可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记341（2018）5-22www.elsevier.com/locate/entcs线性空间与广义幂级数理查德·布鲁特a，1罗宾·科基特b，2皮埃尔-阿兰·雅克明a，3菲利普·斯科特a，4a加拿大安大略省渥太华市渥太华大学数学和统计系b加拿大阿尔伯塔省卡尔加里市卡尔加里大学计算机科学系摘要我们考虑RibenboimRibenboim虽然他所施加的限制在概念上可能看起来不清楚，但我们证明了它们恰恰是在适当的Ehrhard有限性空间范畴中将这种幺半群表示为内部幺半群的适当条件Ehrhard引入了有限性空间作为经典线性逻辑的范畴模型的对象，其中集合配备了一类子集，可以认为是无限的。态射是保持有限结构的关系。有限子集的概念允许对计算结构进行更清晰的分析而不是关系模型中的例如，定点运算符不能是无穷的。在目前的工作中，我们把态射看作是保持有限结构而不是关系的部分函数。所得范畴是对称monoidal闭的、完备的和余完备的。任何一对在这个范畴中的内部幺半群和一个环通过基于Ehrhard的有限性空间线性化概念的Ribenboim构造的扩展诱导出一个广义幂级数环因此，我们进一步推广Ribenboim的建设。我们给出了几个例子的环，产生于此建设，包括环的Puienix系列和环的形式幂级数生成的自由幺半群。关键词：幂级数，有限性空间，线性化，偏序集，阿廷偏序集，窄偏序集，偏序幺半群，普列级数，部分函数。1介绍幂级数环在数学和理论计算机科学中的任何集合中都是具有根本重要性的对象。应用代数和分析是众多的和众所周知的。在理论计算机科学中，幂级数出现在例如流的共归纳分析中[22]，以及在1电子邮件：rblute@uottawa.ca，研究部分由NSERC发现资助。2电子邮件：robin@ucalgary.ca，研究部分由NSERC发现资助。3电子邮件：pjacqmin@uottawa.ca，研究部分由NSERC发现资助的Blute Scott。4电子邮件：phil@site.uottawa.ca，研究部分由NSERC发现资助。https://doi.org/10.1016/j.entcs.2018.11.0021571-0661/© 2018由Elsevier B. V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。6R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）5自动机和形式语言理论的研究[3，7]。因此，任何框架，概括和理解这种环提供了一个概念基础是非常感兴趣的。Ribenboim介绍了他的概念，广义幂级数[19，20，21]，以研究环的算术函数。但这种结构是相当普遍的，并给出了大量的例子，其中一些在下面讨论。该结构本质上是函式的，因此可以通过范畴论进行分析。Ribenboim从一个特殊的偏序幺半群（pomanoid）开始，他称之为严格pomanoid。他认为这些功能从pomnix到一个环，使支持（逆图像的补充0）是artinian和狭窄（定义如下）。他表明，狄利克雷卷积公式升降机到这一设置，从而获得一个环，可以明智地被认为是一个环的幂级数。Ehrhard[5]引入了线性空间，作为线性逻辑的通常关系模型的丰富[8]。一个有限性空间是一个集合配备了一类子集，这是被认为是无限的。有限性空间之间的态射是保持有限结构的关系。Ehrhard的模型提供了对线性逻辑的计算结构的更精细的分析。特别是不动点算子不能像人们所期望的那样是无穷的。 虽然Ehrhard 我对构建线性逻辑模型很感兴趣，因此选择了关系作为他的态射，在我们对幺半群的研究中，考虑保持有限结构的（部分）函数似乎更合适。我们称这样的（部分）函数为有限（部分）函数。 证明了含函数的范畴是对称么半群但不是闭的、完备的或上完备的，而含部分函数的范畴是完备的、上完备的且是对称么半群闭的。虽然里本博伊姆在他的构造中所要求的条件（支持的假设必须是阿廷式的和狭义的，而假设必须是严格的）在概念上似乎不清楚，但它们恰恰是人们把这些对象看作有限空间所需要的假设。特别地，我们证明了对于任何偏序集，如果定义无穷子集为Artin和窄子集，则结果是有限性空间。如果考虑偏序集和严格同态的范畴StrPos（即，这些态射保持严格的不等式），那么这个范畴是（对称的）monoidal和内部monoids正是Ribenboim的严格pomnoid。此外，如果我们再一次把有限子集定义为Artin子集和狭义子集，那么我们就得到了一个在适当的有限空间范畴中的内幺半群。我们这样做是通过证明上面描述的构造是函子的和幺半群的，从而把幺半群变成幺半群。这个难题的最后一块是Ehrhard对于一个选定的环，我们将一个有限性空间赋给从该空间到该环的所有函数的集合我们表明，线性化的内部幺半群是一个环，特别是线性化的有限性空间相关联的严格pomestrium正是RibenboimEhrhardR. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）57术语：我们的环应该是酉的，但不一定是交换的。2Ribenboim我们现在审查的结构，Ribenboim所谓的广义幂级数，我们将呼吁Ribenboim幂级数。[5]本演示文稿基于[19，20，21]中的演示文稿。设（M，·，≤）是一个偏序幺半群（或称幺半群），即，偏序集范畴Pos中的幺半群和保序映射。我们说M是严格有序的（或者说是严格有序的），如果s sJs·t sJ·t和t·s t·sJs，SJ，t∈M.一个偏序集是阿廷的，如果所有严格降序列表（m1>m2>···）都是有限的。 它是窄的，如果所有离散子集是有限的;也就是说，如果任何不相关的元素的子集≤是有限的。它是诺特的，如果每个严格递增列表（m1m2···）是有限的。<<我们将使用以下结果。 它在[19]中证明命题2.4是至关重要的。引理2.1设（P，≤）是Artin偏序集和Noether偏序集. P是窄的，当且仅当P是有限的。由于引理2.1在这个领域经常被引用，但通常没有给出证明，我们包括一个证明作为无限偏序集的拉姆齐定理的几乎直接推论证据（二）显而易见。 至于（A），假设P是窄的和无限的（以及如Artinian和Noetherian）。根据Grillet [9]命题B.2.3，阿廷条件和诺特条件等价于说由Hodges[13]，推论11.1.5，作为Ramsey定理的结果无限离散子集，其元素是成对不可比的）。由于P是窄的，后者是不可能的。因此，P必须包含无限长链，这与格里耶 Q定义2.2[Ribenboim，[19]]设A是一个阿贝尔群，（P，≤）是一个偏序集。回想一下，函数f：P的支撑定义为ysupp（f）={p∈P|f（p）= 0}。将系数在A中的Ribenboim幂级数空间G（P，A）定义为函数f：P的阿贝尔群一个其支持是artinian和狭窄的，逐点添加。我们现在已经建立了定义Ribenboim广义幂级数的所有必要结构[5]注意，Ribenboim假设了底层环和pomp的交换性。事实上，这两个假设都是不必要的，我们已经相应地修改了定义8R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）5Σ定理2.3（Ribenboim，[19]）若（M，·，≤）是严格素数，R是环，则G（M，R）也是环，哪里（f·g）（m）=（m1，m2）∈Xm（f，g）f（m1）·g（m2）Xm（f，g）：={（m1，m2）∈M × M |m1·m2= m且f（m1）/= 0，g（m2）/= 0}.单位由函数e：M→R给出，其中如果m = 1 M，则e（m）= 1 R，否则为0。乘法定义良好的事实如下：命题2.4（Ribenboim，[19]）集合X m（f，g）对f，g ∈ G（M，R）是有限的。有很多例子。 参见Ribenboim文件以了解进一步的讨论。• 设M=N，具有标准阶。其结果是R中系数为幂级数的通常环。• 设M=Z，具有标准阶。其结果是在R中具有系数的Laurent级数环。• 设M=N，具有离散阶。 结果是通常的多项式环 inR.• 设M=Z，具有离散阶。其结果是R中Laurent多项式的通常环。• 设M=N\{ 0}与乘法运算，配以通常的排序.则G（M，R）是值在R中的算术函数的环，乘法是狄利克雷• 设M = N\{0}，其乘法运算与上述相同，但现在具有整除序，即m1≤m2m1|m2。则G（M，R）是值在R中的算术函数环的真子环.3非线性空间3.1基本建设我们现在介绍Ehrhard定义3.1· 设X是一个集合，设U是X的子集的集合，即，U P（X）.定义Uby：U ={uJX|集合uJ∈u对所有u ∈ U都是有限的}可以立即检查是否有UU和U=U。R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）59• 有限性空间是一个对X=（X，U），其中X是一个集合，U ∈ P（X），使得U=U。 我们有 时 会把X表示为|X|而U是F（X）的。• 有限性空间R：X → Y的态射是关系R：|X| → |Y|使得 以下两个条件成立：(1) 对于所有的u∈ F（X），我们有uR∈ F（Y），其中uR ={y∈| Y|| <$x ∈u，xRy}。(2) 对于所有vJ∈ F（Y），我们有RvJ∈ F（X），其中RvJ={x∈| X|| {y∈vJ，xRy}。很容易验证这是一个类别。我们将其命名为FinRel。引理3.2（Ehrhard，[5]）在有限性空间态射的定义中，条件（2）可以替换为：（2 J）对于所有b ∈ |Y|，则R{b} ∈ F（X）<$。定理3.3（Ehrhard，[5]）FinRel是一个 n-自治范畴. 张量X-Y =（|XY|，F（X Y））是通过设置|X Y|为|X| × |Y|和F（X<$Y）={u×v|u∈ F（X），v∈ F（Y）}={w| <$u∈ F（X），<$v∈ F（Y），w<$u× v}.张量的单位是I =（{k}，P（{k}）），对偶性由下式给出（|X|，F（X））=（|X|，F（X）（？）3.2态射的其他选择有限性空间的态射的选择是出于希望有一个双自治范畴的动机。对于检查内部幺半群，作为态射的关系我们现在还有两个明智的选择。我们首先定义FinF类别。对象是有限性空间，态射f：（X，U）→（Y，V）是满足定义3.1中相同条件的函数。我们用同样的方法定义FinPf，除了态射是满足定义3.1中相同条件的部分函数。我们注意到，满足定义3.1的（2）的部分函数f：X ≠Y自动满意度（1）。事实上，给定u ∈ U和vJ∈ V <$，如果u <$f −1（vJ）是有限的，那么f（u）<$vJ根据f的满射限制也是有限的：（u <$f −1（vJ））→（f（u）<$vJ）。因此，范畴FinPf（或FinF）等价于以有限空间为对象和部分函数（或全函数）f的范畴：X满足f−1（v）∈U，对于ea chv∈V作为态射（X，U）的X Y（Y，V）. 等价性是通过将有限性空间（X，U）映射到（X，U）而获得的，f：（X，U）<$（Y，V）到f：（X，U<$）<$（Y，V<$）。这是一种这些类别，但为了发展10R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）5f∈wf∈wf∈ wu，v′很容易看出FinF和FinPf是对称的monoidal范畴，FinF<$→ FinPf<$→ FinRel是对象上的双射，（严格）对称monoidal函子。FinF范畴确实有一个重要的问题，它不是monoidal闭的。事实上，−（， P（））：FinF →FinF没有右伴随（因为FinF没有终端对象）。另一方面，我们有：命题3.4范畴FinPf是一个对称monoidal闭范畴。证据设（X，U）和（Y，V）是两个有限性空间。我们把有限性空间[（X，U），（Y，V）]定义如下。设A为集合A={f ∈ FinPf（（X，U），（Y，V））|f不是空的偏函数，设W是集合W ={wA|w满意度（4）}={wA|w满足（3）和（4 J）} P（A）其中条件（3）、（4）和（4J）定义如下：(3) 对于每个u∈ U，并f∈wf（u）在V中，(4) 对于每个u ∈ U和每个vJ∈ V<$，集合{f ∈ w |f（u）<$vJ/= n}是有限的，（4 J）对于每个u∈ U和每个y∈Y，集合{f∈w|f（u）是有限的。很容易看出，条件（4）蕴涵条件（4J）。 它还意味着条件（3）：给定u∈ U和vJ∈V<$，让我们用<$u，vJ<$表示集合然后，.u，vJ<$={f∈A|f（u）vJ{\fn方正黑体简体\fs18\b1\bord1\shad1\3cH2F2F2F}.⎛⎝f(u)⎞⎠∩vJ=(f(u)∩vJ)=(f(u)∩vJ)是有限的，因为w∈u，v∈j，且所有f（u）∈v ∈J都是。相反，条件（3）和（4J）的结合意味着条件（4）。对于u∈ U和vJ∈V，{f ∈ w |f（u）vJ}={f∈w|f（u）={f ∈ w |y ∈ f（u）y∈v′是有限的，是有限集合的有限联合。y∈v′f∈wf（u）R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）511.、、、.f∈wf∈ wu，v′现在让我们证明（A，W）是有限空间。我们需要证明你好。 鉴于条件（4），给定u∈ U和vJ∈ V <$$>，集合<$u，vJ<$属于到W。 这意味着对于w ∈ W，集合w u，vJ={f ∈ w |f（u）vJ}是有限的，w∈ W。 因此，我们可以将[（X，U），（Y，V）]定义为有限空间。（A，W）。我们现在定义部分函数ev：[（X，U），（Y，V）]→（X，U）→（Y，V）通过ev（f，x）=f（x）如果f（x）被定义如果f（x）是unfined，则unfined。让我们证明这是FinPf中的一个态射。对于任何vJ∈V，w∈ W和u∈ U，我们必须证明ev−1（vJ）（w×u）是有限的。但这一套是{（f，x）|x ∈ u <$f −1（vJ）}={（f，x）|x ∈ u <$f −1（vJ）}它是有限的，因为w ∈u，v∈j，且所有u ∈ f −1（v∈ J）都是。现在设（Z，T）是一个有限空间，g：（Z，T）<$（X，U）<$（Y，V）是FinPf中的态射。唯一态射h：（Z，T）<$[（X，U），（Y，V）]构成图（Z，T）（X，，U），gh（X，U）C...... 拉斯[（X，U），（Y，V）]（X，U）ev交换必须通过定义（Y，V）h（z）=g（z，−）如果g（z，−）不是未定义的空部分函数如果g（z，−）是空部分函数。它仍然需要证明h是FinPf中定义良好的态射。首先，让我们证明对于z∈Z，部分函数g（z，−）是态射（X，U）（Y，V）. 对于u∈U，g（z，−）（u）= g（{z}×u）在V中.所以g（z，−）满足条件（1）。对于条件（2J），设y∈Y，u∈U，注意集合u∈g（z，−）−1（y）与集合（{z}×u）∈g−1（y）是双射，其中h是有限的。为了结束对……的讨论，我们还必须证明h：（Z，T）<$[（X，U），（Y，V）]也是FinPf中态射。为条件（1），我们必须证明，给定t∈ T，h（t）满足（3）和（4J）。给定u∈ U，集合f∈h（t）f（u）=z∈tg（z，−）（u）=g（t×u）在V中，表示条件（3）。对于条件（4J），设u∈ U，y∈Y.第一个投影、、12R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）5g−1（y）<$（t×u）→{z∈t|y∈g（z，−）（u）}R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）513是一个满射，赋值z<$→g（z，−）是一个满射{z∈ t |y ∈ g（z，−）（u）} → {f ∈ h（t）|y ∈ f（u）}。由于集合g−1（y）<$（t×u）是有限的，这证明了条件（4J）。现在需要证明h满足条件（2J）。设f∈A，t∈ T.我们需要证明h−1（f）t是有限的。 由于f不是空的偏函数，我们可以选择 x∈X使得f（x）被定义。现在，我们有一个注射h−1（f）t ={z ∈ t |g（z，−）= f}<${（z，x）|z ∈ t，g（z，x）= f（x）}= g−1（f（x））<$（t×{x}）将z发送到（z，x）。但由于g−1（f（x））<$（t×{x}）是有限的，这就结束了证明。Q注意，有限性空间（P，P（P））在FinPf中是零对象（并且在FinRel）。 所以empty偏函数XY实际上是零态射（X，U） （Y，V）. FinPf类别还具有以下额外优势。命题3.5指向范畴FinPf是完备的和上完备的。证据让我们开始展示FinPf有均衡器。给定两个平行的形态f在FinPf中，让我们考虑（X，U）G（Y，V）E={x ∈ X |f（{x}）= g（{x}）}={x ∈ X|或者f（x）和g（x）都是未定义的或者两者都有定义，且f（x）= g（x）}。设W ∈ P（E）为W ={u∈ U|uE}。 那么这是例行程序来表明，W ={uJ∈ U|uj E}，（E，W）是有限空间，包含（E，W）<$→（X，U）是f和g在FinPf中。现在设I是一个集合，（Xi，Ui）是一个有限空间，其中每个i∈I。让我们构建积i∈I（Xi，Ui）. 对于每个i∈I，我们用XiJ表示不交并Xi和{* i}。我们认为产品P=.XiJ<$\{（* i）i∈I}i∈IWJ=XjJ×uJi|uJi∈UP（P）.i∈I<$j∈I\{i}<$14R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）5...- 是的ΣΣ我Junfinedif xJ=*.J我我我我我我j∈I\{i}（P，W J∈）是一个有限空间，对于每个i∈ I，我们有一个态射πi：（P，WJ<$）<$（Xi，Ui）由下式给出：π（（xJ））=.xJiifxJi∈Xi我我这在FinPf中形成了所需的产品。的确，设（Z，T）是有限性空间，且对于eachi∈I，fi是态射（Z，T）n（Xi，Ui）. 然后，唯一态射g：（Z，T）n（P，W Jn）使得πig=fi，对eachi∈I，由y给出g（z）=（fiJ（z））i∈I如果存在i∈I使得z∈Dom（fi）unfined如果fi（z）对所有i∈I其中fiJ：Z函数定义为：fJ（z）=.fi（z）ifz∈Dom（fi）*i如果z∈/Dom（fi）。让我们证明这个g确实满足条件（1）和（2 J）成为FinP f中的态射。 F或（1），设t∈T，i∈I，uJi∈U<$i. 集合g（t）X J×uj=，g（z）|z∈t<$fJ−1（uJ），=.g（z）|z∈t<$f−1（uJ）<$是有限的，因为tfi−1（uJi）是。这证明了g（t）∈ Wj。对于条件（2J），设（xjj）j∈I是P的一个元素.通过构造P，存在i∈I使得XJi∈Xi.因此，我们认为，g−1（（xJj）j∈I）<$fi−1（xJi）∈ T<$因为fi满足（2J）。 因此，g确实是FinPf中的态射。 这表明FinPf是完整的。我们现在证明FinPf有coequalisers。设f，g：（X，U）<$（Y，V）是两个态射.我们首先考虑（集合理论）商Q1=Y/Rq1：Y→Q1是相应的商映射，其中R是Y上的最小等价关系，使得f（x）Rg（x）对所有x∈Dom（f）<$Dom（g）.然后，我们考虑Q2，Q1的子集定义为Q2= Q1\q1（f（x））|x ∈ Dom（f）<$Dom（g）C<$q1（g（x））|x ∈ Dom（f）C<$Dom（g）其中Dom（f）C和Dom（g）C通常分别表示Dom（f）和Dom（g）在X最后，我们考虑Q3，Q2的子集，定义如下：Q3=，a∈Q2|q1−1（a）∈V<$，j∈IR. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）51533C连同由下式给出的部分（满射）函数q3：Y→Q3q（y）=.q1（y）ifq1（y）∈Q3还假设如果q1（y）∈/Q3，则未定义。W ={q3（v）|v∈ V}<$P（Q3）这导致了有限性空间（Q3，W2）。 通过构造，我们知道，q3产生态射q3：（Y，V）），因为它显然满足条件（1）和（2J）。 这个态射满足q3f=q3g。 给定一个态射h：（Y，V）<$（Z，T）使得hf = hg，我们可以构造一个部分函数k：Q3<$Z，k（q（y））=.h（y） ify∈Dom（h）如果y∈/Dom（h），则未定义。这个部分函数定义良好，因为R<$Rh，其中Rh是Y上的等价关系，定义为yRh yJ惠h（{y}）=h（{yJ}）惠h（y）=h（yJ）（两者都有定义）或h（y）和h（yJ）都有定义。为了证明kq3=h，唯一的非平凡部分是证明对于y∈Dom（h），q3（y）被定义，即，q1（y）∈Q3.若q1（y）=q1（f（x）），其中x∈Dom（f）<$Dom（g），则yRf（x）<$yRh f（x）<$f（x）∈Dom（h）这是个矛盾类似的结论也成立，如果q1（y）=q1（g（x）），x∈Dom（f）C∈Dom（g）. 因此q1（y）∈Q2. 现在我们知道q1−1（q1（y））<$h −1（h（y））∈V<$第一个包含自q1（yJ）= q1（y） yJRy yJR hy h（yJ）= h（y）。这证明了q1（y）∈Q3和kq3=h.而且，k是唯一的偏函数Q3满足这个方程。它仍然需要满足条件（2），以成为一个更高的pism（Q3，Wim）。n（Z，T）. 因此，令tJ∈T <$。我们有一个VEOSOWTHATk−1（tJ）={a∈Q3|k（a）∈tJ}={q3（y）|h（y）∈tJ}=q3（h−1（tJ））在W。 Letv∈V。 Weob<$h aveq3（h−1（tJ）<$v）<$q3（h−1（tJ））<$q3（v）.相反，假设q3（y1）= q3（y2），其中y1∈h−1（tJ）且y2∈v。这意味着k（ q3（y1））=h（y1）∈TJ，因此k（q3（y2））被定义并属于TJ。因此h（y2）∈tJ且y2∈h−1（tJ）。这证明q3（h−1（tJ））<$q3（v）=q3（h−1（tJ）<$v）.16R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）5我⎝⎠i∈IXi，W是预期的副产品。 所以FinPf是共完备的。Q由于h−1（tJ）<$v是有限的，这表明q3（h−1（tJ））∈W<$v。现在还需要证明FinPf中小余积的存在。 设I是一个集合，（Xi，U i）是一个有限空间，对每个i ∈ I. 我们认为不相交的结合i∈IXi和W={u i1N ··· Nu in|i1，.，i n∈I和u ik∈ Uik.X I II.i∈I很容易证明，W=.uJi|uJi∈U<$iforea chi∈I<$ii∈I且W=W。 是的i∈IXi，W∈ I X i是一个有限空间。 对于每个i∈I，令si：（Xi，Ui） Xj，Wj∈I是规范注入，这显然是FinPf中的态射。 给定一个有限空间（Z，T），对于每个i∈I，都有一个态射fi：（X i，U i）<$（Z，T），我们定义部分函数g：i∈IXiZ由g（x）=.fi（xi）ifxi∈Dom（fi）unfined ifxi∈/Dom（fi）对ea chxi∈Xi. 这个g是一个态射g：。i∈IXi，W<$（Z，T），因为对于eachtJ∈T，g−1（tJ）=i∈Ifi−1（tJ）∈W<$.更多关于，W。havegsi=fi，其中eachi∈I且g是唯一的次h态射，4偏序集作为有限性空间，偏序集作为有限性幺半群本节的目的是解释我们如何在FinF中将严格pomentum视为幺半群，以及为什么这不是一般pomentum的情况。然后，我们推广Ribenboim这将使我们更好地理解为什么Ribenboim在定义定理2.3的环G（M，R）时需要这个严格性假设。4.1偏序集作为有限性空间定理4.1设（P，≤）是偏序集.设U是Artin子集和窄子集的集合。（P，U）是一个有限的空间。证明R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）517≤≤证据 这是由下面的引理4.2和4.3得出的。Q引理4.2在上述假设下，U是P.证据设uJ∈U.假设uJ不是诺特。所以它有一个无限递增列表m1m2···。<<表示链{m1，m2，. （CuJ.）这显然是狭隘的艺术。所以C∈ U。但CuJ=C，这是无限的。相反，假设ujP是诺特的。我们必须证明，对于所有的u∈ U，我们有u∈uJ是有限的。这将从引理2.1中得出：• uuJ是狭窄的和艺术的，因为它包含在u中。• u∈uJ是诺特的，因为它包含在uJ中。Q引理4.3在上述假设下，如果V是P，则V = U。证据设vJ∈V。假设vJ不窄。所以vJ有一个无限离散子集，称之为D。注意离散子集是诺特的，然后如上所述进行论证假设vJ不是阿提尼亚人。然后它有一个无限降序列表m1>m2>···，它形成vJ的一个诺特子集。再一次，如上所述。这证明了VU。相反，注意UU=V。Q4.2单次幺半群我们现在要证明，（P，≤）›→（P，U）定理4.1是函式的。不幸的是，如果我们把它从通常的偏序集范畴Pos考虑到我们所考虑的任何有限性空间范畴，情况就不是这样了。实际上，诺特子集的保序映射下的逆像可能不是诺特的。然而，如果我们考虑严格映射，这个问题就消失了。定义4.4如果（P，）和（Q，）是两个子集，则映射f：如果p< pJ蕴涵f（p） i2> i3>···。 然后，再次使用[5]中的命题1，我们可以推导出这个序列的无限子序列的存在，其元素属于某个公共ua，m。由于这是不可能的，这样的序列不存在，我们知道存在a∈ Z使得uU，因此（Q，U）是有限空间。接下来，我们要证明配备经典+和0的（Q，U）是FinPf中的幺半群（实际上，甚至在FinF中）。唯一重要的事实是+：（Q，U）（Q，U）（Q，U）满足条件（1）和（2J）。设a，b∈ Z，n，m∈ N \ {0}.很容易看出+（ua，n×ub，m）uam+bn，nmR. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）521p.Σ.p组：ab，mn M这是一个有限的集合。为每个.i，j在上面的集合中，我们有imp=nmc−jnp≤nM证明条件（1）.对于条件（2J），设c是有理数，c∈ Z且p∈ N \ {0}. 我们需要证明+-1。c（u × u）=.. i，j|ia，jb和imp + jnp = nmcnmc−bnp等n ma≤i ≤nmc−bnp。MP所以，我只能取有限个值。 但对于每个这样的i，至多有一个对应的j，证明只有有限多个这样的i，j。由于（（Q，U），+，0）是FinPf中的幺半群，所以我们可以认为环R<$（Q，U）是R中的系数为零的Pui-x级数环.例5.2[形式幂级数]设A是一个集合（在这种情况下称为字母表）。设M是由A生成的自由幺半群。有限性空间（M，P（M））在FinPf（实际上甚至在FinF）中有一个幺半群结构，由M的经典幺半群结构给出。这里唯一重要的部分是检查乘法是否·：（M，P（M））（M，P（M））（M，P（M））满足条件（2J）。 这是因为，由于M是自由生成的，由A，对于每个m∈M，只有有限个（m1，m2）∈M2使得m1·m2=m.则环R<$（M，P（M））<$称为指数在M中，系数在R中的形式幂级数环，并被构造为所有映射的集合MR，以及形式幂级数的经典和与积。这一个例子可以推广到所有分次幺半群M，即，[23]每个元素只有有限个不同的因子分解，见[23]。例5.3 [次数至多为n的多项式]设n为自然数，X ={0，...，n}。 有限性空间（X，P（X））在FinPf中具有幺半群结构（（X，P（X）），μ，η）：映射到0和η：（{η}，P（{η}））n（X，P（X））μ：（X，P（X））<$（X，P（X））=（X×X，P（X×X））<$（X，P（X））定义为：μ（a，b）=a+b ，如果a+b≤n如果a + b> n，则不成立。则相应的环R只不过是R≤n[T]， 多项式的次数最多为n和系数在R。相乘22R. Blute等人/理论计算机科学电子笔记341（2018）5）=的）·（r2T产生学士r1r2T a+b如果a+b≤n0，如果a +b> n。6今后工作幂级数环上的微分算子是幂级数环上的重要算子，一个很自然的问题是能否对本文中提出的广义幂级数环进行微分。事实上，在交换情形下，线性化有限性空间范畴提供了离散范畴的第一个例子[2]，用于离散线性逻辑模型的研究[6]。研究这些广义级数的微分以及它们在多大程度上适合于微分范畴框架是有意义的。洛朗级数由于各种原因而引起人们极大的兴趣，但它们出现的一个地方是量子场论中的重整化[16]。这个环有一个Rota-Baxter算子[10]，用于Connes-Kreimer方法的重整化[4]。Guo和Liu[11]随后研究了Ribenboim幂级数上的投影算子何时实际上是Rota-Baxter算子。在有限幺半群的背景下，这个算子及其函子性质的类似刻画是一个正在进行的项目。最后我们提到森田理论[1]。两个环是Morita等价的，如果它们的表示范畴是等价的。这一理论可推广到任何情况。例如，森田理论的pomperium [14，15]是一个公认的领域。确定这里提出的函子构造在多大程度上把关于pomentum和部分有限幺半群的森田理论与关于环的森田理论引用[1] F. Anderson和K.Fuller，Rings and categories of modules，Springer-Verlag，1992。[2] R.布鲁特，J.R.B. Cockett和R.A.G. Seely，Differential categories，Math.Structures Comput。Sci. 十六岁，pp. 1049[3] M. Droste和W.Kuich，半环和形式幂级数，加权自动机手册，Springer，pp。3[4] K. Ebrahimi-Fard和L.郭，微扰量子场理论重整化中的Rota-B
