工程科学与技术，国际期刊20（2017）240完整文章基于瞬时极点的球面机构各向同性分析索海尔·扎尔坎迪伊朗Babol Noshirvani技术大学机械工程系阿提奇莱因福奥文章历史记录：2016年7月3日收到2016年8月21日修订2016年8月24日接受2016年9月3日在线发布关键词：各向同性分析雅可比矩阵瞬时极球面机构A B S T R A C T瞬时极点作为平面机构的瞬心，可用于球面机构的瞬时运动分析本文提出了一种利用瞬时极点概念进行球面机构各向同性分析的新的几何方法首先，一个不同形式的雅可比矩阵制定多自由度（多自由度）的球面机构，基于瞬时极点。然后，利用得到的雅可比矩阵，对球面机构进行各向同性分析，确定了球面机构具有各向同性构型的一般条件。所提出的方法是快速和适用于所有类型的球形机构。最后通过两个算例说明了该方法的有效性。©2016 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍一个机构被称为各向同性的，如果它有至少一个各向同性的配置在其工作空间[1]。此外，如果一个机构在其整个工作空间内都是各向同性的，则该机构被称为全各向同性机构[2]。在各向同性配置中，机构的灵敏度对于速度和力误差都是最小的，并且机构可以在所有方向上同样良好地控制[3]。为此，许多研究人员致力于机构的各向同性分析（即确定各向同性构型）和各向同性设计[1传统上，机构的各向同性分析是通过雅可比矩阵的条件数进行的[1在各向同性配置中，条件数达到单位的最小值;也就是说，雅可比矩阵的行变得相互正交并且具有相等的欧几里德范数[6]。Zanganeh和Angeles[1]使用一种特殊的正、逆雅可比矩阵结构来定义一组条件，在这些条件下，并联机构可以呈现各向同性。Carricato和Parenti-Castelli[2]提出了一类无奇异性的全各向同性平移并联机构的拓扑综合。Tsai和Huang[3]通过一种称为各向同性发生器的装置发展了6自由度各向同性并联机构。Klein和Miklos[4]展示了使用位置、方向或空间各向同性的设计技术，电子邮件地址：zarkandi@gmail.com由Karabuk大学负责进行同行审查提出了一些定位各向同性设计的算法，而无需显式计算奇异值。Gosselin和Lavoie[7]和Mohammadi Daniali等人[8]使用运动学各向同性作为一类三自由度平面球面并联机构各向同性设计准则。Qu等人[12]基于终端约束系统和倒螺旋理论确定了有限自由度并联机构的各向同性构型。Qu等人的优势在于，[12]第12话没有必要构造广义雅可比矩阵对于一些结构复杂的并联机构是一个困难的过程，而要获得并联机构的终端约束系统，需要分析各腿在动平台上的反螺旋，这是一个比较困难的任务。此外，Gogu[13，14]通过线性变换和进化形态学理论综合了两类具有平移和Schönflies运动的全各向同性并联机构。作为在平面机构的运动分析中广泛使用的瞬时中心（例如参见[15近日，迪格雷戈里奥[24]将瞬时极点的新概念用于多自由度球面机构的奇异性分析他利用瞬时极点的性质和叠加原理，得到了多自由度球面机构输入输出关系的一般表达式特别是，他提出的表达式只包含瞬时极点的位置向量的单自由度球面机构，所产生的多自由度机构，通过锁定所有的输入，但一个。http://dx.doi.org/10.1016/j.jestch.2016.08.0162215-0986/©2016 Karabuk University.出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表工程科学与技术国际期刊杂志主页：www.elsevier.com/locate/jestchS. Zarkandi /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 20 （2017）240241--.22[本文推广了Di Gregorio然后，将新的雅可比矩阵用于球面机构的各向同性分析。2. 球面运动与瞬时极点球面机构是这样的机构，其中框架的一个点，称为球面运动中心，可以被认为嵌入在所有连杆中（即，所有的活动连杆都被约束为执行以球形运动中心为中心的球形运动）。球面机构的运动杆件在运动学上可以看作是在参考球面上运动的同球运动的壳体。在不失一般性的情况下，参考球的半径被视为单位球，该球被称为单位球[20]。对于两个共球运动的壳或链（例如图1中的链i和j），存在两个瞬时重合的点，每个点属于相应的壳或其延伸，其线速度相同。这些公共点的位置称为瞬时极点，此后称为两个壳的瞬时极点，并将其表示为pij[20]。此外，pij将指示瞬时极点pij相对于附接到单位球的中心的参考坐标系Oxyz的位置向量（参见图1）。事实上，对于两个围绕共同球心运动的壳层，在参考球上有两个径向相对的瞬时极点，这两个壳层被称为围绕一个瞬时极点轴[21]相对旋转，该瞬时极点轴穿过两个瞬时极点和球心（图10）。① 的人。由于瞬时极点球面机构的一阶运动学，球面机构的一阶运动学可以仅利用单位球面的一个（正或负）壳来研究此后，将使用正壳。正壳层的点相对于参考坐标系O xyz定义如下[21]：正壳：。x;y;z[f=x;y;z=1g图二. 一种滑动接头和相应的瞬时杆。与平面运动相反，球面机构中两个运动杆之间只存在一种运动，即转动运动。 如果两个链接是通过一个旋转关节或滚动接触连接到对方然后即时极的链接是微不足道的;另一方面，如果两个链接是通过一个滑动关节连接到对方，然后即时极的链接是位于相交的大圆，这是正常的共同的球面曲线，链接移动（图）。 2）的情况。因此，滑动接头也可以被认为是转动接头。Aronhold-Kennedy（三个同球运动连杆的相对瞬时极点位于一个唯一的大圆上。对于瞬时极点和球面运动的详细解释，读者可参考参考文献1。[20，21]。3. 多自由度球面机构的雅可比矩阵单自由度球面机构[22]的一般输出变量/o，s。 输入（输出）变量可以是被视为包含分别固定到链节“i”（“o”）和“r”（“s”）的两个适当定向的大圆弧的平面之间的角度The input–output instantaneousah_i;r<$bxo;s其中，带符号的幅度h_i，r（x，o，s）是输入（输出）变量h_i，r（x，o，s）的速率此外，系数a和b取决于机构的配置，并推导如下a¼pr;s· pi;r× pi;o 2ab¼pr;s· po;s× pi;o 2b如果用于评估输入和输出变量速率的参考链接相同，例如链接r，则可以获得更有意义的输入-输出关系，如下所示ah_i;r¼bxo;r30哪里a¼pi;r· po;t× pi;t4a图1.一、两个同球运动的连杆i和j的相对瞬时极点，分别以角速度xi0和xj0绕点Ob/po;r ·电子邮件地址×pi;t 中国4b242S. Zarkandi/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）240XXph¼x10k(a)（b）第（1）款图三. 一般单自由度球面机构的四个连杆（a）当参考连杆r和s不同时（b）当参考连杆r和s相同时。下标（t）表示机构中与连杆i、o和r不同的任何连杆（图1）。 3 b）。当单自由度球面机构只有两个连杆时，会出现一种特殊情况（图1）。 4）. 在该机制中，输入和输出链路以及用于评估这些链路的速率的参考链路是相同的（即，i=0，且r=s）。因此，该机构只有一个瞬时极点，即po，s，并且输入和输出变量的比率相等，即，其中，xk是第k个单自由度机构中的输出连杆的角速度向量，其通过锁定除hk之外的所有输入而从n自由度机构生成。考虑到即时的概念极点，参数xk可以写为：xk¼xkpk其中xk和pk分别等效于第k个单自由度生成机构中的xo，s和po，s介绍Eq.（7）在Eq.（六）h_i;r ¼xo;sð5Þ产量[24]Xxpx8比较Eq. （5）Eq. 由公式（1）可知，对于一个单自由度的两杆球面机构，其系数a和bk¼1;nkk<$相等，并且可以具有任何值，例如，1.一、具有n个自由度（nP2）的机构的瞬时运动学由线性齐次系统[25，26]控制，该系统将输入变量hk（k= 1，...，n）到输出连杆的瞬时运动特性（其这里是球形机构的输出连杆的角速度矢量x这种线性和均匀性允许主要的因此，如果我们将n-DOF球形机构视为n个单DOF机构的联合，则以下关系成立：xk¼x1000k¼1;n见图4。一个通用的单自由度球面机构只有两个链接。当量 （8）表示n-DOF球面机构的角速度的输出链接在单自由度生成的机构（见图。 5）。另一方面，类似于Eq。（1），我们可以写出第k个单自由度展成机构akh_k<$bkxk9其中a_k、b_k和h_k分别等价于第k个单自由度生成机构中的a、b和h_i;r现在，通过引入Eq。（9）在Eq. （8）我们有[24]ak_BKKk¼1;n图五. n自由度球面机构及相应的单自由度展成机构输出杆的瞬时极点和角速度。S. Zarkandi /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 20 （2017）240243×不××俄.西1261 2 3n当量可以用矩阵形式重写为：Ah_1/4x11 mm其中h_是输入变量的n× 1向量，如下所示其中I是n n单位矩阵。介绍Eq. （17）在Eq.（16）给予A¼rR 18h_¼½h_1氢气···h_n ]1200万这意味着各向同性雅可比矩阵与正交矩阵成比例。[6]故，A是n自由度球面机构的3 n雅可比矩阵，定义为AT A<$r2RTR <$r2I 19A/4.5c1p1c2p2·· ·CNP N]131313将矩阵A的值从等式（13）在Eq. （19）简化后，哪里一2c1c2p1·p 2 c1c3p1·p 3 ···c1c np1·p n3C2ck¼k、对于k 1;.. . ; n1462c2c3p2·p 3 ···c2c np2·p n7C2.kAT A¼63···c3cn p3·pn7r2I注意，该雅可比矩阵仅取决于机制的即时极点。在参考文献[24]中，Di Gregorio获得了4. . ..75n3 3基于瞬时极点的雅可比矩阵，其将角速度与瞬时极点的角速度相关联。多自由度球面机构的输出杆的速度，单自由度生成机构中同一连杆的角速度。 这里，所提出的雅可比矩阵将角度对称c2当量（20）当且仅当ð20Þ输入端的速度与输出端的角速度因此，这种新形式的雅可比矩阵与传统形式的雅可比矩阵是一致的。与文献中的雅可比矩阵相比，该雅可比矩阵具有通用性，适用于所有类型的球面机构，避免了某些复杂机构雅可比矩阵的复杂构造过程。在接下来的章节中，所提出的雅可比矩阵将用于球面机构的各向同性分析。4. 球面机构的各向同性分析Salis-bury和Craig[5]最早用于机器人机构设计的性能指标之一是雅可比矩阵的条件数。在数学上，当求解线性方程组时，相关方阵的条件数可以理解为计算结果相对于输入数据的相对舍入误差的相对舍入误差放大的度量[27，28]。进一步地，对于一个方阵J，其所有元素都具有相同的单位，条件数K（J）可以定义为最大值的比，J的奇异值rl到最小值rs，即，c2<$c2<$c2<$$>···<$c2<$r22121 a对于k- j和k ; j 2 1 ; 2 ; 3 ;. . ; n21b或c1<$c2<$c3 <$···<$cn 22a对于k- j和k ; j 2 1 ; 2 ; 3 ;. . ; n22b当量（22a）揭示，为了具有各向同性设计，球形机构应该是几何对称的。再来一遍，Eq。（22 b）示出了，在各向同性配置中，瞬时极点p1，p2，p3，. . ，pn位于正多边形的顶点上，并且这些瞬时极点的位置向量相互垂直。5. 说明性实例在下面的例子中，各向同性分析的两个球形机械，利用该方法对3-R串联球面机构和3-PRR并联球面机构进行了运动学分析的KJrlð15Þ符号R和P分别代表转动关节和滑动关节，下划线表示活动关节。注意这两注意，K（J）可以获得从1到无穷大的值。显然，具有相同奇异值的矩阵的条件数是单位的最小值。通过推广，各向同性机械手是那些雅可比矩阵可以达到各向同性值的机械手[6]。 另一方面，最小奇异值为零的奇异矩阵的条件数是无穷大。通过使用极分解定理[29]，我们可以将n×n雅可比矩阵A分解为ARU VR16其中R是一个正交矩阵，但不一定是真矩阵，而U和V都至少是半正定矩阵。此外，如果A是非奇异的，则U和V都是正定的，并且R是唯一的。矩阵U和V具有相同的特征值，这两个矩阵的非负特征值构成雅可比矩阵A的奇异值。此外，如果A是各向同性的，则所有上述特征值是相同的，比如说等于r，因此，矩阵U和V与n×n单位矩阵[6]成比例，即，U<$ V<$r I17毫米BC244S. Zarkandi/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）240见图6。3R串联球面机构的CAD模型S. Zarkandi /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 20 （2017）240245112233见图7。 3R串联球面机构的运动学模型。的机构具有3个自由度，因此n= 3并且下标k等于1、2和3。5.1. 3R串联球面机构的各向同性分析图6示出了一个3R串联球面机构的CAD模型，见图9。 3R串联球面机构的各向同性设计nism是通过锁定所有的输入，但hk，如图所示。8 .第八条。可以很容易地得出结论，点Ak等价于瞬时极点pk-1，k在原始的3R球面机构中，也相当于瞬时极点pk，0（或pk）在第k个单自由度生成的机构（图2）。 7）。注意，第k个单自由度机构仅具有两个链路，即链路0和k。因此，根据第3节中给出的特殊情况，我们有ak=bk= 1。3× 33R球面机构的雅可比矩阵为一般配置。建立了该机构的运动学模型，示于图7.第一次会议。该机构由四个连杆组成，A/4.5/5.0/5.0/5.0/在点Ak（k= 1，2，3）处通过四个转动关节转向下一个。选择单位球体作为链接0。所有的转动关节都被驱动。hk是第k个输入变量，表示连杆k相对于连杆k-1绕转动关节轴线在Ak处的旋转角。三此外，对于机构的各向同性设计，条件（22 a）和（22 b）产生c1<$c2<$c3<$124小时单自由度球面机构可由原3R球面机构生成，而第k个单自由度球面机构可由原3 R球面机构生成。p1·p2<$p2·p3<$ p1·p3<$0千24 bits(a)（b）第（1）款（c）第（1）款图8.第八条。（a）第一、（b）第二和（c）第三单自由度球面机构由原始3R机构生成符号（d）和（s）分别表示锁定和解锁接头246S. Zarkandi/Engineering Science and Technology，an International Journal 20（2017）240×图10个。3-PRR并联球面机构的CAD模型见图12。由3-PRR并联球面机构生成第一个单自由度球面机构的瞬时极点。一个通过锁定所有的输入，但h1在3-P RR机制产生，如图所示。 12个。选择连杆k和旋转角hk分别作为第k个单自由度生成机构的输入连杆（i）和输入变量。连杆7（或移动平台）是所有单自由度生成机构中的输出连杆（o）。链路0（单位球）被选为参考链路（或链路r），以评估输入和输出变量的速率。在第k个单自由度生成机构中，选择连杆k+3作为连杆t通过将这些符号引入Eq. (4)，第k个单自由度生成机构的系数ak和bk将为ak<$pk;0·p7;k3× pk;k325abk¼p7;0·p7;k3×pk;k3×p25b3-PRR球形机构的3 3雅可比矩阵将为A/4.5c1 p1c2p2c3 p3]并且，对于机构的各向同性设计，条件（22a）和（22b）产生见图11。3-PRR并联球面机构的运动学模型及其瞬时极点。c1¼c21/4c327岁利用这些条件和3R球面机构的几何形状（图7），可以发现，在各向同性配置中，瞬时极点pk位于等边三角形的顶点处即D p1p2p3，其边均为90°。换句话说，对于机构的各向同性设计，位置矢量p1、p2和p3（或转动致动器的轴线）相互垂直于每个位置矢量。其他. 一个全各向同性设计的3R球面机构如图所示。 9，其中各向同性条件满足的所有值的hk。5.2. 3-PRR并联球面机构图图10示出了一般配置的3-P RR并联球形机构的CAD模型。此外，图11中示出了该机构的运动学模型以及瞬时极点pk（k= 1，2，3）。点Ak和Bk分别表示瞬时极点pk，k+3和p7，k+3该机构有三个驱动滑动关节，运动学上被认为是三个驱动转动关节。该机构具有三个单自由度生成机构。作为示例，第一单自由度生成机构，即，的p1·p2<$p2·p3<$ p1·p3<$0千27亿利用条件（27）和3-PRR并联球面机构的几何形状（图11），我们发现各向同性设计仅在以下情况下才是可能的：– 移动平台的球面三角形是等边的– 滑动关节的运动曲线构成等边三角形底座或等角星形底座。– 远侧链节Ak Bk（k= 1，2，3）具有相同的长度。此外，在各向同性配置中：– 动平台三角形与等边三角形底座或等角星形底座共用一个质心。– 远侧连杆AkBk（k= 1，2，3）与相应滑动关节运动曲线的夹角相等。– 位置矢量p1、p1和p3相互垂直。换句话说，远端连杆A k B k（k =1，2，3）的大圆构成一个等边球面三角形（即D p1p2p3），其边都是90°。S. Zarkandi /工程 科学 和技术， 一个 国际 杂志 20 （2017）240247矩阵，它被用于各向同性分析的球形机构和各向同性配置的一般条件确定。最后，利用该方法对两个球面机构进行了各向同性分析。引用（一）（b）第（1）款图十三.具有（a）星形基座和（b）三角形基座的3-P图图13 a和b示出了满足上述条件的3-P RR并联球面机构的两个各向同性设计。注意，由于各向同性构型中的机构对称性，我们有a1=a2=a3和b1=b2=b3，因此c1=c2=c3。只要顶点Bk（k= 1，2，3）位于Dp1p2p3的两侧，机构仍保持各向同性构型.6. 结论基于瞬时极点的概念，提出了一种新的多自由度球面机构雅可比矩阵的形式。与文献中提出的雅可比矩阵相比，该雅可比矩阵具有通用性，适用于所有类型的串联和并联球面机构，同时避免了复杂机构雅可比矩阵的复杂构造过程。此外，为了展示雅可比矩阵[1] K.E.李文，并联机器人的运动学各向同性与优化设计，北京：机械工业出版社。第16（2）（1997）号决议[2] M.李文，无奇异性全各向同性平移并联机构， 中 国 机 械 工 业 出 版 社 ， 2001 。J. 罗伯Res. 21（2）（2002）161-174。[3] 启彦蔡敬德黄，基于各向同性发生器的六自由度并联机器人设计，机械工程。马赫Theory 38（11）（2003）1199-1214.[4] C.A. Klein，T. A.米克洛斯，空间机器人各向同性，国际机器人杂志。Res. 10（4）（1991）426-437。[5] J.K. Salisbury，J.J. Craig，关节手：力控制和运动学问题，Int. J. Robot. Res. 1（1）（1982）4-12.[6] 王文，机器人机械系统的基本原理：理论、方法和算法，北京，2003。 171比175[7] C.M. Gosselin，E.李文，球面三自由度并联机器人的运动学设计，机器人学报。Res.12（4）（1993）394-402。[8] H.R. Mohammadi Daniali，P. J. Zsombor-Murray，J. Angeles，两类平面并联机器人的各向同性设计，J. 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