埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，6原创文章用Adomian分解Hooman Fatoorehchia，Hossein Abolghasemia，b，*化学工程学院分离过程建模和纳米计算中心德黑兰大学工程学院，11365-4563 Tehran，Iranb伊朗德黑兰德黑兰大学石油和天然气卓越中心接收日期：2013年3月23日;修订日期：2013年5月14日;接受日期：2013年2013年7月24日在线发布摘要矩阵特征值问题在工程领域中经常遇到。本文基于Adomian分解法和Faddeev-Leverrier算法，提出了一种求任意实矩阵实特征值的新方法。该方法具有准确、简便的特点。与许多以前的技术相比，由于该方法只给出矩阵的一个特征值，因此它有可能给出矩阵的所有实特征值。此外，该方法不需要任何初始猜测，在其开始点不像大多数迭代技术。为了便于说明，包括几个数值例子数学潜规则分类：15A18; 65H04; 32A70？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍不用说，许多工程学科都非常感谢矩阵理论。在大多数矩阵计算中，特征值和特征向量的计算是至关重要的。古老的算法来寻找特征-*通讯作者：分离过程建模和纳米计算中心，德黑兰大学工程学院化学工程学院，11365-4563德黑兰，伊朗。联系电话：+98 21 66954048;传真：+98 21 66954051。电 子 邮 件 地 址 ： hfatoorehchi@gmail.com ， hfatoorehchi@ut.ac.ir（H。Fatoorehchi），abolghasemi.gmail.com（H.Abolghasemi）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier值的对称矩阵，可以提到一个算法归因于雅可比这是很久以后恢复冯诺依曼在1946年。吉文斯是一个采用二分法获得实对称矩阵的特征值[1]。后来，幂方法提供了一种相当简单的获得矩阵特征值的方法;背景信息见[2]。然而，该方法具有不提供所有特征值（即，它只能实现代数重数为1的那些感兴趣的读者可以在威尔金森的基础书中找到很多关于这个主题的东西。最近，Aishima等人提出了一种新的类似Wilkinson的多移位QR算法，以确保对特征值问题的探索尚未结束[4]。Adomian分解方法（ADM）是一种强大的半解析方法，可以处理包括代数、微分、积分和微分积分在内的线性和非线性函数方程。自其提出以来，1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.06.004关键词特征值;Adomian分解;矩阵计算;特征多项式; Adomian多项式用Adomian分解计算矩阵的实特征值7P-···.¼-an-1我我.X¼他们的心，被他们的心所取代替代地作为NuuP1i0Ai，其中Ais被称为Adomianpolyno，由George Adomian在80年代中期[5]提出，ADM由于其卓越的效率而成为关注的中心。它不需要线性化、离散化和摄动，在大多数情况下能迅速收敛到精确的解析解。文献中充斥着ADM的实际应用[6我们将在后面简要介绍这种方法其中N是一个非线性算子，它将一个Hilbert空间H映射到自身，f是一个给定的函数，u是一个未知函数。ADM将u分解为无限级数u^1i¼0ui和N千分之四由传统公式[17]得到：本文的目的是将ADM应用于1A i¼ A i u 0; u 1;. ; u idi1INukkk！.ð8Þ与Faddeev-Leverrier算法的结合，以提供真正的任意大小的方阵的特征值该accu-我！D Kk¼0.k¼0在给出的说明性例子中很好地证明了所提出的方法的活泼和快速收敛。2. 问题陈述如果k满足下面的矩阵方程，则称k为n·n平方矩阵K的特征值Kx¼k x100其中x是维度为n的非零列向量。当量（1）可以写成如下形式：K-kI其中I是n阶单位矩阵。对于EQ。（2）为了成立，矩阵（K kI）必须是奇异的，即：detK-kI¼03在Eq的左手边的行列式。（3）可以扩展为：a0kna1kn-1a2kn-2···an-1kan<$0 4在矩阵代数中，前面的方程通常被称为矩阵K在众多的竞争者中，Faddeev-Leverrier假设K是n乘n，方法包括以下步骤：通过令u0=f，ADM构造以下递归式：生成解决方案的其他组件，即我的天u i= 1¼A i;iP0 9这种方法的收敛性和可靠性已由先前的工作（例如，[8]）。在其他地方[18]，Fatoorehchi和Abolghasemi设计了一个完 全 不 同 的 算 法 来 生 成 任 何 所 需 的 非 线 性 算 子 的Adomian多项式。它主要基于字符串函数和符号编程。通过设置符号变量NON=u0+u1+u2++ un和一个足够大的整数n，MAT-LAB中的下列函数可以返回作用在NON上的非线性算子的Adomian多项式分量.程序1. 确定Adomian多项式. K1½Kð5ÞKi1¼KKiaiI;16i6n其中，a0¼1a 1/4-迹线Kkin;16i6nð6Þ在这方面，递归地所有n+1个系数的方程。（4），或者换句话说，特征多项式，方便地发现方程。（5）、（6）.第一眼，Eq。（4）可能看起来并不复杂，然而，经过进一步的审查，相反的情况被揭示，因为阿贝尔和伽罗瓦的工作表明，没有一般公式可以实现大多数次数大于四的多项式的零点。此外，很难找到一种鲁棒且有效的数值算法来确定大次数多项式方程的所有根[2]。接下来，我们努力从等式中找到k值。（4）Adomian分解方法。3. ADM如何工作为了方便读者，我们在这里简单介绍一下--4. 该方法为了使ADM给出所需的特征值，必须写出方程。（4）固定点形式，即k=g（k）。假设an-1n0，则以下等式可以立即表示为：对Adomian Decompo的必要背景的看法调查方法让我们考虑一个一般的函数方程类型：ka0knan-1的1— an-1 kn-1 - ···-an-2k2an— an-1ð10Þ与ADM保持一致，k^P1i0ki;k0^-an=an-1，函数sol=AdomPoly（expression，nth）Ch=char（expand（expression））; s=strread（Ch，t=strread（char（s（i）），int n = nums（nums）;如果长度（t）~=2sum（p）=sum（p）-p（1）int findDuplicate（char（t））;endlist（i）=sumindex; endA='';for j=1：length（list）ifnth==list（j）A=strcat（A，s（j）endN=length（char（A））-1;F=strcatu- Nu f非线性kn，kn-1，.. . ，k28H. Fatoorehchi，H. 阿博尔加塞米联系我们67452323i¼0i¼1/4我k-nk-n1121383813871相应的Adomian多项式，即An，. . ，Bn，Cn.因此，我们得到：当然，可以采用该过程来处理任何期望的基质。a0级k¼-A-A1我B- ···-an-2C;iP0 - 11 C我我an-1an-1an-1例1. 假设显然，n1K1i<$0ki是矩阵K的特征值。值得一提的是，在某些情况下，它可能会发生-笔，由Eq. （11）分歧。为了消除这种缺陷，可以将辅助对角矩阵ai添加到K以创建新矩阵H=K+ai。一旦适当地选择了a，ADM就有效地为矩阵H提供了一个特征值。在这一点上，借助于前面描述的引理，可以立即获得矩阵K的相应特征值。这种情况在实施例2中得到了很好的说明。42 0K¼3 2 1ð17Þ27 9按照所述的Faddeev-Leverrier算法，K读数的特征方程-6-49千磅15千磅-千磅 <$0千磅18千磅根据我们讨论的内容，（k0¼-6）15 1引理1. 设A和B是n·n矩阵，I表示恒等式千分之四A-B;iP0ð19Þn维矩阵，a表示实数，eig（）表示第一章149我49我对于返回其矩阵参数的特征值的运算符若A= B+ai且eig（A）=k，则eig（B）=k-a成立.证据根据eig（A）=k，可以得出：determinA-kI≤0将矩阵A替换为它的等价矩阵，很明显，其中Ai和Bi是替代k2的Adomian多项式和K3，有序。因此，一些第一分解组件被列出为电话：021 - 88888888传真：021 - 88888888k1<$0： 4627393036e× 10-2k2<$0：3511578086× 10-3k3< $0： 3336368140× 10-4k4¼-0：3553111861× 10-5determinationB-100k-adeterminationB这断言量k-a是质量B的本征值，或者换句话说eig（B）=k-a。H一旦确定了矩阵的第一个特征值，比如n1，我们就可以通过下面的程序来找到其他的1. 从方程中求出刚解出的根（4）产生a新方程：k5<$0： 4056048425× 10-6k6<$0：4852021856× 10-7k7< $0： 6003189951× 10-8k8<$-0：7618918370× 10-9k9< $0： 9863833101× 10-10我们近似有k<$P1k<$P9-0：1181425714。ð20Þ千分之四a0kna1kn-1a2kn-2···an-1kank-n1¼0ð12Þ由所建模型得到的本征值的精确值在MATLAB中的eig（）命令等于-0.118142571382007。2. 因此，建立一个新的固定点形式方程（新的非线性出现，理性类型是具体的）。b0 b1k-nb2k-n2··· bn-1k-nn-1k-nn1实施例2. 假设20 1 231 1 1k-n1b0的b1¼0 ð13Þ1K¼6439575ð2 1Þ6 1- 2个1b0 b1克n···bn-1k-nn-2k-nn-1<$015根据Faddeev-Leverrierb2k-n1B2-1b212012年2月 1日很快就得到了一个方程，k <$n-b1- 1b0···-bn-1n-2k-nn-1 16231B2b2k-n1b21-b21-6638k7k-k< $0223. 返回ADM以产生一个解决方案，一个新的本征-因此，我们将有价值，这个新的等式。通过反复调用上述过程，可以获得矩阵的所有实特征值;参见示例4。k066ki1¼-AiBi;iP0ð23Þ5. 数值算例为了说明所提出的方法，并显示其适用性，我们在本节中提出了一些数值例子其中Ai和Bi是与示例1中相同的多项式。 通过很少的计算工作，可以发现由Eq. （23）不收敛。 因此，我们将矩阵H构建为H=K-I（注意，我们选择a=-1）。因此，给出H的本征值的递推式为：49n-11（用Adomian分解计算矩阵的实特征值91/4676677236475--2¼þ1/4iP¼2367676767¼6 7ð Þ67676767451/4 我0： 4352005837。根据上述引理及其前（k0¼-3）11K1/4值为n-0：5413813106。（k0¼22）显然，K的特征方程为：k¼-4A1B;iP0ð24Þ2第一章149我49我-3-5千克朗¼0 ð28Þ类似于实施例1中遵循的程序，制备了约100 μ g/ml的聚乙二醇。因此，在本发明中，mate 特征值的 矩阵 H等于 到k¼P9 千分之四5通过讨论，我们得出结论：1.4352005837是一个本征值，k1A;iP0ð29Þ矩阵K的值，它非常接近由MATLAB中的eig（）函数，即1.43520058370682。实施例3. 德费恩115我按照同样的建议程序，我们得到第一个特征-101我1 - 106 3 0 15 1 4-3110 3 5 1 6 12019年10月15日星期一-1-3 4 7 821 0 6 0 3 3类似于示例1，我们得到ð25Þ对于另一个特征值，我们处理以下方程k25k3电话：+86-5413813106传真：+86-5413813106同样，电话：021 -88888888传真：021-88888888电话：0513- 813813106¼0ð31Þ或电话：+86-04312305电话：+86-10 -88888888传真：+86-10- 88888888k2¼0： 1476736549× 10-1k3¼0： 3982022153× 10-2电话：021-8888888传真：021-88888888电话：0513-813813106根据ADM原则，.ð32Þk4¼0： 1183408891× 10-2k5¼0： 3730426712× 10-3电话：021 -88888888传真：021 - 8888888ki= 1¼Ci;iP0ð33Þ1223551136× 10-3k7¼0： 4129699415× 10-4k8¼0： 1424360086× 10-4k9¼0： 4996808284× 10-5k10¼0： 1777066706× 10-5ð26Þ其中，Ci是Adomian多项式的第i个分量，对应于等式中的有理非线性。（32）.该方案快速收敛到K的另一个本征值，如下所电话：+86-021 - 8888888电话：082762566K11粤ICP备16016665号-11197682426× 10-7Pk3¼-0：2593611261× 10-8k4¼0： 5616529794× 10-90： 6474115490，非常接近值0.6474119158 ob-在MATLAB中使用eig（）命令。实施例4. 假设我们在找到以下矩阵Σ 0 1Σ¼k5¼-0：1216273456× 10-92019 -06-2811：00：ð34ÞK3 527因此，n291/4《明史》卷五，第541381265页。它是显眼的K具有两实特征值：-0.541381265149110和5.54138126514911。实施例5. 给定1： 5968 0： 4067 1： 6821 1： 4823 0： 6130 1： 1581 1： 5300 1： 1833 0： 2666 1： 0769 1： 4653 1： 48032019-01- 22 00： 00 02019 -01 - 23 00：00 02019 -09 - 22 00：02019 - 01- 22 00：00电话：021 - 8888888传真：021- 88888888电话：+86-21- 8888888传真：+86-21- 888888882019 - 01- 2200：002019- 05 - 22 00：2019 - 01 - 2200：00电话：+86-10 - 8888888传真：+86-10 - 88888888传真：+86-10 - 888888849因此，我们认为，我们达到到一个特征值千分之四10H. Fatoorehchi，H. 阿博尔加塞米2019 - 01-22 00： 00用Adomian分解计算矩阵的实特征值11348>1112>
与矩阵K有关的特征方程可以通过方程（1）确定（3）作为，12-12： 241611： 360610- 17： 525619： 874119：确认我们H.F.还有H.A.感谢审稿人和编辑-98： 5986k31994年：8460k-142： 1029k2183：8437k感谢他们提出的有益的意见和建议，提高了论文的质量-11： 3085k- 213： 8051k 383： 2418k 55：6948¼ 0 36转换方程（35）一个固定点的形式给出了电话：+86-021-88888888传真：+86-021 - 88888888引用[1] C.F. Gerald，P.O.陈文辉，应用数值分析，台北，1998。[2] G.A. Allaire，S.M. Kaber，Numerical Linear Algebra，Springer，粤ICP备1707917655号-1电话：+86-0572-888888传真：+86-0572-8888888-0： 2474833309k-0： 0231554630k-0： 0139875269k纽约，2002年。[3] J.H.王文生，代数特征值问题，北京：人民出版社，1988年。[4] K. Aishima，T.松尾K. Murota，M. Sugihara，对称特征值问题的一种Wilkinson型多移位QR算法电话：0319422343-0026093185传真：0319422343根据ADM的原理，可以构造方程的解。（36）作为电话：+86-10-8553254918电话：+86-021-8555770传真：+86-021-85557770邮箱：info@jiangshi.com.cn>-0：0231554630Q 0： 0457299193Ri- 0： 0139875269Si及其全局收敛性，J. Comput. Appl. 数学第 236（2012）号决议三五五六[5] G. Adomian，非线性偏微分方程的一种新方法，J. Math.Anal. 102（1984）402-434。[6] B. 昆 杜 河 Wongwises ， Adecompositionanalysisonconvecting-radiating rectangular plate finns for variablethermal conductivity and heat transfer coefficient，J. FranklinInst. 349（2011）966-984.[7] EAA张文，非线性二次型积分方程的解，北京大学出版社，2001。Math.Soc.21（2013）52-56.i[8] E. Babolian，J. 关于Adomian的收敛阶：0：0319422343Ti- 0： 0026093185Ui;iP 0ð38Þ方法，应用数学计算。130（2002）383-387。[9] J. 比亚扎尔湾Tango，E.巴博良河Islam，动力学建模的解决方案的乳酸酸发酵使用Adomian其中J，L，. . ，U是Adomian多项式分解非线性k2，k3，.. . ，k12。因此，Eq.（37）一个容易获得的分解方法，应用数学计算。144（2003）433-439。[10] A.M.Wazwaz，A.戈尔吉斯，《费雪的分析研究》电话：+86-10- 8888888传真：+86-10 - 88888888粤ICP备16033764号-1方程的Adomian分解方法，Appl.数学。计算。154（2004）609-620。k6¼-0：3544496172× 10-5电话：+86-10-8888888传真：+86-10-电话：+86-21- 5555555传真：+86-21 - 5555555并且可以将K的特征值近似为k61/4ð39Þki¼[11] H. Fatoorehchi，H. Abolghsemi，Adomian分解法研究层流下水平平板传质，Adv. Nat. Appl. Sci. 5（2011）26- 33。[12] H.Fatoorehchi ， H.Abolghasemi ， Amorerealisticapproachtowards the differential equation governing the glasstransitionphenomenon，Intermetallics 32（2012）35-38.[13] H. Fatoorehchi，H. Abolghasemi，改善差异-0：1353576540，它与MATLAB中的eig（）命令，-0.1353569759。6. 结论基于Adomian分解方法和Faddeev-Leverrier算法，提出了一种新的求解实矩阵特征值问题的方法。该方案是简单的和计算鲁棒性。与许多以前的方法只提供一个矩阵的特征值，目前的方法被证明是能够提供所有的实特征值。文中给出的算例证明了该方法的准确性和有效性变换方法：一种新的技术，以获得微分变换的非线性的Adomian 多项式，应用。数学模型。37 （2013 ）6008-6017。[14] A.S. Householder，数值分析中的矩阵理论，Blaisdell，纽约，1964年。[15] G. Helmberg，P. Wagner，关于Faddeev-Leverrier计算矩阵特 征 多 项 式 和 特 征 向 量 的 方 法 ， Lin 。 代 数 应 用 185（1993）219-233.[16] J.B.傅立叶，《抽象代数基础教程》，北京：清华大学出版社，2002.[17] R. Rach，Adomian多项式的方便计算形式，J. Math. Anal.102（1984）415-419。[18] H. Fatoorehchi ， H. Abolghasemi ， 用 MATLAB 计 算Adomian多项式，J. Appl. Comput. Sci. 5（2011）85-88.76457968105
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