14c- 24c那么方程（7）可以写成：13n：nn2nC22e3Oe4;HBM1;HMB41 C1nen221nnyn¼ xn-fxn;fnnn0fðynÞn2fynfðynÞ1/2c1/2e n 3c3 3c1c3c2c3c2e2···107c 105c1c-c3c-3c3- c c3nn12nn0nnnnn1.2c2 224c2en12c11nf½x;y]f½w;y]=P<$x<$2<$1c.C2卢恩n恩···nn0的n1..Σ322nc112 2ð15Þþc1c3c13c3-2.2ΣfðynÞC222012年2月2日1Px;yc1c1enþ···ð23Þ.2222232n111n3132-c2— 2 c2c···16fyn2001年12月22日。cc3c2.3c-2c2cP<0.01;y<0.01 c2c23200c. 2c-3c2- 4c2en···24þ 3c24c4c-c22c3c16c3enþ···ð17Þ现将（12）、（23）及（24）代入（22），我们有1fðynÞP2x n; yn。22P1xn;yP1xn;y1克罗地亚22C2..- 是 的Σn121231233n n13.3c2-1 3c-3c4cc2e40。e525Fundamentals1nn1菲乌伊河1nP=x;y=0- 11n1n收敛n1P=x;y2 P= x; yP=x;y现在将（16）和（18）代入（19），我们有c23xn1r1-c1e···20以类似的方式，我们观察到方法HBM1，HBM3、HBM4和HBM5也具有如下三阶收敛：c1n从（20）和en+1=xn+1-r，我们有：n1第二季第3集公司简介c2.Σ证明了（HBM ~ 2）具有三阶收敛性。H定理3.2.设r是充分可微的样本零点.200c 23Cn.c220321.4Σ.4Σ函数f：cRf R对于开区间I。如果x0是足够的，接近r，则由（HBM6）定义的两步法具有四阶收敛en 1¼ -c2cenOen：QHBM5证据 考虑fx24. 数值算例为了比较，我们使用三阶Soleymaniyn¼ xn — fxnf; 21方法（SM）[20]定义为：（）下一页x n-我的天4fxn2nnnP0xn1f<$x;y]f<$w;y]=P<$x<$2- 是的ΣΣxn= 1½xn-1½1þ：设r是f的简单零点。由于f是一个非常小的函数，ble，通过将f（xn），f（xn+f（xn））和f（yn）关于r展开，如定理3.1我们得到f½w;x]< $ $>fwn-fxn<$PxfxnfxnP0xnwn-xnf½w;y] <$fwn-fyn12nwn-yn.2223第二章^^f½x;y] fxn-fync1···X-ynn.22012年2月2日c12f½xn;yn]f½wn;yn]¼1-c2c2en22 C1P0xnC1.二、 222表1测试函数及其根。功能f1（x）=sin2x-x2+1，f2（x）=x2-ex-3x+ 2，f3（x）=cosx-x，f4（x）=x-3logx，f5（x）=e-ff（x）=x-esinx-l617 x - - XXJ、根1.40449164821534[12]0.25753028543986[12]0.73908513321516[14]1.85718386020784[21]1.74613953040801[21]0.3899777494636[22]第一章[21]f8（x） =x2-9f9x.X轴x100;-3，3-1，0，1-1,0[22日]ifx> 0;ifx> 0;[14个]f.-2xx-1;10410 x-10 xx;ifxP 0;ðxx3Þ;ifx 0;<[14个]CC11nC从（13）15c3- 3c2-5c2P0xnC1C12012年1月1日þ···ð18Þe12C3nnX1/4年-1-：：1919年由此可知（HBM6）具有四阶en1¼-1c1eC1nnH2Oen;H2HBM3n-1：1220布拉奇þ···11211nn42M.A. Ha fiz，M.S.M.Bahgat2002年。212Σ3 第二章求解非光滑方程的无导数优化方法族43n···nn表2比较各种方法所需的迭代次数，以使f（xn+1）<<$10-1 5。迭代f1F2F3f4F5F6F7F8女性9F10x0的1.31.01.70.53.01.0-0.53.20.1-0.8SM3347344Div.214DM33373533225JM3335354398HBM133463443411HBM2344531048128220HBM333373533225HBM433463447411HBM533463447411HBM633343423314Dehghan方法（DM）[12]f xn2来自类（HBM 1）-（HBM 6）的新方法yn¼ xn-fx;fx¼ x— fxnfxnfyn]引用n1fx fn n n和Jain方法（JM）[10]f xn2[1] M. Frontini，E.李文，李文，李文，等，等，等，等。140（2003）419-426。[2] M. Frontini，E. Sormani，Modified Newton方法，第三种-yn¼ xn-fx;f阶收敛与重根，J.Comput. Appl. 数学n nx¼x-nnfx3156（2003）345[3] H.H. H Homeier，一种改进的牛顿求根法n1半英尺× f与立方收敛，J。应用数学157（2003）无无无无无无无我们在这里考虑一些数值例子来证明新的改进的两步迭代法，即算法（HBM 1）-（HBM 6）的性能。本文比较了Soleymani方法（SM）、Dehghan方法（DM）、Jain方法（JM ）和新的改进两步法算法（HBM 1）-（HBM6）。在表1中，我们的示例以精度e=10- 15和b=1进行测试。所有的计算都是使用Maple 15进行的的以下实施例用于数值测试：其中函数f6是开普勒<方程; 0 6 e 1和0 6 l 6 p。 我们取值l = 0.01和e = 0.9995。此外，函数f7f10也是非光滑函数. 在表2中，我们列出了各种方法的迭代次数，其中“Div.”在下面的表中，“结果总结在表2中，如表2所示，新算法与所有方法相当，并且在大多数情况下给出更好或相等的结果。5. 结论提出了一类新的求解非线性方程的无导数迭代方法。该家族成员的效率指数等于1.442和1.587。此外，这些方法是无导数的，这使我们能够将它们应用于非光滑方程，具有积极的和有前途的结果。此外，这些方法特别适合于导数需要冗长的问题。在续集中，使用数值例子，以显示我们建议的无导数类的新方法的效率和准确性。 最后，应该注意的是，像所有其他迭代方法一样，227-230.[4] H.H. H Homeier ， 关 于 三 次 收 敛 的 牛 顿 型 方 法 ， J.Comput。176（2005）425[5] M.A. K.I.努尔Noor，E. Al-Said，M. Waseem，Some newiterative methods for nonlinear equations ，Math. Prob. Eng.（ 2010 ） 12 ， http://dx.doi.org/10.1155/2010/198943. 文 章ID198943。[6] F.李文，非线性方程组的最优阶迭代算法，高等数学出版社。Anal.（2011）10，http://dx.doi.org/10.1155/2011/270903。文章ID270903.[7] S. Weerakoom，T.G.I.李明，一种具有加速三阶收敛的牛顿法，应用数学通讯13（2000）87[8] 多发性硬化症Bahgat，New two-step iterative methods forsolving nonlinear equations ， J. Math. Res. 4 （ 3 ）（2012），http：dx.doi.org.[9] R.L. Burden，J.D. Farires，数值分析，第9版，波士顿，美国，2011年。[10] P. 解非线性方程组的Jain，Steffensen型方法194（2007）527[11] Q. Zheng，J. Wang，P. Zhao，L. Zhang，A Steffensen likemethod and its higher order variants ， Appl. Math. Comput.214（2009）10[12] M.德汉，M。张文，解非线性方程组的无导数二次和三次收敛迭代公式，北京：计算机科学出版社。Appl.Math.29（2010）19[13] N. Yasmin，M.李文，解非线性方程的几种无导数迭代法，中国科学院学报. Res. Int. 2（1）（2012）75- 82.[14] A. J.L.科尔德罗Hueso，E. MartBronez，J.R. 托雷格罗萨，Steffensen type methods for solving nonlinear equations ，J.Comput Appl. Math. 236（2012）3058[15] J.M. Ortega，W.G.李文，多变量非线性方程组的迭代解法，北京大学出版社，2000年。nn：44M.A. Ha fiz，M.S.M.Bahgat[16] K.吉生湖Yitian、W.李秀华，解非线性方程组的复合四阶迭代法，应用数学。（2006），http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2006.05.181。[17] E. 哈雷，一种新的精确和简单的方法，用于寻找方程的根，一般没有任何先前的减少，哲学罗伊。Soc. London 8（1964）136[18] R. Ezzati，F. Saleki，关于通过结合先前方法构造具有四阶收敛性的新迭代方法，Int. Math. Forum 6（2011）1319[19] H.T.孔俊峰张文，单点和多点迭代的最优阶数，计算机科学与工程学报。马赫21（1974）643-651。[20] F.李文，非线性方程组的三阶和六阶无导数方法，北京大学出版社，2001。数学Res. 3（2011）。[21] W.海俊湖苏蓓，非线性方程组的一族无导数方法，Rev.Mater.Comput 24（2）（2011）24：375- 24：389.[22] A. J.L.科尔德罗Hueso，E. MartBronez，J.R. 托雷格罗萨，利用多项式插值生成非线性方程的最优无导数迭代法，Math.Comput。模型（ 2012年），http：//dx.doi.org/10.1016/j.mcm.20112。01.012。