阵列10（2021）100062基于软计算的多目标参数调整多服务竞争拥挤位置定价优化算法Parviz Fattahia，Vahid Hajipourb，*，Sara Hajilooca伊朗德黑兰Alzahra大学工程学院工业工程系b伊朗德黑兰伊斯兰阿扎德大学西德黑兰分校工业工程系c伊朗哈马丹Bu-Ali Sina大学工程学院工业工程系A R T I C L E I N F O保留字：基于软计算的算法竞争性设施选址定价理论家A B S T R A C T在过去的十年中，吸引了许多研究人员的问题之一是定位设施，即医院，商店，银行和自动取款机的问题。社区人民的基本需求之一是方便地使用这些设施，以便花费很少的时间就可以到达这些设施，并以较低的成本获得他们的设施。本文研究了考虑现有设施与新设施竞争的拥挤设施选址定价问题，建立了M/M/m/k排队系统的双目标非线性数学模型。在第一个目标中，通过最小化建立设施的总成本、运送顾客和排队顾客的期望时间来最大化系统的利润，在第二个目标中，设施市场的份额最小化。所提出的模型属于非线性整数规划问题的范畴，由于问题在大规模下的复杂性，为了求解该模型，已经提出了不同的方法，例如多目标元启发式算法，包括非支配排序遗传算法（NSGA-II）和多目标粒子群优化算法（MOPSO）。最后，通过应用田口方法，验证了NSGA-II算法的有效性。1. 介绍如今，设施选址问题与其他方法的结合，如结构，定价，竞争等，这一现象越来越突出，并引起了研究者的注意以往的设施建设都是伴随着竞争而进行的，各个设施为了争夺更多的市场份额而竞争 在本研究的情况下，客户需求取决于价格和距离参数，因此注意定价策略是重要的。 采用适当的定价策略控制到达率，从而控制排队长度，综合考虑以上因素，提高顾客满意度。在决策定价变量之一的问题中，目标函数是最大化系统的利润，而在排队问题中，目标通常致力于最小化成本。将设施选址问题与排队结构相结合在现实世界中的各种应用已经变得非常重要。为Berman和Larson [1]首次在具有M/G/1结构的排队网络中确定了服务提供者的最优位置Wang等人[2]提出了几种容量受限的设备模型，研究了定位服务提供商在通信网络和ATM中的应用。事实上，这些模型已经扩展到固定服务位置、限制服务能力和随机需求存在的情况Berman等人[3]提出了选址问题的M/M/1/k排队模型假设所选设备的数量具有对k的排队长度约束，并且由于模型约束可能会丢失一定百分比的客户需求本文使用九种创新算法进行了实验分析。Fernandez和Hendri X[4]将位置、定价和队列的概念与单便利化位置问题相结合，以最大化便利化的收益，并得出结论，客户需求率取决于价格、距离，等待时间取决于设施，并提供了求解所提出模型的算法。 Zarrinpoor和Seifbarghy [5]开发了一个具有排队结构M/M/m/k的竞争模型，其中* 通讯作者。电子邮件地址：p. alzahra.ac.ir（P. Fattahi），vahid. gmail.com，hajipour. wtiau.ac.ir（V. Hajipour），sara. gmail.com（S. Hajiloo）。https://doi.org/10.1016/j.array.2021.100062接收日期：2019年9月25日;接收日期：2020年10月15日;接受日期：2021年3月21日2021年3月26日网上发售2590-0056/©2021由Elsevier Inc.发布这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表阵列期刊主页：www.elsevier.com/journals/array/2590-0056/open-access-journalP. Fattahi等人阵列10（2021）1000622以获得一定比例的市场份额和最小化总成本为目标，采用遗传算法和贪婪搜索两种元算法对模型进行求解选址问题可以根据不同的特征以不同的方式进行分类这些类别中的一些类似于传统的选址问题的类别。 第一个关于竞争性区位的研究是由Hotelling在Ref. [6]的文件。为了获得更多的市场份额，企业需要关注客户的需求和期望，这是客户观点中最重要的特征之一。在他们的研究中，研究人员将不同的竞争品质描述为对供应链竞争力有重大影响的客户的重要因素 研究表明，零售商对产品的价格会影响每个竞争对手的需求。距离也被认为是一个重要的竞争特征。在最近的研究中，价格也被认为是一个重要因素。然而，在Fernandez等人的几项研究中[7];距离被认为是价格的重要因素。服务水平是竞争的另一个重要特征虽然不同的研究对服务水平的描述有所不同。Berman等人[8]引入了位置定价问题，以最大化总系统利润，然后扩展了他们的研究，考虑了几个设施。他们研究了具有n个需求点的网络上的m个设施的位置，考虑到客户可以在登录之前通过查看队列的长度来所有设施的报价被认为是相同的，排队系统被认为是M/M/1。Hajipour等人[9，10]进行了该领域最重要的研究之一;他提出了一个具有M/M/1排队系统的多目标多层位置分配模型为了解决他们的模型，他们提出了两个多目标元启发式算法，一个基于多目标优化减振，另一个基于多目标和声搜索算法。Magh- soudlou等人[11]介绍了一种用于优化遵循M/M/m队列系统的多向3D多服务器供应链的双目标模型，并使用MOPSO算法对其进行求解。Fernandez等人[12]研究了二元和半二元的竞争性位置问题，并制定了一些新的位置的选择，用于在潜在的点之间建立设施，这些点是成功建立的公司，并解决了这个问题。他们将这个问题归因于客户的行为，并得出结论，增加市场份额只取决于设施和客户之间的距离。他们提出了两种启发式算法来求解该模型，并用它来评估经典的遗传算法和一些实际的例子。Hajipour等人。[9，10]提出了一个双目标位置定价提出了一个具有M/M/m/k排队系统的模型，其中服务提供者的数目是固定的，需求是随机的.由于设施选址问题是一个比较困难的问题，因此采用基于振动理论的多目标优化算法对模型进行求解。在这个双目标模型中，模拟系统产生的利润最大化，排队顾客的总等待时间最小化。Gorji等人[13]提出了一个离散空间中的竞争性主从设施选址问题的模型本研究的目的是审查新设施建立的最佳位置，并寻求增加其市场份额。表1显示了近年来设施选址问题领域最重要的研究概况研究了在拥挤条件下，设施提供多种服务的竞争性位置定价问题。 该问题是一个双目标数学模型，以最大限度地降低总成本，同时最大限度地提高服务水平的客户。目标和经营方式存在矛盾，难以实现这些目标。一个组织只有在竞争激烈的市场中才能生存，因此定价策略可以被认为是竞争环境中最重要的决策之一。为此，新的设施与以前的设施争夺市场在第2节中，问题陈述和数学公式-的描述。为了验证所提出的模型，在第4节中给出了数值例子。最后，在第5节中给出了结论和建议。2. 问题公式化设施选址-定价问题是研究在潜在点之间寻找一个地点建立若干设施的重要选址问题之一，而在原有设施之间建立设施一直是一个长期存在的竞争，因此各个设施之间会为了获得更多的市场份额而竞争在这个问题中，我们购买设施;这些设施中的每一个提供不同的服务，客户将根据他们的需要去每个设施客户随机要求他们需要的设施在各种选择，并旅行一段距离，他们面对考虑的设施。由于客户的到来是随机的，他们往往是拥挤的，因此必须排队获得服务。考虑的排队系统取决于设施的几个因素图1示出了问题网络结构的方案。针对该问题考虑的假设和目标包括：表1位置定价问题的重要研究综述年作者排队主要范围竞争定价求解方法[14个]Alzheolian等人M/G/1拥挤设施✓启发式[第十五条]Drezner等人M/M/k多服务位置问题SA、TS、下降&[五]《中国日报》扎林普尔，塞夫巴吉M/M/m/k位置竞争问题✓TS，GA[16个]Pasandideh，NiakiM[x]/M/1多用途设施的选址问题嘎洒&[17个]拉赫马蒂？昌巴里M/M/1位置分配问题NSGA-II、NRGA&[18个国家]Fernandez等人-竞争性定价选址问题✓✓B B Weiszfeld&[19个]贾亚斯瓦尔？维迪亚尔蒂M/G/1位置分配问题CG[20个]Renando等人-定位和设计有竞争力的设施✓MOEAD、SPEA2、NSGA-II&[21日]Drezner等人-竞争选址问题B B TS&[9、10]Hajipour等人M/M/m/k定价选址问题✓NSGA-II[9、10]Hajipour等人M/M/1位置分配问题✓NSGA-II MOSA&[22日]Zhou等人-竞争选址问题✓GA[23日]Tavakkoli-Moghoun等人M/M/m/k定价选址问题✓NSGA-II[24日]Nasiri等人竞争选址✓遗传粒子群算法&问题[25日]Khodemani等人M/M/C选址问题NSGA-II HSA&2019Zamberano-Ret et et al.[26]竞争性定价选址问题✓✓PSO[27日]盖扎瓦蒂？艾哈迈迪竞争选址✓Benders问题本文研究M/M/m/k竞争定价选址问题的NSGA-II多目标粒子群算法&P. Fattahi等人阵列10（2021）1000623XXP.P.P.XXXFig. 1. 表现为M/M/m/k排队的设施选址问题。● 为了获得服务，需求点向正面移动cility。这是固定服务器的类型最大化¼XX。pcj-cscj<$τcj-XXfjycj-XXXτcjπjtcijj2N c 2Rj2N c 2Rj2N c 2R i2M每个设施都有不同的服务成本。每个设施不提供所有服务。设施中有不同的服务类型。● 从历史上看，客户选择适合其需求的设施-θjwjτcj（1）j2N c 2RPPPλcijp;dxcij它们的进入率服从泊松● 每个客户只从一个设施获得服务● 各设施的服务时间服从指数分布最大i2Mc2Rj2Nλcij p;d xciji2Mc2Rj2N[N0（二）● 每个设施中的服务器数量可以多于一个。● 系统容量有限。λcij100 mg/kg — αcip cj — dijβci 8c2R;8i2M;8j2N[N0（3）]目标是以尽可能低的成本建立一个设施，同时不降低服务质量此外，最大数量的人可以访问该设施，因此客户可以花一点时间获得所需的设施，并以低成本和低等待时间获得服务，这些设施将最大限度地提高他们的利润，并将与其他设施竞争，通过应用τcj/λcijp;dxcij8c2R;8j2N[N0（4）i2Mτc j.1-πkj≤mjkj8j2N[N0;8c2R（5）N[N0Rπ0j。τcjmjRJ HKM1.-是的克Mi●●P. Fattahi等人阵列10（2021）1000624正确的政策。表2总结了所提出的模型的变量、参数和决策变量的值wj¼j1：c1 mj！ μj. 1-rj21-rjj-j-1-rjkj-mj1rjj-j（六）P. Fattahi等人阵列10（2021）100062表24XX¼jτcjPXXCJ总结参数和决策变量。参数M客户节点N潜在设施N0竞争对手的位置集V（V≤N）最大可值班服务器数量R提供设施Ny cj≤V 8c2R（14）j1ycj2 f0;1 g 8j 2N;y cj1 8j 2N0; 8c 2Rxcij2 f0;1 g 8i 2M; 8j 2N[N0; 8c 2Rλcij≥08i2M;8j2N [N0;8c2Rpcj≥08i2M;8j2N [N0I（i1/41，j（j<$1，c（c）1，dij从客户i到设施节点jfj建立或购买设施的费用j服务类型c的节点j处的服务速率wcj≥08i2M;8j2N[N0τcj≥08i2M;8j2N [N0kj≥0;mj ≥0;（十五）gci服务类型c的客户节点i中的用户的数量（i/1，&…cscj作为设施j中的一种服务c的服务成本;（i^l，&…αci服务类型c的客户节点i中的价格敏感系数;（i^l，&…βci服务类型c的客户节点i中的距离敏感系数;（i<$1，&c¼1，在客户节点i到服务类型c的设施j之间的行进时间;（i/1，&&…πj每时间单位到节点j的旅行成本（j<$1，θj每时间单位在节点j处的等待成本（j1/4 10为服务类型c的开放竞争者j提供服务的成本;（j^l，&...，N c ^l，…,决策变量：xcij，如果服务j的客户i被分配给设施j1，否则为0;（i^l，&1/4 1&ycj如果设施j提供的服务c打开1，否则0;（c<$1，&…服务c的客户i到设施j的数量;（i^l，&&…τcj是服务c的开放设施节点j处的需求率;（c^1，&&1，mj在打开的设施j处的服务器的数量;（j^l，kj表示开放设施j的容量;（j<$1，...，N）第一个目标函数最大化系统的总利润。第二个目标函数最小化先前存在的设施的市场份额。 与两个目标函数的约束有关的解释如下：在Eq中的第一个约束（3）表示顾客的需求率约束条件（4）显示了每个设施中客户的进入率，它是价格和距离的函数。约束条件（5）表示每个设施的服务能力约束（6）显示了客户在设施中的等待约束（7系统中的顾客数是一个生灭过程，服从一个具有适当速率的稳定分布，该分布可以通过一个具有相应传递矩阵的马尔可夫链和Little定律从排队的主要功能推导出来。约束(11)表示所有要求都得到满足。约束条件（12）表明，所有提供c服务的j个设施最多可以提供R约束条件（13）表示所有客户仅从开放设施接收服务。约束（14）示出了可以建立的最大可能能力约束（15）显示了决策变量的范围3. 问题优化为 了 解 决 这 个 问 题 ， 我 们 采 用 了 多 目 标 粒 子 群 优 化 算 法（MOPSO），并将其与rτcjc2Rmjμj8j2N[N0（7）最好的基于Pareto的算法称为NSGA-II。3.1. MOPSOO;j/4“mPj-1PR.伊什1PR.τcjMJ 1王空军rjs-mj#8j2N[N0（8）]由于模型的复杂性和空间配置，μjs！s<$0c <$1μjc1mj！ s/mjPSO算法的结构（由参考文献介绍）。[28]这是能够解决这个问题，它被使用。粒子群优化算法是基于群体智能，并保持探索和C¼X。τcj118j2N[N0（9）J剥削此外，我们发现粒子群算法提供了非常快速和准确的解决方案。kjμc2Rjmj！mkj-mj此外，粒子群算法只需较少的迭代次数就能获得全局最优解与其他算法进行比较（参见第3节）。我们比较了πkj^CKJπ0;J8j2N[N0（10）xcij18c2R;8i2M（11）j2N[N0Rycj≤R8j2N[N0（12）c1xcij≤ycj8c2R;8i2M;8j2N[N0（13）提出了MOPSO与最先进的多目标进化算法NSGA-II。3.2. NSGA-II如引言所述，多目标竞争选址定价问题是一个NP难问题，有两个目标函数。因此，精确解方法不能用来解决大规模的问题。由于多目标元启发式遗传算法已被证明是可以接受的，在解决一些问题的非-p1πþΣP. Fattahi等人阵列10（2021）100062表25表3第一部分使用答案向量。染色体结构第一候选点第二候选点第3个候选点第四个候选点第五个候选点第一次服务203.18563.09942.55342.83603.54第二次服务661.04729.34145.24735.03524.26P. Fattahi等人阵列10（2021）1000626表4第二部分使用答案向量。染色体结构第一候选者点第二候选点第3个候选点第四个候选点第五个候选点第一次促进第二次促进第三次促进第一名0.81服务客户第二次0.900.150.970.650.030.700.030.430.380.270.670.750.250.840.25客户第三次0.120.950.840.270.760.650.500.81客户第四名0.910.480.930.040.180.160.690.24客户第五名0.630.800.670.090.480.110.890.92客户第二名0.090.140.750.820.440.490.350.95服务客户第二次0.270.420.740.690.640.950.540.19客户第三次0.540.910.390.310.790.340.130.25客户第四名0.950.790.650.950.700.580.140.61客户第五名0.960.950.170.030.750.220.250.47客户图二. 样品溶液表示。支配排序，它可以是解决这个问题的一个合适的选择。NSGA-II是Deb等人提出的基于Pareto的最佳算法之一[29]. 在本文中，由于决策变量的数量很大，因此使用了五部分染色体来确定每个变量的数值该问题中使用的解向量的第一至第二部分分别如表3- 4所示，该问题中使用的解向量的第三至第NSGA-II和MOPSO算法用于说明的解决方案表示，以解决所提出的模型。4. 结果分析为了分析所提出的模型，30个实验问题，Hajipour et al.[9，10]使用。这些问题是使用随机量来解决的，除了根据模型的性质，在定义一些参数时进行了一些修改每个参数的分布为：第j个新设施的建立或购买成本fj在[10，000，15，000]范围内服从连续均匀分布表6MOPSO算法中参数的水平参数建议参数值小号中号大号表5NSGA-II算法中的参数水平nPopnRepW75500.550500.575500.5参数建议参数值C10.10.10.1小号中号大号C20.10.10.1nGrid577nPop75100100阿尔法0.20.20.3pCrossover0.80.80.8Beta555pMutation0.20.20.2伽马355●P. Fattahi等人阵列10（2021）1000627●2●2●2每单位服务的服务成本C，CSj在[100，500]范围内服从对于所有不同的服务，价格敏感度系数αcj和客户节点的距离Bcj在范围[1，10]内服从均匀分布第i个客户和第j设施之间的距离在[100，500]范围内遵循连续所有gci节点上的服务用户数在[5000，10，000]范围内服从离散第j节点的服务速率在[100，1000]范围内服从连续均匀分布第j个节点上每单位时间的等待费用θj在[1，5]范围内服从连续均匀分布。● 从节点i到设施j的旅行时间t ij和时间单位为πj到j节点的旅行时间都服从连续均匀分布在的范围的[0.1、1]。竞争对手设施mj &j中的服务提供商数量N0在[0，20]范围内服从离散均匀分布.竞争设施的队列容量k j &jN0在[0，20]范围内服从离散均匀分布.竞争对手设施的服务价格Pcj &jN0在[0，700]范围内服从连续均匀分布。图三. NSGA-II中平均值的主效应图见图4。NSGA-II中SN比的主效应图●●●●●●P. Fattahi等人阵列10（2021）1000628图五. MOPSO中平均值的主效应图见图6。 MOPSO中SN比的主要影响表5- 6中给出了在数值示例中使用田口方法的NSGA-II和MOPSO算法的参数设置结果图图3-4分别示出了在通过NSGA-II算法执行的测试中平均值和信噪比的主要影响。图图5-6分别示出了在由MOPSO算法执行的测试中平均值和信噪比的主要影响。在下一节中，我们尝试检查NSGA-II和MOPSO算法，以便更准确地计算平均理想距离、多样性、距离、Pareto解的数量和计算时间的五个度量;比较是在这些指数的基础计算和比较指数的结果见表7。突出显示的值实际上代表了每个算法在特定索引中每个问题中获得的最佳结果值得注意的是，这些指数是在对目标函数的值进行归一化之后计算的从表7的结果可以看出，NSGA-II算法在间隔和平均理想距离这两个指标上几乎绝对优于MOPSO算法。然而，在最扩展的索引中，两种算法具有几乎相同的性能，并且在此准则上没有一种算法可以被认为是更好的。另一方面，MOPSO算法已经能够产生更多的Pareto解决方案比P. Fattahi等人阵列10（2021）1000629表7通过对NSGA_II和MOPSO两种算法的比较，得到了实验数据问题编号Pareto解空间度量多样性度量平均理想距离度量时间NSGA-IIMOPSONSGA-IIMOPSONSGA-IIMOPSONSGA-IIMOPSONSGA-IIMOPSO141500.022060.0410211.2438131.2702730.8697090.85403212.1210.76226360.0277150.0253381.3008750.9487740.9042470.92917714.4312.98323100.0810730.1911441.345651.0080460.7915470.78896217.8414.73426130.0423310.055961.3864741.1455980.9778890.98902822.7421.90541440.0306910.0223111.4142140.6804420.9079840.97811227.9822.72639280.0236970.0520381.1197011.3519960.8422780.94049333.5428.10732350.0189090.0550811.1107231.2086980.7815240.90124954.8932.71837280.0288880.0730841.1104621.2617390.8165260.90424878.8748.91941490.0259930.0333861.4142141.27560.9366931.00593796.9189.981029190.0631520.0479091.2878541.221290.823830.916433101.71100.811139490.0120840.030860.788611.3558230.6990080.916091143.73143.111239410.0384930.0643831.2892891.2810350.8413450.926292149.83148.911338470.0324970.0555511.1300551.2697370.8148690.923599178.98176.911437500.023880.0583441.16511.2209760.8534480.834216189.71181.911542420.0257210.0427831.2189341.3460020.8235480.926535210.73201.711643490.0207430.0423761.2145631.3138640.9102630.941509258.73230.811841250.0235810.0907611.113021.1600050.7398060.836011289.98271.121843370.0378760.0663211.0256071.2841040.811450.98707349.82343.781940370.0311040.0755741.4142141.1208170.8697460.958915388.87381.602042430.027490.0610721.2416151.2278410.8840330.944967482.01476.182138430.0884080.0345461.4142140.8386850.7763550.759314650.81620.222236430.0245830.0716991.1810431.1968710.8362350.966735750.81780.812343410.017560.0619731.1167981.3067010.8051830.915266890.71910.742438470.0337870.0553691.4093151.3969020.9280970.9903991098.871299.772542500.0506670.0692411.4142140.9095820.864830.8651661161.631309.122640400.0238980.0615371.3547851.0320850.8549510.9014081389.121509.102745370.0267580.0848861.1599921.2103020.7850440.9465341598.301765.392841360.0159540.0520611.0767311.3422980.7787360.9423861868.872087.932939500.0247250.0491911.2997021.2358550.9278560.9610242018.052280.193043430.0178030.0453281.3704151.3609360.9414970.9768072405.192789.81见图7。 根据Pareto解比较两种算法。另一种算法，但应该注意的是，该算法产生的大量解都集中在特定的点上，并没有能够在解空间中分布在计算时间方面，MOPSO在小规模问题中表现更好，而NSGA-II在大规模问题中表现更好。因此，可以得出结论，在一般情况下，NSGA-II算法已经更成功。因此，在所考虑的问题中，离散和连续交叉和变异算子的组合远比MOPSO算法的连续算子更兼容。这些比较的结果可以在图1和图2中找到。 七比十可以看出，随着问题规模的扩大两种算法中的多样性指标、平均理想距离都没有改变。然而，在图中的MOPSO算法中获得的Pareto解的数量。 7可以看出，在这些数值例子中，Pareto解的数量从10到50不等，但随着问题的维数逐渐增加，MOPSO算法在这个指标上也是稳定的。5. 结论和今后的建议在这项研究中，提出了一个数学模型，在该领域的竞争位置定价问题的拥挤设施，P. Fattahi等人阵列10（2021）10006210见图8。 根据多样性准则比较两种算法。见图9。 根据间距准则对两种算法进行比较。重要的决策变量在这个问题中，需求函数被认为是客户的行为的函数，是非常重要的。另一方面，新的设施与以前的设施争夺市场这些问题中最重要的因素之一可能是等待时间短，存在不同的服务策略，低成本和距离。为了求解该数学模型，已经使用了各种方法，例如多目标多目标Meta启发式算法，包括非支配排序遗传算法（NSGA-II）和多目标粒子群优化算法（MOPSO） 通过比较所提出的方法求解模型的结果，NSGA-II算法已经能够实现一个相对更好的Pareto前沿比MOPSO算法，虽然在某些情况下，MOPSO算法已经能够克服其他算法。然而，一般来说，NSGA-II al-见图10。 根据平均理想距离准则比较两种算法。多重服务这个问题的主要目标是降低成本，同时提高对客户的服务水平。另一方面，目标与经营方法的冲突使目标难以实现。很明显，一个组织只有在竞争激烈的市场中才能成功生存，因此价格设定参数被认为是最重要的因素之一。租m能够克服其他算法，并产生更好的帕累托前沿。此外，从Pareto前沿可以清楚地看出，NSGA-II算法产生的Pareto前沿更规则，并且在彼此距离相对相同的情况下获得更多的解，并且基于前面部分中介绍的四个指标，NSGA-II在距离和距离两个指标上优于NSGA-II算法。P. Fattahi等人阵列10（2021）10006211MOPSO算法然而，在最指数的指数，这两个算法表现相同。因此，可以得出结论，在一般情况下，NSGA-II算法已经更成功。通过田口实验设计对算法的参数进行了优化，以更好地求解模型。对于未来的研究，可以通过考虑不同的服务水平来发展本研究的问题。竞合利益作者未报告潜在的关注引用[1] Berman O，Larson RC.排队条件下两设施网络的最优分区。交通科学1985;19（3）：261- 77。[2] Wang Q，Bata R，Rump CM.具有随机需求的固定服务器设施选址模型。Nav ResLogist2004;51：137- 52.[3] Berman O，Krass D，Wang J.定位服务设施以减少需求损失。IIETrans 2006;38：933- 46.[4] Fernandez J，Hendri X E.最近的见解，在赫夫一样的竞争力设施的位置和设计。 欧洲歌剧研究杂志2013;227：581- 5。[5] ZarrinpoorN，Seifbarghy M. 一个有竞争力的位置模型，以获得特定的市场份额，同时按较短的旅行时间对设施进行排名。 Int J Adv ManufTechnol 2011;55（5）：807- 16.[6] 霍特林湾在竞争中保持稳定《经济学杂志》1929：41- 57。[7] FernandezP，Pelegrin B，Perez MDG，Peeters PH. 歧视性定价假设下的离散长期区位价格问题：公式化与参数分析。 欧洲歌剧研究杂志2008;179：1050- 62。[8] 放大图片Berman O，Tong D，Krass D.均衡驱动需求和拥挤下的定价、选址和容量规划。多伦多大学; 2010 [工作文件]。[9] Hajipour V，Farahani RZ，Fattahi P.“拥挤位置定价问题的双目标振动阻尼优化。Comput Oper Res2016 a;70：87- 100.[10] 放大图片作者：HajipourV，Fattahi P，Tavana M，Di Caprio D. 多目标多层拥挤设施选址分配问题的Pareto元算法优化。应用数学模型2016 b;40：4948- 69。[11] [10]李晓，李晓.拥挤系统中三级多服务器供应链问题的双目标优化：建模与求解。计算机工业工程2016;99：41- 62.[12] Fernandez P，Plegrin B，Lancinskas A，Ziliniskas J.具有二进制和部分二进制客户行为的离散竞争选址问题的新启发式算法。Comput Oper Res2016;79：12- 8.[13] 作者：GeorgeM，Makui A. 离散空间中主从竞争设施选址问题的鲁棒性. 应用数学模型2013;37：62- 71.[14] 杨伟华，王伟华，王伟华. 有竞争力的设施位置和设计问题。《欧洲歌剧研究杂志》 ， 2007年;182：40- 62。[15] Drezner T，Drezner Z.使用重力模型在平面上定位多个设施。GeogrAnal2011;38：391- 406.[16] Pasandideh SHR，Niaki STA.随机需求下排队框架内设施选址问题的遗传算法。 JIntell Manuf 2012;23：651- 9.[17] ChambariA，Rahmaty SH，Hajipour V，Karimi A. 排队框架下选址-分配问题的双目标模型。世界科学，工程和技术学 院 2011;78：138- 45。[18] 杨伟杰，李伟杰.交货定价下连续竞争设施选址问题的选址均衡。Comput Oper Res2014;41：185- 95.[19] VidyarthiN，Jayaswal S. 一类具有随机需求和拥挤的位置分配问题的有效解。Comput Oper Res2014;48：20- 38.[20] Renando J，Fernandez J，Hervars JD，Arrondo AG，Ortigosa P. 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