Eri h Kaltofen和Gilles Villard的并行计算实验室报告：论委托决定因素的多重性

论omputing决定因素Eri h Kaltofen北卡罗来纳州立大学2003年7月和吉勒·维拉德并行计算实验室里昂高等师范学校CNRS-INRIA-ENS里昂联合研究单位，编号5668第2003-36号研究报告里昂高等师范学校46 Allée电话：+33（0）4.72.72.80.37传真：+33（0）4.72.72.80.80电子邮件地址：lip ens-lyon.fr论委托决定因素的多重性Eri h Kaltofen和GillesVillard2003年7月R？总和？用G的脚步踩你的鼻子？A/无B？B？Kaltofen（1992）的应用？E？D的算法是什么？在Wiedemann（1986）的结尾，使用Coppersmith（1994）之后的vetors的blo s投影和Villard（1997）的相应分析，我们得到了新的渐近快速算法迪的解决方案？租金问题？我在密集的矩阵上。第一个？回复？大猩猩的问题？我的母亲是一个密集的nN？蛋整个项目。我们表达O？对于以x为基数的e，即在操作方面二进制配给，注意kAk最大以绝对值表示矩阵E。我们要去D吗？最后，Polyn Me Ara T？A在（n3：2 log kAk）1+o（1）和（n2：697263 log kAk）1+o（1）op中的ristic、Frobenius正规形式和Smith正规形式？对于二元比率，指数的拟合+o（1）忽略了额外的因子C1（log n）C2（log kAk）C3o？C1、C2和C3是正常数r？他们。 第一个？还是综合症？唐？在不使用矩阵乘积的sub-ubic算法的情况下达到上述渐近最慢的e i。我们的算法是概率性的，但是，d？终结者可以吗？三个厄蒂？昂杜伊特呢？一个R？拉斯维加斯解决方案。是波吗？大猩猩的问题？我回答 作为O？母亲A有她的抽象交换环中的元素，"is-？-"我说我们不承认分裂。我们公关？感觉到接近了吗？al-ul-le d的终结者最后，Polyn Me Ara T？在n3：2+o（1）环中的加法、减法和乘法，而不使用次泛矩阵的乘积。通过上诉？通过Coppersmith和Winograd的矩阵乘法，我们得到了d？在O（n2：697263）op中终止和附加？戒指里的口粮，波林·梅·阿拉·T？在O（n2：806515）op？中 获 得 的 ristic 口 粮 。 这 些 R ？ 这 些 结 果 是 基 于 Villard （ 1997 ） 对Wiedemann/Lan zos算法的分析的N？如何实现Eu Lide算法的多项式矩阵？Knuth/S H？Nhage/摩恩K.字- L？问：阿尔格？布林？空气，D？还有，波琳·梅·阿拉·T？矩阵的正则形式、快速算法、概率算法、非除法算法。1 12在计数行列式的多重性1摘要T通 过 结 合 Kaltofen 的 1992 baby steps/giant stepstehnique forWiedemann的1986 determinant算法和Coppersmith的1994 pros-I是由Wiedemann方法h中的k个向量组成的blo，以及Villard的1997对k个向量的分析，我们得到了渐近快速运行时间的密集矩阵问题的新算法。第一类问题是具有整数项的密集n n n矩阵A。 我们用ext个积分器上的位运算来表示ost，并用kAk表示绝对值中的最大输入 。 我 们 的 算 法 忽 略 了 （ n3 ： 2logkAk ） 1 +o （ 1 ） 和 （ n2 ：697263logkAk）1 +o（1）位运算中A的终止、hara teristi多项式、Frobenius范式和Smith范式，其中+o（1）的指数调整采用了加法因子C（logn）C2（logkAk）C3 对于p位ve实数上的ntsC，C，C3，并且其中第一个渐近任意较慢的位复丛不需要任何子ubi矩阵乘法算法。我们的算法是随机的，我们以拉斯维加斯的方式验证了A的行列式。另一组问题处理的设置是矩阵A具有来自抽象t交换环的元素，也就是说，当输入域中不可能有除法时。我们提出了确定性算法，它完全忽略了A的行列式、多项式和伴随项，具有n3：2+o（1）环加法、减法和乘法运算，而不使用sububi矩阵乘法算法。利用Coppersmith和Winograd的渐近超快矩阵乘法算法，我们的方法忽略了O（n 2：697263）环运算中的Deter-mina nt和Adjoi nt以及O（n2：806515）环运算中的hara teristi p olynomial。 我们的结果部分是通过Villard 1997年对blo k Wiedemann/ Lan zos算法的分析和Knuth/Sh？的推广的新证明。nhage/Moen k EU Lidean保留了多项式矩阵的序列算法。1引言线性代数中许多问题的omputational多重性与矩阵乘法的omputational多重性有关。如果结果是exa t，例如线性系统的exa t有理解，则涉及计数和响应的积分器的长度是所用算法的运行时间。一种传统的方法是通过中文保留来掩盖结果。然后，标准分析产生xed基数的数目，即给定问题的位运算，该位运算基本上（在多对数因子内）受问题的d运算的数目限制，该d运算是输出中的最大s报警长度的时间算法有时会使用局域网-域化，因为并非所有模块化图像都可以使用。对于决定因素本材料基于国家科学基金会（美国）根据第1000号赠款部分支持的工作。DMS-9977392、CCR-9988177和CCR-0113121（Kaltofen），以及CNRS（Fran e）在第5929号和Sti LinBox 2001（Villard）中的A项意见。扩展抽象t出现在计算机数学专业版中。第五届亚洲研讨会（ASCM 2001），由白柳清和横山和弘编辑，《计算教程系列》，第一卷。9，《世界新闻》，新加坡，2001年，第13 - 27页2E. Kaltofen和G. 维拉尔n n个整数矩阵的运行时间为（n 4log kAk）1+o（1）位运算的矩阵[von zurGathen and Gerhard 1999：Chapter 5.5，是一个具有最多（n log kAk）1+o（1）位的行列式;通过kAk，我们去掉了绝对值中最大的条目。在这里和整个本文中，+o（1）对正实数常数C1、C2、C3（软O）采用附加因子C1（log n）C2（log kAk）C3的指数 通过一个算法，一个乘法tw o n矩阵在O（n! s警报或操作时间被还原为（n! +1log kAk）1+o（1）。由Coppersmith和Winograd 1990我们设置! = 2：375477。首先，有人认为，对于线性系统的求幂律解的求幂律解的问题，亨塞尔的过程提高了一点。[Dixon 1982][1982]在不使用快速矩阵乘法算法的情况下在n中使用ubi。对于n n个整数矩阵A的Deter-minant，具有（n3 ： 5 log kAk1 ：5）1+o （1 ） 的算法[Eberly et al.2000]中给出了位运算。 Eberly等人的算法。通过[Villard 2000]的二进制sear h te hnique对Smith范式进行了计算。我们的算法 三个想法。i) rst是[Wiedemann 1986]中的一种算法，用于在nite域上求稀疏矩阵的导数。Wiedemann将矩阵的最小多项式定义为在相应的Krylov序列上运行的线性环。通过对输入矩阵进行预赋，最小多项式是三次多项式，原始矩阵和预赋矩阵的行列式具有t关系。（ii）SE来自[Kaltofen 1992其中Wiedemann的方法h被应用于密集矩阵，即输入在域上是多项式的矩阵。Kaltofen通过使用Shank的婴儿步/巨人步来计算线性电流的警报（f）来加快速度。[帕特森和斯托·克迈耶，1973]对于整数矩阵，得到的随机化算法总是像拉斯维加斯一样，可能更快，并且具有最差的位多重性（n3：5 log kAk）1+o（1），并且再次被亚ubi时间矩阵乘法加速[Kaltofen和Villard 2001]。这个算法的一个详细的迭代，以及一个早期终止策略，因为determinant是小的（f.[Emiris 1998; Br？Nnimann等人1999年），在[Kaltofen 2002年]中介绍iii）通过使用两个blok的ve tors而不是一对ve tors在双线性映射上，Wiedemann的算法将被剔除[Copper- smith 1994; Kaltofen 1995; Villard1997 a，b.Blo King A将应用于我们的密集矩阵算法，进一步的Redu是位多重性。上面的成分产生了一种拉斯维加斯式的随机算法，用于计算n的行列式 n积分矩阵A in（n3+1=3 log kAk）1+o（1）表示标准ubi矩阵mul-在[Eberly et al. 2000logk的指数A k为2：5，但基于快速中文保留，改进为1：5[Aho etal.1974年是立竿见影的。在计数决定因素的多重性3乘法算法。我们应该使用基于快速FFT的Pad吗？ 近似算法-矩阵多项式的算术，例如，所谓的半GCD算法[von zur Gathen和Gerhard 1999]和快速矩阵乘法算法，我们进一步降低了位运算的期望值。 假设tw o nn矩阵是b e m乘以O（n! o在输入范围内的运算，以及在n2+o（1）运算中一个n n n矩阵接一个nn n矩阵，我们获得了（n log kAk）1+o（1），其中=! +1! 2 （2 + ）! +2 ：（1）最佳已知值! = 2：375477 [Coppersmith和Winograd 1990和= 0：2946289 [Coppersmith 1997 yield = 2：697263。为了! = 3和= 0我们有= 3 + 1=5在上面的抽象t中给出（f. [Kaltofen和Villard 2002; Pan2002]。我们的技术将进一步结合[Giesbre ht 2001]中的思想，以产生一种随机化算法，用于计算整数矩阵的整数Smith范式。该方法总是快速且可能更好，并且具有相同的位多重性（1）。此外，我们由Hensel提升[Storjohann 2000b]计算整数矩阵的三次多项式。 同样，该方法为蒙特卡罗，具有位复形。和（1）。两个结果都使用了多项式矩阵的快速行列式算法[Storjohann 2002，2003.[Kaltofen 1992（见上文第二节）中的算法最初被用于不同的用途，即在条目的ommutative环中不进行除法、加法、减法和乘法的矩阵的多项式和伴随的hara teristi。幸运的是，blo king（见上文第三章）应用于我们最初的1992年免除法算法，我们得到了一个确定性算法，它在n+o（1）环加法、减法和除法中忽略了一个交换环上矩阵的行列式，其中：由（1）给出。指数= 2：697263似乎是目前已知的最好的无除法行列式问题。Baur和Strassen（1983）我们得到了一个矩阵在相同的无分裂多重性中的伴随对于hara teristi多项式，我们得到了O（n2：806515）环运算的确定性无除法多重性。这里的更高指数是k个算法的结果，如[Storjohann 2002; Jeannerod和Villard 2002; Storjohann 2003]中的无除法模型。在[Kaltofen and Villard 2002]中，我们已经确定了求整数矩阵行列式的其他算法。那些算法在我们都是有益输入的基础上表现得很好，但它们的比特复杂性比我们的方法更差。 一个SU H方法 这是克拉克森的算法[Clarkson 1992; Br？Nnimann和Yvine 2000，其中中间移动点s警报中的Mantisa位的数量对于获得一个或多个t符号是必要的，取决于矩阵的正交亏t。如果矩阵有一个大的rst不变量fa tor，则保留中文一种与随机线性解一起使用的方法4E. Kaltofen和G. 维拉尔通过Hensel提升系统[Abbott等人1999年（f.（1988年）。符号：通过S m n，我们用集合S中的条目来表示m n矩阵的集合。集合Z是积分器。对于A 2Zn，我们用kAk表示矩阵高度[Kaltofen and May2003：Lemma 2：WEBkAk=kAk1;1=最大k轴k1=kxk1=最大jai;jj：x6=0 1i;j nHen e A中所有条目的最大位长度及其符号，取决于exa t表示n，至少为2+b lo g2ma xf 1;kAkg。 为了使void为零或小于ned对数，只要不需要，我们就可以简单地使n k> 1。纸张的组织第二部分介绍了Coppersmith的Blo k Wiede-mann算法，并建立了虚拟矩阵生成器。在第二部分中，我们展示了生成元的决定子与哈拉-特里斯蒂矩阵的（多项式）不变因子的关系（定理4），其中基本上采用了凯莱-汉密尔顿性质的blo k版本。当短序列不为人知时，我们将被终止。 以确定最小生成器。 第三章交易blo k发生器的命名。我们是否给出了Knuth/ S h的推广？矩阵多项式的多项式商序列的nhage/Moen k算法通过随机化表明，在我们的情况下，所有的前元素都保持非奇异（引理8）。方案4提出了整数矩阵的新行列式算法，并给出了使用矩阵乘法算法时的运行时间分析（定理10）。第5章介绍了无除法行列式算法。方案6分析了引入快速矩阵乘法时我们的算法版本。渐近- i最佳结果由此得出。第七章介绍了整数矩阵的Smith范式和hara teristi多项式的算法。我们给予 在第8节中进行了思考2生成矩阵序列的多项式Coppersmith [1994]介绍了Wiedemann方法。在我们的研究中，我们还考虑了Villard 1997a，b中的解释，其中包含了线性控制理论的相关文献。我们的算法依赖于矩阵序列的最小生成多项式的概念。这一概念已在第2.1节中引入。我们还了解了发生器与Blo k Hankel矩阵的关系，以及所有基本面他们的名声。在方案2.2中，我们研究了生成元的行列式和史密斯范式，并看看如何使用它们来解决我们的初始问题。i=0XX在Wiedemann方法中，我们寻找线性生成多项式。在计数决定因素的多重性52.1发电机和Blo K Hankel矩阵对于blo k ve tors X 2Kn l和Y 2Kn m， l m矩阵的序列是B[0=XTrY;B[1=XTrAY;B[2=XTrA2Y;：：;B[i=XTrAiY;：（2）]多项式Pd[ii，其中[i2Km，表示为线性生成右边的序列e（2）如果d d d8天0： XB[j+i[i=XXTrAi+jY[i=0l：（3）]i=0i=0对于A的多项式最小值，fA（），以及对于Km，e[，fA（）e[2K[m是su h生成器b，因为它已经生成Kryl ovsequen efAiY[g i0，其中Y[是Y的第一个olumn。我们有一个没有一个旁边的一套所有的钻机HTVE TOR发电机。 这个集合形成了K[-subm oduleofK[-m oduleK[mand o n tain m linearly independe n t（o v er the eld of rational fun tions K（））]元素的一个K [-subm odule ofK [-m o duleK [mand o n tain m linearly inde ende n t（o v ertheeld of rational fun tions K（））]元素，即所有fA（）e [.此外，子模具有（i ntegral）基或v er K[]，即n个m个线性独立生成器的集合，其中的度由那些以多项式为底的矩阵的行列式为最小。 对应于所有积分基的矩阵近似地等价于K[m mm，其中行列式是K中非零元的单模性的否定。因此，我们可以为这个形式找到一个匿名矩阵，比如波波夫形式[波波夫1970]（参见[凯拉特1980：？6.7.2）从Nition获得以下内容。生成（2）多项式的唯一矩阵Popov形式，denot e d byFA;Y2K[mm，isa ll d最小矩阵基因r生成p-olyno-mial（生成器）.我们将在下面显示，deg（det FA;Y）n。从矩阵序列e（2）中生成多项式的 最 小 矩 阵 的 枚 举 由 几 种 相 互 关 联 的 方 法 实 现 。 一 个 是Berlekamp/Massey算法的诡辩推广[Rissanen 1972; Di kinson et al. 1974;Copper- smith 1994]。另一个概括垫的理论近似值[Forney Jr.1975年; VanBarel和Bultheel 1992年; Be Kermann和Labahn 1994年; Giorgi等人2003年。Berlekamp/Massey算法作为扩展EU Lidean算法的进一步实现的解释[Sugiyama et al. 1975; Dornstetter 1987]可以得出矩阵多项式[Coppersmith1994; Thom？2002年（另见下文第3条）。他的所有方法都解决了Lassial Levinson Durbin问题，其中矩阵序列是Toeplitz线性系统的一个blo k（Kaltofen 1995）。与Toeplitz/Hankel Matri的关系已成为建立某些属性的有用工具。6i=0i=067XXXXXX. ... ... .72637..6E. Kaltofen和G. 维拉尔对于度d和长度e，我们取l e乘以m（d + 1）blo k汉克尔矩阵B[0]B[1]：：[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10]4B[e1：B[d+e1 5]]F或anyve Tor发电机Pd[ii2Km]Hke;d+1246[0].[D]3对于所有e> 0，57= 0根据（4）的排名，我们推断出相反的情况。如果Hkn;d+1264[0].[D]357= 0（5）然后PD[ii是（2）的VE生成器。TheLaimFollowOWSfromtheFat T0对于所有e > 0 ，d+1=rankHkn+e0。最新的是Justi EdBY0观察到Hkn+e0的第（n+e）个blokrow中的nrow;d+1是线性的依赖于通过最小多项式fA对前一行进行排序，其中h有度（fA）n。我们观察到该排名（Hke;d）n对于所有d > 0; e > 02Hke;d =664XTrXTrAXTrA2..XTrAe 137YAYA 2 Y ：A D 1 Y5并注意到其中任何一个矩阵的等级都是最高的。因此，对于d °（FA;Y），（5）的所有解都是在K[by the olumns of FA;Y（）]上匿名生成的，其中h是Popov形式（见Nition 1）。在这种情况下，如果微型mmm发电机的Olumn度为Δ1Δm，则Hke;d+1in（5）overK的钻机尺寸为（dΔ1+1）++（m+1）。Hen erank（Hk e;d+1）=A1++Aem=度（detFA;Y）n对于d度FA;Y和en.Sin e the last blo k olumn in Hke;d+1 withd度（FA;Y）由先前的blo k olumns生成，偏移较低的度FA的olumns;Y（）不需要乘以的幂我们有对于d，等级（Hke;d）=度（det FA;Y）度FA;Y和en.（六）X XHke;d+1（A; X;Y）=（四）法复化XXX6 7 674545677776 0677717776 06777077760000006777766577775777766777757776XA =;X= Y =0 0 00 000 000 00B [4 =2]0 B [5 =0]0 B [6 =0]0 B [7 =0]0：0 000 0 00 0 060060664606000010在计数决定因素的多重性7d =度FA;Y具有完整的等级度（det FA;Y）。 任何omputing最小生成器需要rst度（FA;Y）+ emin元素（2）.我们给出了一个关于Q的例子[Turner 2002]。让我们20 1 0 03210300 10 0 0然后00 0 01 0 020 0 00 0 0 0B[0=1]0 B[1=0]0 B[2=0]0 B[3=0]0;00 0 0 0 0 0 0因此二三6 7和从Hk4;5（A; X; Y）=6460 0000 0 07 ;0 0 0 057223 20301 203 20300 203 203nullspa e Hk4;5（A;X;07 606 7 6 70060 606 七六七0160 606 七六七00Y）=span（67 ;6）7 ;6;7 ;67 ;67 ;67）0 701 570000 600640000 60046001我们得到FA;Y（）=10004+20=0 14.2 001.现在让X高于Y =1000TR001 0：然后B[0=1]0;B[1=0]0 ;B[2=0]1;7575一个现在可以做的最小emin知道h矩阵Hkemin;d为644664100000002 00000000000000000200000000000000000200000000000000000200000006777七七五77XXXXB[3=0] 0; B[4 = 2]0 ;B[5=0]0：X66670064018E. Kaltofen和G. 维拉尔0 0 00 0 00因此和从100 0 000000 1Hk4;3（A; X; Y）=0 0 00010 0 0000 0 0002 0000 0 0010000002 0;00000020 三二一三2 000nnullspa eHk 4;3（A;X;Y）=span（6）7 ;6 7）15764057我们得到FA;Y（）=1020 101=2 021二二二. 请注意这两点最小生成元的行列式为42，其中h是det（IA）。上面的例子，其中emin = 4 > deg（FA;Y）= 2，表明可能不需要超过2度（FA;Y）的连续e元素来绕过发生器，这与Berlekamp/Massey理论相反：需要Hk4;3（A; X; Y）的最后一个blo k行来限制对两者的零权。产生V-Tors。然而，对于随机投影blo k，X和Y都是度（FA;Y）和我很小。 让我们不要=最大d 1;e1;X2Kn l;Y2Kn mFrank Hke;d（A; X; Y）g：（7）然而，概率分析[Kaltofen 1995：第5条，Villard 1997 b：推论6.4]表明矩阵存在W2Kn l和Z 2Kn suh，相应的阶数Hk e0;d0（A; W; Z）= d 0 = d =me和e0=d= l e。 More over，等于I A的第一个mi nfl;m g不变因子的度之和（见下面的定理4），并且hen e X; Y an取自K的任何领域扩展。然后，由于W; Z的存在，对于X; Y中的符号输入，因此，根据[DeMillo和Lipton 1978; Zippel1979;Shwartz 1980]，对于随机输入，对于blo k维e 0 ; d 0，保留了最大阶数。注意，生成多项式的最小矩阵的 次 数 现 在 是deg（F A;Y）= d 0

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