埃及数学学会：一致凸Banach空间中三个有限族集值非扩张映象的弱收敛和强收敛定理

x2Ay2BJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，459埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章三个集值非扩张映象有限Rashwan Ahmed*，Saeed Altwqi埃及艾斯尤特大学理学院数学系，邮编：接收日期：2013年6月22日;修订日期：2013年10月8日;接受日期：2013年2013年12月24日在线提供本文在一致凸实Banach空间中，在一定条件下，得到了三个有限族集值非扩张映象的迭代序列的弱收敛和强收敛定理。我们的结果推广和改进了几个已知的结果。2000年数学潜规则分类：47时10分; 54时25分？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1.引言和附录设E是一个Banach空间，E的凸性模为函数dE：φ0;2] ！（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10已知Banach空间的弱紧凸子集和一致凸Banach空间的闭凸子集我们将K的非空有界邻近子集族记为P<$K<$;C<$K<$是.1ΣK的非空紧子集，并且CB<$K<$是所有K的非空有界闭子集，与[1]的文件。E是一致凸的当且仅当对所有s20;2]。一个子集K被称为邻近的，如果对于每个x2E，有存在一个元素k2K，使得设H是由K的度量d诱导的Hausdorff度量，由下式给出：.ΣHA;B;B;B;B;A;dx;kinffkx-yk：y2Kgdx;K：*通讯作者。联系电话：+20 1094352604。电子邮件地址：rr_rashwan54@yahoo.com（R.艾哈迈德），Saeedaltw-qi@yahoo.com（S。Altwqi）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier对于每个A; B 2 CBK。 很明显，PK2 CBK。多值映射T：K！PK被称为收缩，如果存在一个常数k2½0;1，使得对于任何x;y2K，H= Tx; Ty=6 kk x- yk;T称为非扩张的，如果H= Tx; Ty=6k x- yk;1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.10.008关键词公共不动点;三步迭代格式;多值非扩张映射;Banach空间;条件（A′）：dE压缩机1-2kx压缩机k：kxk 1;kyk 1;kx-yk 1/4s460R. 艾哈迈德，S。阿尔特夫奇ð Þ222k-k 2.不21/11/1XX1/4P使得对于每个自然数n2N，¨是个1/4 n; i 1.;01/1;1/1;迭代格式（1.2）简化为迭代格式（1.1）。1/21/2;1/2;X对于所有x;yK.的点xK称为T的一个不动点，如果xTx.在整个文件N表示一套所有的自然数和F T的一套不动点的T。让我们回顾以下定义。定义1.1[2]。 称Banach空间E满足Opial条件，如果对E中的任意序列fxn g; xn * x（* 表示弱收敛）意味的limsupn！1kxn-xk0，对于所有 r20;1 ， 使 得 dx;TxPfdx;FT 1/2 ， 对 于 所 有 x2K ， 其 中dx;FT1/2inffkx-pk：p2FTg以下是条件（A′）的多值版本定义1.3.本文讨论了三个集值非扩张映射族Ti; Si; Ri：K！CBK;i ¼ 1; 2; 3;... 其中K是E的子集，如果存在非减函数f：1/2 0 ; 1/20，则称满足条件A `n！1/20;1，其中f01/20 ;fr>0，对于所有r20;1，使得dx;TixPfdx;Fordx;SixPfdx;F ordx;RixPfdx;F for在一定条件下，具有不动点p的多值映射T的Mann迭代过程和Ishikawa迭代过程收敛于T的不动点q。他们还声称，固定点q可能不同于p。在一定条件下，Panyanak[8]将Sastry和Babu的结果推广到一致凸Banach空间. Song和Wang[9]注意到[8]中主要结果的证明存在空白。他们进一步修正了差距，并对Panyanak的开放性问题给出了肯定的答案Abbas等[10]在一致凸实Banach空间中，通过一步迭代逼近公共不动点，在一些基本的边界条件下，建立了两个多 值 非 扩 张 映 象 的 弱 收 敛 和 强 收 敛 定 理 . Rashwan 和Altwqi[11]引入了一个新的一步迭代过程来逼近三个集值非扩张映射的公共不动点。最近Eslamian和Abkar[12]提出了一种新的一步迭代方法，用于逼近满足一定条件的有限多个集值映射的公共不动点。他们在一致凸Banach空间中证明了这类迭代过程的弱收敛和强收敛定理。设E是Banach空间，K是非空的E和T的凸子集i：K！CBKi¼ 1; 2;. ;mbefinitely 许多 给定 映射。 然后， 为 x0的K 他们定义：Xm所有x2K，其中F¼K1/1FTi不好意思。TkFSi不好意思。Tk我的朋友，xn1an;0xn1/1an;izn;i;n2N; 1：1映射Ti;Si和Ri.其中zn;i2Tixn和fan;ig是在1/20; 1中的n个元素的序列]定义1.4[4]。一张地图！称CB_K_k_k为半紧的，如果对E中的任意序列fx ng，使得d_kx n;Tx n_k！0为n！1，则存在f x ng的子序列fxnrg，使得x nr！ p 2 K。我们注意到，如果K是紧的，则每个多-我们现在介绍下面的迭代方案，它满足（1.1）。设E是Banach空间，K是E的非空闭凸子集，Ti;Si;Ri：K！CB-2000; CB-2000... 其中k是三个集值映射的有限族。然后对于x02K，定义序列fxng1n1;fyng1n1和fzng1n1值映射T：K！CB-12K-12K是半致密的。接下来我们陈述以下有用的引理。引理1.1[5].设E是一致凸Banach空间，通过：xn1an;0xnki¼1an; iu n; i;¼ ¼ ¼r> 0是一个正数，设B r=0，fx2E：kxk6rg。然后，对于任何给定的序列fxig和任何给定的nnn;0xnnnK1/1 bn;ivn;i;n2N1：20序列ki2½0;1]，其中Pk ki1，存在连续的半小时！ ðÞ¼Kz 1/4 c x 1/4 c w;严格增凸函数u：0; 2rR;u 0 0使得对于任何正整数m; j，其中m j，0使得xn-p;yn-p;zn-p2Br0对于所有n;0nn;i6个CN;0ky-pk6bþn;ikyn-pk61/4bn;0kxn-pkþbn;ikvn;i-pk1/1ukvn;i-xnkXXXXKX¨¨XX“2Cn;i kwn;i-pkn;0n;i22n;0n;in;i引理2.2. 设E是一致凸Banach空间，K是非空闭凸子集.让T i; S i; R i：K！公司简介和克对于每一个1/4 1; 2;. ;k是三个多值非扩张映射，fx ng是定义在（1.2）中的序列。 如果F- ;且Ti p <$S i p <$R i p <$f p g对于任意p 2 F，则2nn;0¨xn1/1cn;iwn;i-p′X¨lim n！1dxn;Tiynlim n！1dxn;Sizn0lim n！1dxn;Rixn。证据 令p2F. 根据引理（2.1），limn！1kxn-pk存在，fxng是有界的，所以fyng和fzng是有界的。因此n=0xn-p6个CN;0kxn-pk1/1XK1/1cn;iwn;i-pnP0. 应用引理（1.1）和使用（1.2），我们有2-cn;0cn;iukwn;i-xnkXKKkxn1-pk2n;0xnan;iun;i-pé26个c kxn-pk2π1/1 cdwn;i;Rip2联系我们-cn;0cn;iukwn;i-xnk¼¨an;0ðxn-pÞ þK1/1an;iun;i-p6个c kxn-pk2πK1/1cn;iHRixn;Ri pK6a kx-pkaku— PK-cn;0cn;iukwn;i-xnkXK1/1-an;0an;iukun;i-xnkK6akx-pkadu;Tpn;i n;i in;0n-cn;0cn;iukwn;i-xnkK6个c kx-pk -c cukw— x氪1/11/4n;in2n;0n;in;i n-an;0an;iu kun;i-xnk1/4 kxn-pk— cn;0cn;iukwn;i-xnk：2：8K6an;0kxn-pkan;iHTiyn;Ti p1/1由式（2.7）和式（2.8），我们得到Xkhikxn-pkBkxn-pk-cukwn;i-xnkC-an;0an;iukun;i-xnknn;01/1n;in;0n;i-bn;0bn;iukvn;i-xnk2 2XkXk1/1bn;i-an;0an;iukun;i-xnk：2：6-bn;0bn;iukvn;i-xnkky-pk2½？bnKxbbv2-pé26kx-pk2-cK1/1cn;ibn;iukwn;i-xnkn;0nn;in;i1/1克-bn;0bn;iukvn;i-xnk：2：9由（2.6）和（2.9），我们得到：n=0xn-p1/1 bn;ivn;i-p2kxn 1-pk6an;0kxn-pkK62 21/1K n;ikxn-pk2-cK c bu kwn;i-xnk-bn;0bn;iukvn;i— xnk-bn;0bn;iukvn;i-xnk-an;0an;iukun;i-xnkK6个bn;0个Kxn— pkbn;iki¼1bn;idn;i;Sip26kxn-pk2-cXK-bn;01/1cn;i1/1bn;ian;iukwn;i-xnk6B kx-pk2K1/1bn;iHSizn;Si pn-an;0an;iukun;i-xnk：2：10从（2.10）我们得到，-bn;0bn;iukvn;i— xnkan;0an;iuun;i— xnkxn— pk -k xn1— PK6个bn;0个kxn-pkK1/1bn;ikzn-pk-cn;0Ki½1kcn;ibn;ian;iun kwn;i-xnk n— bn;0bn;iukvn;i-xnk;2：7— bn;0an;ibn;iukvn;i-xnk：2：111/122þn;022n;0221/1n;iKxn - pkCn;i Kxn -p k6an;0kxn-pkkxn-pk-cn;01/1Cn;iBn;i ukwn;i-xnk1/1-bn;02an;ibn;iukvn;i-xn2X2三个有限族46322！ð Þ ð¼ÞFG你好！1你好！1你好！1J你好！1k-kj你好！1L k-kln;0n;ir！1n1r！1n;in1113niNJ的fx ng使得x nr！q弱为r！对于某个q 2 K。n我我我n;0n;i n;i n1¼ ðÞ我我我n因此，在本发明中，lim supkxnr-zk6lim supkxnr-ynrklimsupkynr-zkan;0an;iukun;i-xnk6kxn-pk2— k×n<$1-pk;r！1r！11/4limsupkxnr-ynrkr！1这意味着，一 阿乌乌库乌 -xk6kx-pk261：r！1lim superd xnr;Ti qr！1令（M¼a一 ），然后X1Muku-xk6kx-pk61由于u在0处连续且严格递增，我们有limkun;i-xnk 0：6lim supplydxnr;Ti xnrlim supplydTixnr;Ti q6lim supkxnr-qklim supkxnr-zk：<这给出了一个矛盾，因此q^z2Ti q。同样，可以证明q2Si q和q2Ri q。现在我们证明了fxng在F中有唯一的弱序贯极限。为了证明这一点，你好！1设z;z 和z 是连续函数fxg;fxg的弱极限类似地，从公式（2.11）我们可以得到：limkvn;i-xnk <$$> limkwn;i-xnk <$0：和 fxnlgof fxng， 分别 和z1如上z1;z2;z32F和引理（2.1）的极限limn！1kxn-z1k;你好！1你好！1limn！1kxn-z2k;li mn！1kxn-z3k存在。然后，在Opial因此，我们得到d xn; Ti yn6 d xn; un;id un;i; Ti yn调理剂，limkxn-z1k¼ limkxni-z1k！ 0为n！1个;你好！1ni！10。根据引理（2.1），我们得到：现在对于m;nPn0，我们有kx-pk6kx1-pk<：kxnm-xnk6kxnm-pωk kxn-pωk我们现在表明， p r是K中的柯西序列。他观察到< 二、秒速时时彩：kp-pk6kp-xk kx-pk因此fxng是a的闭子集K中的柯西序列，r1rr 110为任意值。 从林敏开始！1dxn;F0，存在一个常数n0，使得对于所有nPn0，我们有二羟甲基纤维素nn n n ！ 0为n！一曰：现在对于每个i1/4; 2; 3;.. . 我们得到，d p; Tip6 d p; ynd yn; xn d xn; Ti ynH Ti yn; Ti p6dp;yndyn;xn dxn;un;idyn;p！ 0为n！1个;给出dp;T i p<$$> 0;i<$1; 2; 3;. ;k，这意味着p2Ti p.同样，让limn！1znp. 现在，对于每个i1;2;3;。 . . ;k我们得到d p; Sip6 d p; znd zn; xn d xn; Si znH Si zn; Si p6dp;zn dzn;xndxn;vn;idzn;p！ 0为n！1个;给出dp; S i p<$$> 0; i <$1; 2; 3;.. . ; k，这意味着p2Sip。同样地，让limn！1xn¼p.现在 为每个i 1/4; 2; 3;.k，我们得到d p; Rip6 d p; xn d xn; Ri xnH Ri xn; Ri p6dp;xn dxn;wn;idxn;p！ 0为n！1个;给出dp;R i p<$$> 0;i<$1; 2; 3;. ;k意味着p2Ri p。因此，p2FH推论2.2。设E是实Banach空间，K是E的非空闭凸子集.设T;S;R为三个多值非扩张映射，fx ng是定义在（1.3）中的序列。若F- ;且对任意p 2F，Tp <$Sp <$$> Rp <$f p g，则f x n g 强收敛于T ; S和R 的公共不动点当且仅当lim inf n！1dxn;F=0.定理2.4. 设E是一致凸Banach空间，K;fx ng与引理（2.2）中的相同。 让T i;S i;R i：K！CBK;i ¼ 1; 2; 3;... 其中，Ti，Si和Ri是半紧连续的.如果F-;和T i p <$S i p <$R i p <$f p g对任意p 2 F，则f xn g强收敛到T i ; S i和R i的一个公共不动点。证据 从林敏开始！1dxn;Tiynlimn！1dxn;Sizn¼0¼n你好！1<第四章：li mn！1dxn;Rixn，Ti;Si和Ri是半紧的特别是，inffkxn0pω2F，使得0nr466R. 艾哈迈德，S。阿尔特夫奇— pk：p2Fg4.<一定有一个第一节第二节第三节 ; k∈，存在fx n g 的子序列fx nrg，使得x nr ！P是R！1为一些p2k。由于Ti;Si和Ri对于每一个i 1; 2; 3;.是连续的;k，我们有三个有限族467FGFGFGRRdx nr; T i x nr！ dp; T ip;dx nr; S i x nr！ dp; S ip;和dx n;R i x n！dp;Rip：引用[1] S.B.小纳德勒多值压缩映射，Paci fic J. 30（1969）475[2] Z. Opial，非扩张映象逐次逼近序列的弱收敛，Bull。Am.数学Soc.73（1967）591因此，对于每1/2; 2 ; 3 ;...，我们得到d p; T ip dp; S i pd p ;R i p 0 。 . ;k_（10）和p_（2F）。 因为林！1kxn-pk存在，则xn强收敛于p。这个com-证明了一切。推论2.3。设E是一致凸Banach空间，K是E的非空闭凸子集.设T，S，R，是三个集值非扩张映射， Xn 是序列如（1.3）和T所定义，S和R是半紧的和连续的。 如果F- ; 且 T p R pf p g 对 于 任 何 p 2 F则xn强收敛于T的公共不动点;S和R.3. 结论在一致凸实Banach空间中，我们得到了逼近三个有限族集值非扩张映象的公共不动点的三步迭代过程，并建立了该迭代过程的强收敛和弱收敛定理.我们的结果推广和改进了文献[10，12，13]中的结果.确认在此，作者谨对审稿人和编辑提出的宝贵意见和建议表示感谢。[3] S.H.汗，H。张文龙，两个非扩张映象带误差格式的弱收敛和强收敛，非线性分析。8（2005）1295-1301。[4] A. Bunyawat，S. Suanti，一致凸Banach空间中无限多值拟非扩张映射族的收敛定理，抽象应用分析。2012年（2012年）。文章ID 435790，6页doi.org/10.1155/2012/435790。[5] R.A. Rashwan，A.A. Abdel Hakim，关于Banach空间中非自映射有限族的修正显式迭代的收敛性，JP J.不动点理论应用。3（2008）13-37。[6] J.T. Markin，Continuous dependence of fixed point sets，Proc.Am. Math.Soc.38（1973）545-547.[7] KPR Sastry，G.V.R.杨文，张文龙，等.不动点多值映射的Ishikawa迭代的收敛性[J].数学学报，2005（1）：117 - 118.[8] B. Banach空间中多值映象的Panyanak，Mann和Ishikawa迭代过程，Comp. Math. Appl. 54（2007）872-877。[9] Y.宋，H. 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