修正Krasnoselskii迭代法的强收敛定理及其在Hilbert空间渗流理论中

！¼¼埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，476原创文章修正Krasnoselskii迭代法的强收敛定理及其在Hilbert空间渗流理论中A.M. Saddeek*埃及艾斯尤特艾斯尤特大学理学院数学系收稿日期：2013年10月30日;接受日期：2013年2014年1月31日在线提供本文受He和Zhu [1]提出的修正迭代法的启发，提出了一种基于边界法的修正Krasnoselskii迭代法。本文给出了求非线性方程SHx0的最小范数解的迭代法的一个强收敛定理，其中SH是C到自身的非线性映射，h是C到[1/2 0;1]在希尔伯特空间s中被证明。同样，应用于平稳问题，渗流理论的发展。本文的结果是Saddeek等人的一些早期定理[2]的文件。数学潜规则分类：47 H06; 47 H10; 49 M05; 90 C25？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍不动点理论是一个有趣的话题，在数学的各个分支中有着广泛的应用。例如，在流体力学中，寻找非线性自映射不动点的迭代方法的发展在历史上一直是一项重要的事业。Krasnoselskii迭代法（KIM）是这些方法中最突出的例子之一。*电话：+20 882261719。电子邮件地址：dr.ali. gmail.com。同行评审由埃及数学学会负责设X是实Hilbert空间，C是X的非空闭凸集。设T：C是自映射.”（注3）“凡有所得，必有所得。x02C，一个序列fxng在C中，xn 11-sxnsTxn;nP0; 1其中s2½0;1]。应该注意的是，对于s1，KIM简化为Picard迭代（连续迭代）方法（参见，例如，[4]），即xn<$1Tx n;nP 0。KIM已被许多作者(see，例如，[5Saddeek等人在最近的文献[2，定理2]中证明了，在映射T上施加一定的适当条件下，KIM（1）的整个序列弱收敛1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.12.012制作和主办：Elsevier关键词Krasnoselskii迭代;强收敛;最小范数解;伪单调映射;Lipschitz映射;渗流理论修正Krasnoselskii迭代的一个强收敛定理477半]ð Þ¼ð Þ¼f9ð Þ⊂ ð Þ gð Þ单位：公斤fgð Þ22ð Þ1/4f 2g/ml-1/8gð Þ¼H-I你好！1！þ1þFGð Þð Þ2 ð Þ¼FG2.5升/小时ð Þ 2 2nnP1N0联系我们jxnbnj<1和P1/4cn<1，则lim n！1an¼0.在一个实Hilbert空间中的T的一个固定点。结果，然后应用到一个问题的流体力学。一个有趣的问题是如何适当地修改KIM（1），以便具有强收敛性？为此目的(iv) 潜力，如果1hT01hTxy;yidt;0本文受He和Zhu[1]的启发，提出了一种强收敛（用边界点法）的修正Krasnoselskii迭代法MKIM（2），用于求以下形式的非线性方程的最小范数解S hxx 0，其中S hx是C到自身的非线性映射，h是C到0的函数; 1定义如下。此外，委员会认为，我们将这个结果应用于渗流理论的平稳问题。本文所得结果是文[2]中某些定理的推广和改进。2. 预赛设C是X的非空闭凸集，T是C到自身的映射接下来我们用FT来表示T ;的不动点的非空集合！（*）表示强（弱）收敛，Mr.x.n.表示n.x.n.（i）的弱聚点集。例如，Mx nx：x nkx n：x nk*x）。 项目C X是从X到C的度量投影映射（i.e.projC xyX：yxinf x2Cxz）。投影映射的特征如下（参见，例如，[12]）：(v) 在0处解闭，如果对于每个序列 xnC假设x n*x和Tx n！0;n！1暗示x2C和Tx1/40：3. 边界点法MKIM为了说明我们的算法，我们引入，如[1]，h：C！1/2（ 1hxinffa2½0;1]：ax2Cg;8x2C：函数h x定义得很好，因为C是闭凸的。在[1] 中已经注意到，如果02C ，则对于所有x2C ，hx1/40，并且如果0RC，则对于每个x2C，h xx2@C和hx>0（对于矛盾，假设在0RC的情况下h xxR@C，很容易验证hxx是中的内点。C，存在足够小的d>0，使得提案2.1. 给定x2X和z2C。 然后z¼ projCx我们有h x的定义2C. 这违背当且仅当hx-z;y-zi60;8y2X：概念Ux;d和@C分别用于表示球面邻域的X的半径d> 0：Ux; d1/4 fy 2X： ky-xkd g和C的边界（当C为<. 注意C是闭凸的，因此，hxx2@C）。 有关[1][2][3][4][5][6][7][8]让T：C！C是一个自映射。那么边界点的MKIM由x0¼x2C给出，并且xn 11-shxnxnsTs xn;nP 0;2关闭）：@CxX：U x; dXC-/ d >0。由于F T是X的一个非空的、闭的和凸的子集（参见，例如，[13]），所以存在唯一的x^FT满足以下条件：其中s2<$0;1 <$;Ts注3.1.1/41-s1/2sT和P1n01.kx^k 1/4minfkxk：x2F最小值：也就是说，x^是T的最小范数不动点。换句话说，x^是原点到F<$T<$的度量投影，即x^^projC<$0<$。定义2.1（见[14 对于任何x;y2C映射T：C！C被称为如下：(i) 伪单调，如果它是有界的，如果对每个序列fxng∈C，使得x n*x和lim sup Tx n; x nx 60;你好！1暗示lim infhTxn;xn-yiPhTx;x-yi;(ii) 强制性，如果hTx;xiPqkxk kxk;nlimqn 1;(iii) Lipschitzian，如果存在L>0，kTx-Tyk6Lkx-yk(i) 如果0 RC和h x1，然后MKIMX由（2）给出的KIM恰好是对应于相关映射Ts的KIM。(ii) 如果0C（i.例如，h xn0），则由（2）给出的MKIM x n恰好是对应于相关联的映射Is Ts的Picard迭代。(iii) 由于C是闭的和凸的，从h x的定义可以得出，对于任何给定的x C;cx C对每个ch x x;1成立，这意味着xn C是有保证的。(iv) 在0RC的情况下，计算值h xn意味着确定h xn xn（C的边界点），因此我们的修正方法称为边界点法。引理3.1（参见例如[17，18]）。 让 an 是非负实数序列，满足an=16n =1-xn=an=xn =bn=cn;8n= P0;其中，xn<$$>0;1<$。 如果P1n0xn1，则limupn！1bn60或¼n¼0ZZ;478上午萨迪克2Z22ZZZð ÞFG你好！1你好！1Zkk1k-k12n11n10n101n10n-nZ1/4 Fh×100mm引理3.2（例如参见[19]）。 对于所有的x;yX，以下结果成立：kxyk6kxk2hy;xyi：4. 强收敛定理在这一节中，我们证明了一个强收敛定理，这是我们的主要结果。定理4.1.设C为非空闭凸集1F1xn-F1xn1h Shxntxn;xni- hShxntxn1;xn1dt011/4hShxnxn1txn-xn1t;xn-xn1t011/4hShxnxn1txn-xn1t;xn-xn1t01-hShxnxn;xn-xn1idthShxnxn;xn-xn1i01PjhShxnxn1txn-xn1-Shxnxn;xn-xn1>ijdt0hSh这与（2）和（6）一起给出，一个实Hilbert空间X，设T是C到Fx-Fxn-kx-xk2s-1hx-x;x-xi本身对于上面定义的函数h x，设S hx：C！ C1n1n1nn 1nn1nn1是由S定义的非线性映射hx x¼hPkkxn -xn1k2;k1/4s-1-1s：107mmx 假设S hx在0处解闭，强制的、潜在的和有界的，并假设存在因此，F <$x<$6F<$x<$6F <$x <$，的 是x2S。一个非负实值函数r= x; y= y，使得记住x02S0（根据S0的定义），断言超级x;y2Cr=x;y=1和dxn2S0;nP0遵循归纳法。因此，fxng有界。因此，fShxnxng和fF1xng也有界（由（2）和r x; yk x- ykPk Shx x- Shx yk;8 x; y2 C：3然后由（2）生成的MKIMfxngC，其中1n0hxn1和0sminf1;1g，强收敛于（4））。由于通过（7），序列fF1<$xn <$g是单调的，因此可以得出limn！1F1xn存在。这与（7）一起意味着，x^^proj=0g，其中F^fx2C：S^sx^^0g。证据我们首先证明xn是有界的。为此，它足以证明，fxngS0;kxnk6R0;nP0;limkxn-xn 1k <$0：8因此，从（2），我们有limkShxnxnk <$0：19现在，我们证明了fxng的所有弱聚点都是F的元素.fxng的有界性意味着存在哪里 S0¼ fx2C：F1x6F1x0g;R0¼supx2S0 kxk，以及子序列fxnkg <$fxng使得limk！1kxnk-xωk存在到某个xω2C。这一点，连同（9）和半封闭性F1：X！ [1]是一个函数，定义为：的S hx ，则xω2F.1F1×0观察到映射Sh <$x <$x的强制性意味着泛函F1是强制性的，因此R01。<此外，观察到映射Sh<$x <$$> 的 有界性意味着supx2S0Sh<$x <$x。< 因此，MKIM定义得很好。通过归纳。假设xn2S0为nP1. 然后Fx6Fx。使用（3）并将r写成r，我们有现在使用与[20，p.70]中相同的论点，它可以是证明了f x n g所有弱收敛序列都有一个新的极限.快！1xnxωexists，因此Mr.xnF：10现在我们将展示limsuph-x^;xn1-x^i60：11事实上，设fxnk 1g是fxng的子序列，使得xnk1*xω;limsuph-x^;xn1-x^i <$limh-x^;xnk1-x^i：kSh xxn1txn-xn1-Sh xxn k你好！1国王！16rkt-1xn-xn1 k 6rkxn-xn 1k;5对于t2½0;1]。由于x^是原点在F上的度量投影，我们从x^2F和命题2.1得到：这导致limsuph-x^;xn<$1 — x^i 1/4limh-x^;x nk1— x^ijhShxnxn1 t xn-xn1-Shxnxn;xn-xn 1ij你好！11/4h-x^;xω-x^i60：12h6rkxn — xn1 k：106最后，我们证明了李明！1kxn-x^k1 / 40。从（2）和由于Shx是势函数，通过（4）我们得到：引理3.2，我们有P你好！1国王！1修正Krasnoselskii迭代的一个强收敛定理479你好！11/4f2gð ÞLP.Σ¼e¼f 2 ¼ g20þðnÞ22M22kxn1-x^k21/ 4 kxn-sShxn-x^k21-shxnxn-x^sTsxn-hxnx^k61-shxnkxn-x^k2shTsxn-hxnx^;xn1-x^i使用A的Lipschitz，可以得出条件（3）满足rL。现在，我们证明S在0处是半闭的。2小时10分钟61-shxnkxn-x^k2shxnh-x^;xn1-x^i2shTsxn;xn1-x^i61-shxnkxn-x^k22shxnh-x^;xn1-x^i 2skTsxnkkxn1-x^k：设fx ng是C中的一个序列，其中k为Ax n-fk！0为n！1和xω2M<$xn <$。设xn1-xn1;an1-xn-x^k2，bn1-xn1 -x^k 2，þc½2skTxk x-x^k。则P1x¼1;limsupbnSn你好！1Nnn1n¼0¼¼然后我们必须证明x2F.假设60和P1n0cn<1，（10）-（12）。现在应用引理3.1，我们得到xnlimsuphAxn;xn-xωi60：16这就完成了定理的证明。 H5. 渗流理论在这一节中，我们将重点讨论的最小范数解通过A的伪单调性，我们有liminfhAxn;xn-yiPhAxω;xω-yi;8y2C：17现在我们来看看（16）limsuphAxn-f;xn-xωi6 limsupkAxn-fkkxn-xωk60：非线性伪单调方程这个方程出现了你好！1你好！1在渗流理论中。设X是Rm; mP 1; mP 1的开有界集，Lipschitz连续边界C/2C0[C1;mes Ci>0;i/20; 1. R ;m P1上的内积和范数将被分解为：指出通过中文（简体）和j：j，分别我们让X¼ fy10/4lim suphAxn-f;y-xni6hAxω-f;y-xωi;8y2C：这表明xω是变分不等式的解hAxω-f;y-xωiP0;8y2C， 和 因此 （参见， 为2W0;u2Cg和f2X已知。我们选择例如，[14]），xω2Fe. 因此，我们有Shx是半闭的在0和xω2F. 结果由定理4.1得出。 HCyX：Y U P 0;uC1.现在让我们考虑下面的非线性方程：轴向¼f;轴向13 °其中，A是在C上定义的非线性映射，hAx;yi ¼Zgjrxj2jrxj;rydu;x;y2C;14Xg n2n是定义渗流定律的函数（例如，参见[21]）。我们假设g是连续非负的，当n>b时g为零（bP0是极限梯度），当n>b时g严格递增，并且存在c0;c1;c2>0使得c1n-b6 gn2n6 c2n-b;nPbgðnÞn-gðgÞg引用[1] S.他，W。Zhu，用边界点法求非扩张映射的极小范数不动点的修正Mann迭代，Abst.应用分析2013（2013）6页。文章ID768595。[2] A.M. Saddeek，S.A. Ahmed，Banach空间中伪单调型非线性方程的迭代解，Arch。（BRNO）44（2008）273-281。[3] M.A. Krasnoselskii ， 关 于 逐 次 逼 近 方 法 的 两 个 观 察 ，Uspehi Mat。Nauk 10（1955）123- 127.[4] Z.张文，等.非扩张映象的逐次逼近序列的弱收敛. 数学n-G6c0;8n;g>0Soc.73（1967）591-597。[5] H. Schaefer，Uber die methode sukzessiveapproximation，在上述条件下，映射定义为：（14）是伪单调的，潜在的，强制的和Lipschitzian（见，例如，[21定理5.1. 让A：C！ C是伪单调、势、强制和Lipschitz映射。那么序列fx ng由x01/4x2 C生成，x n1¼x n-sAx n-f;nP0：150其中0

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