KKURL：http://www.elsevier.nl/locate/entcs/volume 19. html15页s可及内函子詹姆斯·沃勒尔1牛津大学计算实验室，沃尔夫森大楼，公园路，牛津OX1 3QD，英国。摘要我们考虑局部可表示范畴上的可达内函子T的终端序列的行为。T对幺一的保持足以暗示收敛，必然收敛到一个终结余代数。我们可以说得更多如果是Set，则κ是ω。在这种情况下，众所周知，我们不一定在ω处收敛，但是我们证明，为了确保收敛，我们不需要去到一个更高的基数，到下一个极限序数，ω+ω。对于集合上的ω-可达内函子T，终端煤族的构造因此可以看作是两阶段构造，每一阶段都是无穷的。第一阶段得到初始T-代数的Cauchy完备化作为终结序列Aω中的第ω个对象。在第二阶段中，这个对象被修剪以得到aAω+ω 的 final coalge b。在完备超度量空间范畴中，我们给出了一个Aω是相应区域方程的解1介绍Aczel和Mendler [2]及Barr [5]的终余代数定理保证了Set上可达内函子的终余代数的存在性，但它们没有给出终余代数的具体表示前者得到一个终端余代数作为一个余代数集的余积的商，而后者使用特殊的伴随函子定理，其证明也涉及一个商的总和建设。”[11]吴晓说。自从人们把最终余代数看作是内涵现象的模型以来，就存在一个问题，即如何用某种实体作为近似来表示最终关于这个问题的工作包括[10]，其中获得了近似遗传有限非良基集的域，[11]，其中终端余代数的元素由余代数逻辑的公式近似。1由EPSRC学生资助1999年由ElsevierScienceB. V. 操作访问和C CB Y-NC-ND许可证。2β≤ααHαAd'mek和Koubek是Ad'mek和Koubek的关系（Barr在另一篇文章[6]中也有论述）。考虑范畴C上具有序指标图极限的内函子T，并定义T的终结序列：C的对象的序指标序列（Aα）α，箭头f α：Aα→Aβ，β α。 简单地说，这是由Aα+1=T（Aα）和Aλ= Limα λAα定义的，对于λ是极限序数;更详细的细节在下一节中给出。在[6]中表明，如果这个序列在某个α处稳定，则fα+1是一个同构，则（Aα，（fα+1）−1）是终结T-余代数.这概括了单调函数最大不动点的迭代构造f作为序指标序列（aα）α的稳定值，其中aα=β αf（aβ）.另一方面，[2，5]的定理将f的最大不动点的构造推广为所有后不动点的并巴尔对于局部可表示范畴上的内函子T，T的可达性是一个充分条件，正如[13]所指出的，是T具有终结余代数的一个相当自然的因此，我们研究了局部可表示范畴上的可及内函子有相当一部分的文献讨论ω-连续内函子的余代数;对于这样的函子，终端序列稳定在ω，给出终端余代数。然而，在集合上有ω-可达的或无穷的内函子，因此有一个终结余代数，但其终结序列不稳定于ω;一个例子是有限幂集函子[15，3]。Ad'amek和Koubek，其中边值因子是Set上的边值因子，因此只要存在终结余代数就足以保证终结序列的收敛性它们一般不给出收敛的界，尽管在ω1-第一个不可数基数的情况下，它们表明收敛我们的结果与那篇论文中的另一个结果更密切相关;即，对于正则基数α，如果函子有基数α的不动点，以及大小为α之后的下一个基数的不动点，则投影fα+1在终端序列是单射的。我们要说明的主要一点是，对于Set上的无穷个（ω-可达）终函子，通过终序列构造终余代数是一个两阶段的过程，每个阶段都是无穷的。更准确地说，末端序列稳定在ω+ω。这种构造的第一阶段可以看作是对初始代数进行柯西完备化，而下一我们给出了几个例子来支持这些直觉，特别是我们考虑了一个用于建模概率非决定论的有限集函子，以及完备超度量空间范畴上的一个密切相关的函子证明了Set函子的终端序列中的第ω个对象是度量函子的唯一不动点3γβγγββ→αβδαγ+2βδγγβδγγδγδδ+1γδδγδδγγβγ+1γ+1γ+1βγ+1γγ+1γ有限集函子的终结列收敛的界依赖于具有非空Domain的内射在Set中是分裂幺半群。它不能推广到局部可表示的范畴，事实上然而，我们证明了，如果T是一个可达的endofunctor的局部表示范畴，如果T保持一元论，那么终端T-序列收敛。2预赛在本节中，我们构造一个内函子的终结序列然后回忆局部可表示范畴的定义前者在[6]中定义，而[4]是我们对本地可呈现性和可访问性的参考2.1末端序列设C是一个具有序数指标图的所有极限的范畴，T是C上的闭函子。T的终端序列是对象（Aα）α的有序索引序列，加上箭头（fβ：Aβ→Aγ）γ≤β，使得对于所有β，且δ≤γ≤β：• TS-1Aβ+1 =T（Aβ），• TS-2fβ+1 =T（fβ），γ+1γ• TS-3fβ= id，• TS-4fβ=fγ·fβ，• TS-5若β是极限序数，则锥（fβ：Aβ→ Aγ）γ≤β是极限.设α是一个序数，假设我们定义了Aβ和f β：Aβ→Aγ，对所有γ ≤ β <α，满足上述条件。 我们必须构造对象Aα和态射f α：Aα→Aβ，对于β≤α，使得[TS-1]到[TS-5]都对δ≤γ≤β≤α成立。有三个案例。α是一个极限序数：我们定义（fα：AαAβ）β≤α为显极限，并设fα=id。可以容易地看出，条件[TS-1]至[TS-5]仍然全部成立。α= β + 1，其中β是极限序数：我们定义Aα= T（Aβ）。 Aβ是Aγ，for γ<β的极限，所以我们可以通过给出复合函数f β·f α，for γ <β来定义fα，并证明它们在Aγ上形成一个锥。我们定义fβ·fα=fγ+1·T（fβ）;这确实定义了Aγ上的锥，因为γ β γ γfγ·fγ+1·T（fβ）=fγ+1·T（fβ）=fδ+1·fγ+1·T（fβ）=fδ+1·T（fγ）·T（fβ）=fδ+1·T（fβ）对于γ <β，我们设f α= f β·f α。所需的条件都是立即的[2019 - 02 - 02 00：02：00][2019 - 02 - 02 00：00]fβ+1=fα=fβ·f=f·T（f）=T（fγ+1·fβ）=T（fβ）γ+14一个KJ→ I一IJβγγβ+1对于某个β，α = β + 2：设fα= id，且f α=T（fβ+1）。对于γ β+1，αβ+1β设fα=fβ+1·fα. 条件[TS-1]至[TS-4]通过定义[5]没有新的情况下[TS-5]创建。2.2可访问性和本地呈现性设f是完备格L上的单调函数，序列aα=Hβ αf（aβ）的收敛性证明依赖于L是一个集合.这种行为不能推广到内函子的终端序列，特别是在Set上的幂集函子的终端序列永远不会稳定，因为这与康托定理相矛盾在寻求Set上的内函子的类似结果时，我们必须考虑到Set是一个大范畴的事实，这就是可及性和局部可呈现性的来源。下面的过滤上极限、可表示对象、局部可表示范畴和可达函子的概念，是由有向连接、紧元素（部分的）的定义所激发的。序）、代数格和偏序之间的连续函数。定义2.1设κ是无穷正则基数。那么一个小范畴是κ-滤过的，如果对于任何基数小于κ的范畴，任何图D： 在它上面有一个上锥。一个域被κ-过滤的图。定义2.2范畴K的对象K是κ-可表示的，如果函子Hom（K，−）：K→Set保持κ-过滤余极限。我们说K是局部κ-可表示的，如果它是余完备的，并且存在一个κ-可表示对象的集合使得每个对象都是来自的对象的κ-滤余限。最后是局部可表示的，如果它对于某个κ是局部κ-可表示的。定义2.3设K和L是局部κ-可表示范畴。一个函子T：K→L是κ-可达的，如果它保持κ-滤余极限。我们说T是可达的，如果它对于某个κ是κ-可达的很容易得出，在局部κ-可表示范畴K中，直到同构，只有一组κ-可表示对象。我们用PresκK表示所有κ-可表示对象的任何表示集。在集合中，ω-可表示（或有限可表示）的对象正是有限集合，而范畴是局部有限可表示的，因为每个集合都是它的所有有限子集的过滤图的并集。集合上的ω-可达（或无穷）内函子是那些完全由它们在有限基数上的行为决定的。3局部可表示范畴的收敛性在这一节中，我们证明了如果T是局部可表示范畴K上的可达内函子，并且如果T保持幺一，则它的终结序列{Aα，fα}收敛。第一步是证明对于某个基数λ，我们5λβω{}⊆βK≥K →Lβn+1个ωn+1个nnn有fλ+1是monic的。这一点的证明与[3，Thm 5]的思想相同，但通过将局部可表示的范畴嵌入到关系结构的范畴中。为了激励一般的发展，我们给出了下面的例子，首先在[3]中指出。例3.1考虑有限幂集函子f的终结序列Aα，fα.在[3]中证明了fω+1不是一个同构，但很容易看出它是单射的。令S={d1，...，d1}Δω，T={e1，.，em}Aω并且假设fω+1（S）=fω+1（T），则n∞（fω）（S）=fω+1（S）=fωfω+1（S）=ω ωnn+1个n+1个ωfωfω+1（T）=fω+1（T）= f ω（fω）（T），对于a lln<ω. 现在选择di∈S，sinceT是有限的，存在ej∈T使得fω（di）=fω（ej），对于无穷多个n;因此di= ej。这证明了ST和逆的对称性。现在继续到一般理论，我们回忆起在关系结构范畴中局部可表示范畴的标准嵌入。 设S是一个排序集，S是一个无穷的S-排序关系签名，更确切地说是一个S-排序集.范畴Rel（Rel）有对象：关系结构A，包含一个S-排序的基本集合|一|=（As）s∈S，对于每个σ ∈第1，...，sn，一个关系σA<$As1 ×. ×Asn. 一个态射f：A → B是一个S-排序函数，|一|到|B|保持关系，即 使得（x1，...，xn）∈ σA蕴含（fs1（x1），.，fsn（xn））∈ σB对于arity [s1，.， sn]。Rel（ε）是局部有限可表示的，结构A是κ-可表示的i ε εs∈S卡As<κ。一个标准结果[4]是，对于任意κ-可表示范畴K，存在一个签名（S，S），以及K作为Rel（S）的一个相对子范畴的κ-过滤余限保持嵌入命题3.2设T：是局部κ-可表示范畴之间的κ-可达函子。又设T保幺一，则存在正则基数λ，使得只要{Aα，f α}β≤α≤λ是K中的λ-链，极限对象Aλ，则显映射g：T（Aλ）→ Lim α< λT（Aα）是幺半群.证据L的κ-可表示对象的集合PresκL是一个生成元，所以这个命题成立，且对于κ-可达函子Hom（K，−）·T成立，对每个K∈PresκL。因此，我们可以假设上面的L是Set。设函子I嵌入为局部有限可表示范畴Rel（Rel）的一个相对子范畴，对于某个签名Rel（Rel）。对于每一个正则基数μ ω，有限可表示对象的每一个μ-small2余极限在Rel（n）中是μ-可表示的;而且每一个局部可表示范畴是余幂的。我们可能然后假设存在正则基数λ使得K的κ-可表示对象的强商在I下的像在Rel（λ）中λ-可表示设{Aα，fα}β≤α≤λ表示一个λ-链，其极限对象为Aλ 设πα：Limβ λT（Aβ）→T（Aα）为极限投影. 最后设x，y∈T（Aλ）使得g（x）=g（y），其中g：T（Aλ）→Limβ λT（Aβ），2一个范畴是μ-small的，如果它有少于μ态射6α∈αβK≥β{}αωα唯一映射，使得对所有α λ πα·g = T（f λ）<。Aλ是κ-可表示对象的κ -过滤余限设（inj：Kj→Aλ）j∈J是共限上锥;我们可以将j中的每个箭头分解为强满射ej：Kj→KjJ，其后是单态映射mj：KjJ→ Aλ。从ej是强的，对于每个箭头Kj1 →Kj2 我们得到一个对应的当m j =Kjj1→Kjj2时，Aλ是结果图的一个顶点，其中c为锥（mj：Kjj→Aλ）j∈J.从Set中的滤波余极限的构造中我们看到存在j J使得x，y在函数T（mj）的像中。Rel（λ）中的极限继承自Set，特别是λ-链的极限。 由于λ是正则的，且I（Kj，J）是Rel（k）中的λ -预表，即他是红衣主教，他 是存在α <λ使得I（f λ）·I（mj）在Rel（j）中是幺半群. 它遵循f λ·mj在K中是幺半群，其中T（f λ）·T（mj）= πα·g·T（mj）是单射的。由此我们得出结论x = y，因此g是单射的。✷推论3.3若T是局部可表示范畴上的可达内函子，{Aα，fα}边，必然是一个终端T-余代数。证据根据上述命题，存在正则基数λ，使得fλ+1是monic。很容易看出，现在fα对于所有α> λ都是monic的，因此λ λ结果如下的事实，即本地可呈现的类别是很好的动力。对于一个给定的局部可表示范畴，我们可以直接证明命题3.2的适当实例，而不需要首先传递到Rel（Rel）。这样做的好处是我们在结果的陈述中得到基数λ的一个界例如，在集合1的情况下，证明了对于κ-可达T，可以取λ为κ。另一方面，如果K是ω1-可达范畴，ω-cpos和连续映射的ω −Cpo，对于κ-可达T，在保持monics的情况下，可以将λ取为max{κ，ω1}。这是因为ω- cpo是κ-可表示的，对于κ ω1，i ∈它的基础元素集的基数小于κ。4集合上的收敛从现在开始，我们集中讨论集合上的ω-可达函子T的终结序列Aα，fα。我们证明了它至多收敛于ω+ω步。在不失一般性的情况下，我们假设T（X）/=对于某个集合X，即T不是常数λ函子。有了这个假设，我们知道至少有一个T-余代数，并且由于这个余代数可以被推广到终结T-序列上的锥（见下文），因此对所有α，Aα/=π。我们已经看到fω+1是单射的，实际上它是分裂幺半群，因为具有非空Domain的单射是Set中的分裂幺半群。因此，对于所有n7ω+nωαβ·、βωωωwehavethatfω+n+1是单射的，然而是集合上的ω-可达函子doesn’t考虑函子将一个非空集X发送到X + 1，并将X发送到自身，以及ω-链（Xn）n<ω，其中Xn={m∈ω| m> n}和Xn+1<$Xn.然而，我们能够证明终端T-序列收敛于ω+ω.同样，我们需要利用fω+1是分裂幺半群的事实，从而产生一个余代数Aω上的结构命题4.1 [6，定理1.2]设（B，b）是T-余代数，则我们可以将（B，b）“扩张”到终端T-序列上的锥（h α：B → A α），使得 fα+1·T（hα）·b =hα。证据（略）对于极限序数λ：定义hλ为fλ·hλ=hβ，对于β λ。对于后继序数β+1：定义hβ+1=T（hβ）b。在[6]中可以找到这种结构具有所需性质的✷（一）BbzT，（B）T（b）zT，2（B）z.. .、、A0，r1 f0、a1，r2f1A2，r.由于任何T-余代数在终端T-序列{Aα，f α}上生成一个锥，我们有Aα对于每个α都是非空的;因此我们可以选择一个左逆l：Aω→Aω+1到注入fω+1。将T-余代数（Aω，l）推广到a cone（uα：Aω→Aα）over the terminalT-series，and factor theω-将投影uω表示为满射q，然后是内射i。T在分割时保留具有非空域正如巴尔所注意到的[5]，T对满射的保持是从它的ω-可达性得出的，特别是通过集合中epi-mono分解的唯一性，我们有一个同构g使得下面的图可交换。(2)AωlzAω，+1Q，gT（q）、GzT，（G）iT（i）...Aω，rω+1Aω+1fω命题4.2T-余代数（G，g）是弱终结的。证据显然，它将表明（Aω，l）是弱终结的。设（E，e）是T-余代数.（E，e）扩张到锥（v α：E → A α）使得v ω = f ω +1·T（v ω）·e.l·vω=T（vω）·e，即vω是从（E，e）到（Aω，l）的T-余代数态射✷命题4.3T-余代数（G，g）是终结的。8nnωωω+1nω→n+1个·→·ω+k+1ωω→ωω+kn+Kω+kω+k+1nωnωωnβω+ω证据设h，k：（E，e）→（G，g）.（E，e）在终结T-序列上扩张到锥（vα：E→Aα），我们证明了对所有n ω，fω·i·h=vn=fω·i·k。显然，这对n= 0成立归纳的情况是ωn+1 · i·h=fn+1n+1个·i·g−1·T（h）·e· fω·T（i）·T（h）·e=fω+1·T（i·h）·e=T（fω·i·h）·e=T（vn）·e=vn+1由此得出i·h = i·k，从而h = k。✷注4.4我们得到了一个终结T-余代数作为T-代数（Aω，f ω+1）的子代数（G，g −1）的逆。 设G是Aω的一个子集，则不难证明a∈G i ≠存在T-余代数（E，e）使得a位于v ω的像中，其中（vα：E Aα）是生成的锥 （E，E）。命题4.5设uω= i q：AωAω如图（2）所示，则uωfω + ω = f ω + ω。ω ω证据我们通过对n的归纳证明，（<$nω）（<$kω）Tk（un）·fω+ω=fω+ωCasen=0：显然u0=fω，soTk（u0）·fω+ω=fω+k·fω+ω=fω+ω.0归纳案例：ω+k kω+k kTk（un+1）·fω+ω=Tk（T（un）·l）·fω+ωω+k ω+k=Tk（T（un）·l）·fω+k+1·fω+ω=Tk（T（un）·l·fω+1）·fω+ωω=Tk+1（un）·fω+ωω+k+1ω+ωn+1+k为了保护uω·fω+ω=fω+ω结果表明，对于每个n ω，fω·uω·fω+ω=fω·fω+ω，即t有un·fω+ω=fω+ω;但这等于k = 0的特殊情况，我们刚刚证明的。✷定理4.6设T是具有终结序列e{Aα， fα}的集合上的ω-可达内函子，fω+ω+1是同构.证据设q，i与（2）相同，即i·q=uω：Aω→Aω。在命题4.3中构造的终结T-余代数（G，g）扩张到终结T-序列上的锥（vα：GAα通过这个圆锥的定义，图（3）中顶部的正方形可以互换。下面的方块就是图（2）中最下面的方块，因此也是上下班。由下面两个正方形组成的矩形通过应用上面的命题而互换;因此，中间的正方形可交换，因为T（i）是单射的。 回想一下，只要f ω+1是F=f=f9ωωω+nωωωωωnfω+n+1是nω的内射。从一个下降ω-s方程的极限出发的预测是内射的，在特殊情况下fω+ω也是内射的. 该映射q·fω+ω是一个内射映射，它与给定的一个内射映射是互补的。由（G，g）的有限性可知，q·fω+ω·vω+ω是一个恒等式，所以q·fω+ω也是一个恒等式满射，因此是集合的同构定理的陈述如下。✷(3)GgzT，（G）vω+ω、T（vω+ω）、Aω+ω，rAω+ω+1q·fω+ω，gT（q·fω+ω）、G我、Aω，rω+1fωzT，（G）T（i）、Aω+1不需要太多的等价条件，我们可以把这个结果推广到可能既不是ω-可达的也不是ω-连续的函子;例如<$（−）A，其中A是无限的。首先，我们回顾下面的简单命题，它说上积与集合中的ω-极限可换。命题4.7设集合中有一族ω-极限链Xi1← Xi2←. ← Xin← Xin+1←. ← Xiω在i∈I上索引，则Xi1←Xi2←. ←Xin←Xin+1←. ←Xiω也是一个极限链。定理4.8集合上的闭函子类使得fω+1在它们的终端序列是单射的，闭于：1 ω-可达函子，2 ω-连续函子，3 函子的合成，4任意余积，五是严格限制。证据 考虑一个内函子T的以下性质：对于所有的ω-极限B0<$B1<$. ←Bn←.<$Bω，当Bω非空时，标准映射Limn ωT（Bn）<$T（Bω）是内射的。我们证明这个性质是封闭的在[1-5]中。2下的闭包是平凡的，而1下的闭包在前一节中已经展示过了命题4.7和在集合中，和在任何拓扑中一样，余积保持一元论的事实，在4下的闭包成立对于3，假设S，T：集合→集合，并假设所讨论的性质对S和T成立。T是常10数，11联系我们→→中文（简体）⊆函子，在这种情况下ST是常数，或者T（X）= forX =，在这种情况下组合Limn ωST（Bn）<$S（Limn ωT（Bn））<$ST（Bω）是单射的，因为S保持具有非空域的单射最后假设Tω=LimC∈CTC，tenT（Bω）n=LimC∈CTC（Bω）anddLimnωT（Bn）=LimnωLimC∈CTC（Bn）=LimC∈CLimnωTC（Bn）通过假设，对每个C∈ C，正则映射Limn ωTC（Bn）<$TC（Bω）是内射的，而且函子LimC∈C（−）保持幺半群，因为它是右伴随的，所以Limn ωT（Bn）<$T（Bω）是内射的.该定理现在成立，因为集合上的内函子要么是常数，或其末端序列中的每个集合都非空。✷推论4.9在定理4.8中，在[1-5]下闭的闭5基于集的度量最终余代数对于集合上的闭函子T，终结T -序列中的集合Aω具有作为离散空间的ω -极限 的 自 然 拓 扑 ， 实 际 上 它 是 一 个 超 度 量 空 间 ， 距 离 d （ →x ， →y ）=inf{2−n|xn=yn}。作为这一结果，我们证明了对于一个ω-可达且ω-连续的T，使得T（）=，终结T-余代数是初始T-余代数的Cauchy完备化，T-代数。从定理4.8我们观察到，假设只有T的ω-可达性，我们仍然可以在终结T-余代数上定义一个由超度量产生的自然（子空间）拓扑直觉如果T是由多项式函子和D的组合建立的（概率版本的），那么在完备超度量空间的范畴Cums上有一个“对应”的例如，我们可以认为紧度量幂域函子对应于π。Cums上相应的函子将有一个唯一的不动点，它既是初始代数又是终端余代数[15]。这表明我们研究了这两个超度量空间--终结T -余代数和Cums上相应函子的唯一不动点之间的关系我们不试图对这个问题进行系统的分析，但我们考虑一个例子，一个函子的概率不确定性集和相应的函子的累积。这两个函子的完整细节可以在[16]中找到。集合X上的一个简单概率分布是一个函数μ：X→[0， 1]，具有有限支集，使得μ[X] = 1，其中对于E X，μ[E] =<$x∈Eμ（x）。设D：Set Set定义为：D（X）是关于X的简单概率分布s的集合，并且对于f：XY，D（f）（μ）（y） =μ[f−1（y）]。D保持ω-滤波余极限，所以D的终端序列在ω+ω中稳定步12O{∈ O|∈n ∈ Oβ2ωωωωωnnn+1个n+1个nn对于完备超度量空间X，记O（X）为X的开子集的集合，记B<$（x）为围绕x∈X的半径为<$的开球。 我们说X上的Borel测度μ有紧支集，如果存在紧集K<$X使得对所有U∈ O（X），U<$K=<$蕴含μ（U）= 0。设M（X）表示X上具有紧支集的Borel概率测度集对于>0 put=O（十）XO：B（x）O. 设M（X）上的度量d由X上的d导出，由下式给出：d（µ，ρ）= inf {0> 0|[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19]则（M（X），d）是完备超度量空间。 我们有一个包含def设D（X）M（X），其中对于μ D（X）和O（X），μ（O）=μ[O]。在这样我们可以把D（X）看作是超度量空间。设{Aα，fα}是Set上函子D+ 1的终结序列.我们将证明Aω（及其度量）是函子M（的唯一不动点。）/2+1，其中，）/2是一个函数，其中，在度量空间的基础上保持不变，但将点之间的距离减半。设μ，ρ∈D（Aω），则d（f ω+1（μ），f ω+1（ρ））= inf {2 −n|f ω+1（μ）= f ω+1（ρ）}=inf{2−（n+1）|fω+1（μ）=fω+1（ρ）}=inf{2−（n+1）|D（fω）（μ）=D（fω）（ρ）}=inf{2−（n+1）|<$x∈An：μ[（fω）−1（x）]= ρ[（fω）−1（x）]}n n=inf{2−（n+1）|O∈O2−n：µ[O]=ρ[O]}=1d（µ，ρ）。因此f ω+1是D（Aω）/2+ 1到Aω的等距嵌入。由Barr [5，Thm3.2]的结果可知，存在一个正则映射，它将第ω个对象嵌入D+ 1（初始代数）的初始序列中，作为Aω的稠密子空间。这是一个例行的图表追逐，以表明这一地图的因素，通过fω+1，因此，图像的f ω+1在Aω中是稠密的。由于D（Aω）在M（Aω）中是稠密的，我们有Aω和M（Aω）/2+ 1之间的等距。引理5.1设X是完备超度量空间，则D（X）是M（X）的稠密子空间。证据设μ是X上的Borel测度，K是紧集，使得μ在K外为零。给定φ>0，我们在X上产生一个简单分布ρ，使得d（μ，ρ）≤φ。令KJ={x1，...，xm}是一个有限集合，使得{B∈（x）|x∈ KJ}覆盖K。 对于1≤j≤m，令Yj=B（xj）\王空军B（xk）.每个Yj都是开集，因为开球在超度量空间中也是闭的;而且Yj是两两不相交的，覆盖K。我们定义简单13−βn支持度概率分布ρ（ρ）={x1，.，xm}和ρ（xj）= μ（Yj），其中1 ≤j≤ m。如果O∈ O<$，则每个Yj要么是O的子集，要么Σ Σμ（O）=μ（Yj）=ρ[Yj]=ρ（O）。故d（μ，ρ）≤μ。YjOYjO我们可以重复上面的证明，证明在Cums的终端序列中的第ω个对象是Cums上紧幂域函子的唯一不动点。其基本观点是，某些区域方程的（终端）集理论解作为相应度量解的子空间而得到。下一个例子表明，我们可以认为基于集合的解决方案是通过“修剪”度量解决方案获得的6样例在这一节中，我们将从定理4.6的证明中，将终结余代数的构造应用到有限幂集函子的情形中。这个例子是相当陈旧的，因为它与并发性和非良基集的联系，但它很好地说明了为什么对于有限函子，收敛于ω+ω通常，通过互模拟，将一个由一组有限分支树组成的弱终结余代数进行互模拟，从而构造出一个弱终结余代数。下面我们将终端余代数的载体定义为一组强可拓树（c.f.[8]）。这种更具体的表示在定义积和子对象分类器时是非常宝贵的，它们是在互余代数范畴中。对于我们的目的，树是一个偏序集，有一个最小的元素，根，并且每个元素的前身的集合是有限的和良序的。我们把注意力限制在有限分支树上，并把它们看作同构。一棵树被称为扩张树，如果对于任意节点的任意两个子树x和y，如果以x和y为根的子树是同构的，则x=y。给定一棵深度为n的树t，我们可以计算一棵外延树，即t的外延坍塌，记作e（t）如下。首先确定任何两个兄弟节点x，y在水平n在t如果各自的子树根在x和y是同构的，执行相同的操作上的水平n1节点的结果树，并继续，直到到达树的顶部有一个明显的功能 给定树s→t的可比较序列，that使得tn+1n= tn，对所有n∈ω，存在唯一树t使得tn = tn. 对于每一个n ∈ ω，我们也考虑一个操作，它取一棵树t，并返回t n -写的t的扩张塌陷|n.设{Aα，fα}是图1的终止序列.通过对n∈ω的归纳可以直接证明，n（1）的每个元素都决定，并且是确定的。14n不挖掘，深度最多为n的可拓树，并且投影f n+1是操作（. ）的方式|n. 例如，集合{k，{k}} ∈k2（1）由树表示(4)·•sJ·J·J在这一方法中，我们考虑Aω包含可拓树序列s→x苏chthatxn+1|n=xn。 Aω+1Aω的一个列是树s→x的一个序列，使得当n运行shω时，每个树xn的根节点的子节点数有界N0。设Aω+ω=<$nωAω+n<$Aω是树s→x的序列，则对每一个k∈ω，存在sNk，任何树xn的深度k个节点最多有Nk个孩子。 其次，我们给出了如何用单树表示Aω+ω的元素。让我们说，树t，可能是无限深的，是强伸展的如果（<$n∈ω）（<$m≥n）tn =（t|m）n.对于强可拓树的集合，我们有一个函数φ：T→Aω+ωgivenbyyφ（t）=（t |n）n< ω。我们还定义了一个函数Aω+ω→T，它是一个由树组成的序列. 注意，对于→x∈Aω+ω，（<$k∈ω）（<$Mk≥k）使得（<$n，m≥Mk）xnk=xmk这是因为，尽管对于任何n，树xn+1k可能比xnk宽，但树xn的分支宽度的界限直到深度k确保了这种情况下总是发生加宽停止。Thuswemy定义e（→x）yn（→x）k=xMkk.因为三个（→x）是强扩张的，n（→x）k=xMkk=e（xMMkMk）k=n（→x）|M·K·K现在φ和φ是互逆的。我们有φ·φ = 1，因为（φ（→x））n=φ（→x）|n=e（n（→x）n）=e（xMnn）=xnφ= 1，因为（φ φ（t））k = φ（t|0，t|1、... ）k = t|MK k=tk- -t的强外延性所保持的最终相等。有一个明显的余代数结构，将树t映射到以t的根节点的子树为根的子树的集合。在这种结构下，映射φ和φ是余代数同构。Barr [5]指出了T是T（X）=<$n ωXn的点态收缩，并由此证明了终结T-余代数的某个商可以是15←给出了弱终结余代数的结构因此，他得到了一个弱终结的余代数，其载体由有限分支扩张树组成。然后，他定义了一个等价关系，这些树和一组等价类成为终端的一个代数。上面的强可拓树是这些等价类的代表。7结论和今后的工作我们考虑了局部可表示范畴上可达内函子的终结序列的行为特别地，我们观察到对于无穷集函子，我们在ω+ω处收敛。这个证明没有扩展到κ-可达集函子，也就是说，我们不能证明在κ+ω处收敛。我们还研究了集合中的最终语义和度量语义之间的联系。许多研究人员都考虑过这一点，事实上，阿布拉姆斯基很早就意识到需要一个通用理论来理解这种情况[1]。据我们所知，还没有发展出这样的理论。相比之下，度量和序理论之间的惊人相似之处语义学通过丰富的类别导致了统一沿着与度量语义的联系相同的路线，我们观察到，有限集函子的终结余代数的迭代构造清楚地表明了Set（c.f. [1]）。 如果A0←A1←...Aω是集合中的一个ω-极限，则将Aω拓扑化为离散的在Stone空间范畴中我们得到了一个ω-极限。通过Stone空间范畴与布尔代数范畴之间的对偶，我们得到了布尔代数范畴的对于集合上的有限个内函子T，我们可以认为对应于终结T-序列中的对象Aω的布尔代数是对应于T的由命题理论生成的Lindenbaum代数。确认作者希望感谢他们的评论和参考文献。引用[1] S.艾布拉姆斯基互模拟的域方程。信息与计算92，2（1991），161-218.[2] P. Aczel和P.F. Mendler，A final coalgebra theorem，inCategory Theory andComputer Science，Lecture Notes in Comp. Sci.第389卷（[3] J.Ada'mekadV.Koubek. 在 一 个 统 一 的 定 义 中 ， Comput. Sci. 150（1995），5716[4] J.Ada'mekanddJ.Rosicky'.我 打 电 话 给 你 的 Presentablele 和AccessibleCategories。 LM-Snecture notes 189，剑桥大学出版社，1994.[5] M.张文，良基集合论中的终端余代数。Sci. 114（1993），299[6] M. Barr，Algebraically compact functors。Journal for Pure and AppliedAlgebra，82：211-231，1992.[7] J. Goguen和G. 马尔科姆隐藏的议程。 出现在理论上。Comput. Sci.[8] P.T. 作者：John，A. Watanabe，T. Tsujishita和J.Worrell。余代数范畴的结构。已提交。[9] R.S. Lazic和A.W.罗斯科关于转移系统和非良基集。一般拓扑学及其应用论文集。纽约科学院年鉴一九九六年。[10] Michael W. Mislove，Lawrence S.作者声明：FrankJ.1991.非良基集被建模为理想不动点。信息和计算93（1）：16-54。[11] Lawrence S.莫斯余代数逻辑纯逻辑与应用逻辑年鉴。一九九七年。[12] 你知道我的意思。 Guardedinonalcoalg ebras. ELECT。 不关你的事。比较科学11（1998）。[13] J. Power和H.渡边余代数范畴的公理化。Elect.注意Theor。Comp. Sci. 11（1998）。[14] J. Rutten，泛余代数：系统理论，Theor。比较科学，出现。[15] D. Turi和J.Rutten在最终语义的基础上：非标准集，度量空间，偏序。计算机科学中的数学结构，第8卷，第5期（1998）。[16] E. DeVink和J.Rutten。概率转移系统的互模拟：共代数方法。技术报告SEN-R9825，CWI，阿姆斯特丹，1998年。
我的内容管理
展开
