有理双立方函数的单调和凸形状保持插值方案

0原始文章0形状保持的有理双立方函数0Malik Zawwar Hussain a，Maria Hussain b，*，Madiha Amjad a0a巴基斯坦拉合尔旁遮普大学数学系b巴基斯坦拉合尔女子学院0收到时间：2011年10月13日；修订时间：2012年6月26日；接受时间：2012年6月28日 在线发表时间：2012年10月10日0关键词0有理双立方函数；参数；单调曲面；凸曲面0摘要本研究致力于开发用于单调和凸数据的形状保持插值方案。使用带参数的有理双立方函数进行插值。为了保持单调和凸数据的形状，在每个矩形补丁上开发了简单的数据相关约束。本文开发的方案受限，运行成本低，能产生平滑的曲面。© 2012年开罗大学计算机与信息学院。由Elsevier B.V.制作和托管。保留所有权利。01.介绍0单调性是数字到模拟转换器（DACs）、模拟到数字转换器（ADCs）和传感器规格的关键工具。这些设备在控制系统应用中被广泛使用。癌症患者的红细胞沉降率（ESR）、痛风患者的尿酸水平、统计学中夫妇和准夫妇的近似值是其他一些单调量。凸性出现在非线性规划、设计、最优控制、参数估计和逼近等科学应用中生成的数据中。0在以前的几年里，已经发表了大量关于曲线和曲面形状保持的工作[1-9]。Beatson和Ziegler[2]为正则单调数据开发了一个形状保持的插值方案。矩形补丁由C1二次样条连接。对数据值和导数在矩形网格上进行了充分条件的推导，以确保单调性。Carl-son和Fritsch[3]开发了一个双立方多项式插值方案，用于保持单调数据的形状。这些条件足以在所有矩形元素上建立单调双立方多项式。Sarfraz、Butt和Hussain[8]构建了一个用于单调数据的有理插值方案。该方案在每个坐标参数上都是三次的。有理插值器在每个子区间中有一个自由参数。通过在自由参数上建立自动约束来保证单调性。Asaturyan[1]提出了一个用于凸曲面数据插值的细分方案。识别了凸性丢失的矩形补丁，并将其分成九个子矩形。在这些子矩形上应用了保持凸性的插值方案。观察到子矩形的变化会影响整个域，从而建立了0*通讯作者。电话：+92 03314930071。电子邮件地址：malikzawwar.math@pu.edu.pk（M.Z. Hussain）0mariahussain1@yahoo.com，mariahussain_1@yahoo.com（M.Hussain）。同行评审由开罗大学计算机与信息学院负责。0由Elsevier制作和托管0埃及信息学杂志（2012）13，147-1540开罗大学0埃及信息学杂志0wij0www.sciencedirect.com01110-8665 © 2012年开罗大学计算机与信息学院。由Elsevier B.V.制作和托管。保留所有权利。http://dx.doi.org/10.1016/j.eij.2012.06.001´1Þ ;ð2Þa0ðaÞ ¼ ð1 � aÞ2ð1 þ 2aÞ; a1ðaÞ ¼ a2ð3 � 2aÞ; b0ðbÞ¼ ð1 � bÞ2ð1 þ 2bÞ; b1ðbÞ ¼ b2ð3 � 2bÞ; a ¼ x � xidi; b¼ y � yj^dj; i ¼ 0; 1; 2; � � � ; m � 1; j ¼ 0; 1; 2; � � � ; n � 1:Sðx; yjÞ ¼Xi¼0ð1 � aÞ3�iais0;iv1ðaÞ;ð3Þwiths0;0 ¼ Fi;j; s0;1 ¼ vi;jFi;j þ diFxi;j; s0;2 ¼ wi;jFiþ1;j � diFxiþ1;j; s0;3¼ Fiþ1;j; v1ðaÞ¼ ð1 � aÞ3 þ vi;jað1 � aÞ2 þ wi;ja2ð1 � aÞ þ a3;Sðx; yjþ1Þ ¼X3i¼0ð1 � aÞ3�iais1;iv2ðaÞ;ð4Þwiths1;0 ¼ Fi;jþ1; s1;1 ¼ vi;jþ1Fi;jþ1 þ diFxi;jþ1; s1;2¼ wi;jþ1Fiþ1;jþ1 � diFxiþ1;jþ1; s1;3 ¼ Fiþ1;jþ1; v2ðaÞ¼ ð1 � aÞ3 þ vi;jþ1að1 � aÞ2 þ wi;jþ1a2ð1 � aÞ þ a3;Sðxi; yÞ ¼X3i¼0ð1 � bÞ3�ibis2:iv3ðbÞ;ð5Þwiths2;0 ¼ Fi;j; s2;1 ¼ ^vi;jFi;j þ ^djFyi;j; s2;2 ¼ ^wi;jFi;jþ1 � ^djFyi;jþ1; s2;3¼ Fi;jþ1; v3ðbÞ¼ ð1 � bÞ3 þ ^vi;jbð1 � bÞ2 þ ^wi;jb2ð1 � bÞ þ b3;148M.Z. Hussain et al.0这是一个全局方案。Costantini和Fontanella[4]为正则凸数据开发了一个插值方案。该方案是半全局的。Floater[5]推导出了贝塞尔曲面的控制点的充分条件，以从凸数据中提升凸曲面。Hussain、Sarfraz和Shaikh[7]开发了一个C20正和凸数据形状保持的有理方案。本文强调了单调和凸数据插值的问题。数据值由有理双三次函数插值。每个矩形片段中的这个有理双三次函数具有八个参数。确定这些参数的范围以确保数据的形状保持。本文的开发方案对数据和带导数的数据都是积极的，保证了对曲面的局部控制，并承诺了C1平滑度。本文的其余部分组织如下：第2节回顾[9]。第3节详细介绍了用于曲面数据插值的有理双三次函数[6]。第4节开发了单调和凸数据的形状保持插值方案。第5节总结了本文。02. 有理三次函数0本节详细介绍了Sarfraz和Hussain在[9]中开发的有理三次函数。让考虑中的平面数据为f（x i; f i）: i = 0; 1; 2; ...; n g，结节的划分为xi < x i+1; i = 0; 1; 2; ...; n - 1。函数和导数值分别为f i，di。分段C1有理三次函数定义为：0S（x）� S i（x）= p i（h）q i（h）;（1）0其中0p i（h）= U i（1 - h）3 + v i V i h（1 - h）2 + w i W i h2（1 - h）+ Z i h 3;0q i（h）=（1 - h）3 + v i h（1 - h）2 + w i h2（1 - h）+ h 3;0U i = f i; Z i = f i+1; V i = f i + h i d i v i; W i = f i+1- h i d i+1 w i;0h = x - x i h i; h i = x i+1 - x i; D i = f i+1- f i h i:0v i和w i是自由参数，对v i和wi的值的变化有助于用户控制（收紧或放松）不同部分曲线的形状。可以注意到，当v i = w i =3时，有理三次函数显然成为三次Hermite插值。0定理1[9]。对于导数参数上的给定条件d i P 0; i = 0; 1; 2; ...;n，插值函数（1）单调递增的充分条件是0v i = d i + d i+1 D i; w i = d i+ d i+1 D i:0定理2[9]。对于导数参数和数据上的给定条件d 1 < D 1 < ... < Di-1 < d i < D i < ... < D n-1 < dn，插值函数（1）凸的充分条件是0v i = w i = q i + Max d i+1 - d i 0� �; q i = 0:0定理1和定理2的证明可在[9]中找到。03. 有理双三次函数0在本节中，描述了有理三次函数（1）向有理双三次函数S（x，y）的扩展，用于插值正则数据。让正则数据排列在矩形域D = [a; b] [c;d]上。区间[a; b]和[c; d]的划分为p：a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < xm = b和~p：c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y n = d。在矩形片段I =[x i; x i+1] [y j; y j+1]上的有理双三次函数表示为S（x，y）= a0（a）S（x i; y）+ a 1（a）S（x i+1; y）- S（x; y j）b 0（b）0a 0（a）b 0（b）S（x i；y j）+ b1（b）S（x i；y j+1）0a i（a）和b i（b），i = 0, 1是分别定义为三次Hermite混合函数：0S ð x ;  y j Þ ;  S ð x ;  y j þ 1 Þ ;  S ð x i ;  y Þ  和  S ð x i þ 1 ;  y Þ 是构成矩形块的四个边界的有理三次函数（1）：Sðxiþ1; yÞ ¼X3i¼0ð1 � bÞ3�ibis3;iv4ðbÞ;ð6Þwiths3;0 ¼ Fiþ1;j; s3;1 ¼ ^viþ1;jFiþ1;j þ ^djFyiþ1;j; s3;2¼ ^wiþ1;jFiþ1;jþ1 � ^djFyiþ1;jþ1; s3;3 ¼ Fiþ1;jþ1; v4ðbÞ¼ ð1 � bÞ3 þ ^viþ1;jbð1 � bÞ2 þ ^wiþ1;jb2ð1 � bÞ þ b3:Fx0;j ¼ D0;j þ ðD0;j � D1;jÞd0d0 þ d1;Fxm;j ¼ Dm�1;j þ ðDm�1;j � Dm�2;jÞdm�1dm�1 þ dm�2;Fxi;j ¼ Di;j þ Di�1;j2; i ¼ 1; 2; 3; � � � ; m � 1; j ¼ 0; 1; 2; � � � ; n:Fyi;0 ¼ bDi;0 þ ðbDi;0 � bDi;1Þ^d0^d0 þ ^d1;Fyi;n ¼ bDi;n�1 þ ðbDi;n�1 � bDi;n�2Þ^dn�1^dn�1 þ ^dn�2;Fyi;j ¼bDi;j þ Di;j�12; i ¼ 0; 1; 2; � � � ; m; j ¼ 1; 2; 3; � � � ; n � 1;where Di;j ¼Fi;jþ1�Fi;j^dj.);):03.1. 导数逼近的算术平均方法 [6]0在本文中，偏导数 F x i ; j 和 F y i ; j通过“算术平均法”进行近似。导数逼近的算术平均方法是一种差分方案，它涉及计算每个矩形块的  ij th角的导数时使用三个相邻点。具体公式如下：0F i þ 1 ; j � F i ; j d i和 b D i ; j  ¼04. 提出的算法0本节将使用有理双三次函数（2）开发正则曲面数据的保持单调性和凸性的方案。04.1. 单调有理双三次函数0定理3. 如果在每个矩形补丁中，自由参数 v i ； j； w i ； j； v i ；j þ 1； w i ； j þ 1； ^ v i ； j； ^ w i ； j； ^ v i þ 1； j； ^ w iþ 1； j 满足以下条件，则函数（2）保持单调数据的形状0v i ； j ¼ w i ； j  > Max 0D i ； j0� �；0^ v i ； j ¼ ^ w i ； j  > Max 0； F y i ； j þ F y i ；j þ 1 b D i ； j0v i ； j þ 1 ¼ w i ； j þ 1  > Max 0þ 1 D i ； j þ 10� �；0^ v i þ 1； j ¼ ^ w i þ 1； j  > Max 0； F y i þ 1； j þ F y i þ 1；j þ 1 b D i þ 1； j0证明。让 fð x i ； y j ； F i ； j Þ ： i ¼ 0； 1； 2； ...； m； j ¼0； 1； 2； ...； n g 为单调正则数据。数据排列在矩形区域 I ¼ ½x i ； x i þ 1 � � ½ y j ； y j þ 1 �； i ¼ 0； 1； 2； ...； m � 1； j ¼0； 1； 2； ...； n � 1。由于数据是单调的，因此 F x i ； j > 0； Fy i ； j > 0； D i ； j > 0 和 b D i ； j >0（数据单调性的必要条件）。0有理函数（2）的单调性取决于边界曲线（（3）-（6））的单调性。如果 S ð 1 Þ ð x l ； y Þ  > 0 和 S ð 1 Þ ð x ； y k Þ  > 0； l ¼i ； i þ 1 和 k ¼ j ； j þ 1，则边界曲线是单调的。S ð 1 Þ ð x l ；y Þ  > 0 和 S ð 1 Þ ð x ； y k Þ  > 0 的完整表达式如下：0S ð 1 Þ ð x ；y j Þ ¼0X 50i ¼ 0 ð 1  �  a Þ 5 � i a i s 4；i0ð v 1 ð a ÞÞ 2； ð 7 Þ0with0s 4； 0 ¼ F x i ； j； s 4； 1 ¼ 2 ð w i ； jD i ； j � F x i þ 1 ； j Þ þ F x i ； j；0s 4； 2 ¼ D i ； j þ 2 ð w i ； j D i ； j � F x i þ 1 ； j Þ þ ð v i； j w i ； j D i ； j � w i ； j F x i ； j � v i ； j F x i þ 1 ； j Þ；0s 4； 3 ¼ 3 D i ； j þ 2 ð w i ； j D i ； j � F x i ； j Þ þ ð v i ；j w i ； j D i ； j � w i ； j F x i ； j � v i ； j F x i þ 1 ； j Þ；0s 4； 4 ¼ 2 ð v i ； j D i ； j � F x i ； j Þ þ F0S ð 1 Þ ð x ； y j þ 1 Þ 可通过在（7）中将 j 替换为 j + 1 来计算。边界曲线 S ð x ； y j Þ是单调的，如果 P 5 i ¼ 0 ð 1  �  a Þ 5 � i0a i s 4； i  > 0，这仅在 s 4； i ’ s 为正时才成立。如果参数 v i ；j 和 w i ； j 满足以下限制条件，则 s 4，i ’ s，i =0，1，2，3，4，5 为正0v i ； j ¼ w i ； j  > Max 0D i ； j0� �0同样，边界曲线 S 的，如果0v i ； j þ 1 ¼ w i ； j þ 1  > Max 0þ 1 D i ； j þ 10� �：0边界曲线 S ð x l ； y Þ 的单调性计算； l ¼ i ； i þ 1 是0S ð 1 Þ ð x i； y Þ ¼0X 50i ¼ 0 ð 1  �  b Þ 5 � i b i s 5； i0ð v 3 ð b ÞÞ 2； ð 8 Þ0with0s 5 ; 0 ； F y i ； j ； s 5 ; 1 ¼ 2 ð ^ w i； j b D i ； j � F y i ； j þ 1 Þ þ F y i ； j0s 5； 2 ¼ b D i ； j þ 2 ð ^ w i ； j b D i ； j � F y i ； j þ 1 Þ þð ^ v i ； j ^ w i ； j b D i ； j � ^ w i ； j F y i ； j � ^ v i ； j F y0s 5 ; 3 ； 3 ¼ 3 b D i ； j þ 2 ð ^ w i ； j b D i ； j � F y i ； j Þþ ð þ ð ^ v i ； j ^ w i ； j b D i ； j � ^ w i ； j F y i ； j � ^ v i0s5;4 = 2(^vi;jbDi;j - Fyi;j) + Fyi;j+1; s5;5 =0同样，对于S（1）（xi+1，y）的表达式，在（8）中用i+1替换i。0形状保持有理双三次函数149):):0如果参数^vi;j和^wi;j满足以下限制条件，则S(xi, y)是单调的：s5,i的值为正。s5,i的值为正，i=0,1,2,3,4,5，当且仅当参数^vi;j和^wi;j满足以下限制条件时。0^vi;j = ^wi;j > Max 0;Fyi;j + Fyi;j+1bDi;j0同样，如果S(xi, y)单调，那么边界曲线S(xi+1, y)也是单调的，如果0^vi+1;j = ^wi+1;j > Max 0;Fyi+1;j + Fyi+1;j+1bDi+1;j0算法1。这是应用定理3的算法。0步骤1：计算（m+1）×（n+1）个单调数据点f（xi,yj,Fi,j）：i=0,1,2,...,m;j=0,1,2,...,n。步骤2：使用第3.1节近似计算结节处的导数Fxi,j和Fyi,j。步骤3：使用定理3确定自由参数vi,j,wi,j,vi,j+1,wi,j+1,^vi,j,^wi,j,^vi+1,j,^wi+1,j的值。步骤4：在有理双三次函数（2）中插入Fi,j,Fxi,j,Fyi,j的值，i=0,1,2,...,m-1;j=0,1,2,...,n-1和vi,j,w i,j,vi,j+1,w i,j+1,^vi,j,^wi,j,^vi+1,j,^wi+1,j的值。04.1.1.演示0本节考虑了两组单调数据集。这些数据集分别通过第4.1节中开发的双三次Hermite（图1-3和7-9）和保持单调性的方案（图4-6和10-12）进行插值。观察到，尽管双三次Hermite是C1的，但无法保持数据的单调形状，而第4.1节中的保持单调性方案可以保持数据的形状。0例1。图1中的曲面表示表1中考虑的单调数据的双三次Hermite插值。0这个图的xz视图和yz视图分别在图2和图3中提供。从图3清楚地看出，双三次Hermite在y∈[100,200]时失去了数据的单调形状。同一数据集在图4中通过第4.1节中开发的C1单调有理双三次函数进行插值。图4-6表明，保持单调性的方案（在第4.1节中开发）效果很好。0例2。表2是一个3D数据集，整个定义域上单调。0表2中的单调数据集通过双三次Hermite进行插值，失去了数据的单调形状。在图8和9中更加清晰地展示了这一点，它们提供了xz和yz的视图0图1双三次Hermite插值。0图2是图1的xz视图。0图3是图1的yz视图。0150 M.Z. Hussain等人);););):10.13540.17440.36325.381410013.540017.437036.3230538.140020027.080034.873072.64501076.300030040.620052.3100108.97001614.40000.10.05700.05720.05790.05930.30.07950.08010.08290.08690.70.69320.14510.16010.17151.30.138213.816015.895017.11110同一图。图10是通过C1对同一数据进行的插值0单调有理双三次函数。从图10可以理解，在第4.1节中开发的C1单调有理双三次函数保持了数据的单调形状。04.2. 凸性有理双三次函数0定理4。如果在每个矩形区域I=[xi,xi+1]∙[yj,yj+1]中参数vi,j,wi,j,vi,j+1,wi,j+1,^vi,j,^wi,j,^vi+1,j,^wi+1,j满足以下条件，则式（2）中定义的双三次函数保持凸性0vi；j=w i；j>Max0；Fx i+1；j-Fx i；jDi；j-Fx i；j；Fx i+1；j-Fx i；jFxi+1；j-Di；j0^vi；j=^w i；j>Max0；Fy i；j+1-Fy i；jbDi；j-Fy i；j；Fy i；j+1-Fyi；jFy i；j+1-bDi；j0vi；j+1=w i；j+1>Max0；Fx i+1；j+1-Fx i；j+1Di；j+1-Fx i；j+1；Fx i+1；j+1-Fxi；j+1Fx i+1；j+1-Di；j+10^vi+1；j=^w i+1；j>Max0；Fy i+1；j+1-Fy i+1；jbDi+1；j-Fy i+1；j；Fy i+1；j+1-Fyi+1；jFy i+1；j+1-bDi+1；j0证明。设{(xi，yj，Fi，j)：i=0,1,2，...，m；j=0,1,2，...，n}是排列在矩形网格上并满足凸性的给定数据，满足凸性的必要条件如下0Di；j6Di+1；j；bDi；j6bDi；j+1；Fx i；j6Fx i+1；j；Fy i；j6Fy i；j+1；Fx i；j06 Di；j6Fx i+1；j；Fy i；j6bDi；j6Fy i；j+1；（9）0图4 C1单调有理双三次函数。0图5 Fig.4的xz视图。0图6 Fig.4的yz视图。0表1 3D单调数据集。0y/x 1 100 200 3000表2 3D单调数据集。0y/x 0.1 0.3 0.7 1.30形状保持有理双三次函数1510在每个矩形区域I=[xi，xi+1]∙[yj，yj+1]上，有理函数（2）插值凸数据作为凸边界曲面（（3）-（6））的凸边界曲线是通过以下方式计算参数（vi；j；wi；j；vi；j+1；wi；j+1；^vi；j；^wi；j；^vi+1；j；^wi；j+1）的约束条件得到的。0如果S（x l，y）>0且S（x，yk）>0，则边界曲线S（xl，y）和S（x，yk），l=i，i+1；k=j，j+1是凸的。0S（2）（x；yj）=0P7i=0（1-a）7-iai s6；idi（v1（a））3；（10）0其中0s6；0=s4；1-（2vi；j-1）s4；0；0s6；1=2s4；2-（vi；j-2）s4；1-（vi；j+4wi；j）s4；0；0s6；2=3（s4；3+s4；2）-3wi；js4；1-3（wi；j+2）s4；0；0s6；3=4s4；4+4（vi；j+1）s4；3+（vi；j-2wi；j）s4；2-（2wi；j+5）s4；10-5s4；0；0s6；4=5s4；5+（2vi；j+5）s4；4+（2vi；j-wi；j）s4；3-（wi；j-4）s4；2-4s4；1；0s6；5=3（vi；j+2）s4；5+3vi；js4；4-3（s4；3+s4；2）；0图7双三次Hermite插值。0图8 Fig.7的xz视图。0图9 Fig.7的yz视图。0图10 C1单调有理双三次函数。0152 M.Z. Hussain等。):):):):0s6；6=（4vi；j+wi；j）s4；5+（wi；j-2）s4；4-2s4；3；0s6；7=（2wi；j-1）s4；5-s40替换（10）中的j为j+1，可以得到S（2）（x，yj+1）。如果P7i=0（1-h）7-ihis6；i>0，则边界曲线S（x，yj）是凸的。如果s6，i>0，i=0,1,2，...，7，则P7i=0（1-h）7-ihi s6；i>0。0如果s6，i>0，i=0,1,2，...，7，则0vi；j = wi；j > Max 0；Fxi+1；j − Fxi；jDi；j − Fxi；j；Fxi+1；j −Fxi；jFxi+1；j − Di；j0同样，可以确定边界曲线S（x，yj+1）在参数vi，j+1和wi，j+1满足以下约束条件时是凸的0vi；j+1 = wi；j+1 > Max 0；Fxi+1；j+1 − Fxi；j+1Di；j+1 − Fxi；j+1；Fxi+1；j+1 −Fxi；j+1Fxi+1；j+1 − Di；j+10同样，对于另外两条垂直边界曲线的凸性，我们有0S（2）（xi，y） =0P7i=0（1 − b）7 −ibis7；i^di（v3（b））3；（11）0with0s7；0 = s5；1 − （2^vi；j −1）s5；0；0s7；1 = 2s5；2 − （^vi；j − 2）s5；1 − （^vi；j+ 4^wi；j）s5；0；0s7；2 = 3（s5；3 + s5；2） − 3^wi；js5；1 −3（^wi；j + 2）s5；0；0s7；3 = 4s5；4 + 4（^vi；j + 1）s5；3 + （^vi；j − 2^wi；j）s5；2 − （2^wi；j + 5）s5；10−5s5；0；0s7；4 = 5s5；5 + （2^vi；j + 5）s5；4 + （2^vi；j − ^wi；j）s5；3 − （^wi；j − 4）s5；20−4s5；1；0s7；5 = 3（^vi；j + 2）s5；5 + 3^vi；js5；4 −3（s5；3 + s5；2）；0s7；6 = （4^vi；j + ^wi；j）s5；5 + （^wi；j −2）s5；4 − 2s5；3；0s7；7 = （2^wi；j −0边界曲线S（xi，y）是凸的，如果s7，i > 0，i =0，1，2，...，7。如果s7，i > 0，i = 0，1，2，...，7，那么0^vi；j = ^wi；j > Max 0；Fyi；j+1 − Fyi；jbDi；j − Fyi；j；Fyi；j+1 −Fyi；jFyi；j+1 − bDi；j0边界曲线S（xi+1，y）是凸的，如果0^vi+1；j = ^wi+1；j > Max 0；Fyi+1；j+1 − Fyi+1；j bDi+1；j − Fyi+1；j；Fyi+1；j+1 −Fyi+1；jFyi+1；j+1 − bDi+1；j0以上讨论可以总结为：0算法2。这是应用定理4的算法。0步骤1。计算（m+1）×（n+1）个凸数据点f（xi，yj；Fi；j）：i = 0；1；2；...；m；j =0；1；2；...；ng。步骤2。使用第3.1节近似计算结节处的导数Fxi；j和Fyi；j。0图12 图11的xz视图。0表3 一个3D凸数据集。0y / x −3 −1 0 1 30−390 82 81 82 90 −110 2 1 2 10 09 10 21 2 103 90 82 81 82 900图11 双三次Hermite插值。0形状保持有理双三次函数153´14.19.423.661.8163.9438.229.416.936.887.5218.1558.1323.636.869.6148.4340.7819.1461.887.5148.4286.2603.71354.45163.9218.1340.7603.71177.42465.76438.2558.1819.11354.42465.74843.00步骤3。通过使用定理4确定参数vi；j；wi；j；vi；j+1；wi；j+1；^vi；j；^wi；j；^vi；j+1；^wi；j+1的值。步骤4。在有理双三次函数（2）中插入Fi；j；Fxi；jFyi；j；i =0；1；2；...；m；j =0；1；2；...；nvi；j；wi；j；vi；j+1；wi；j+1；^vi；j；^wi；j；^vi+1；j；^wi+1；j的值。04.2.1.演示0示例3。表3中的凸数据是从凸函数F（x，y）= x4 +y2计算得出的。定义域限制在[−3，3]∙[−3，3]。0表3中的凸数据通过双三次Hermite插值得出（图11和图12）。从这些图中可以清楚地看出，双三次Hermite在x∈[−1，1]时失去了凸性。因此，双三次Hermite无法保持数据的凸形状。图13中的凸曲面是通过使用第4.2节的凸插值方案对相同数据进行插值得出的。0例4. 表4中的凸数据是凸函数F（x；y）=e���������px2+y2：定义域限制在[1,6]∙[1,6]。0图14中的凸面是表4的凸数据的插值。插值是通过第4.2节的保凸方案执行的。05. 结论0本文涉及保持曲面数据形状的问题。有理双三次函数[6]可以有效地插值矩形网格上的数据。对自由参数进行约束可以保证数据和导数的单调性和凸性。本文中开发的形状保持插值方案对具有导数的数据效果很好；保持平滑且是局部的。对于具有导数的数据，保持凸[5]和单调[2-4]数据的插值方案是无效的。单调数据插值方案[8]确实可以进行导数规定，但无法保持曲面的平滑性。此外，[1,4]中开发的凸数据插值方案是全局的。0参考文献0[1] Asaturyan, S., 1990.保持形状的曲面插值方案，博士论文，苏格兰（英国）：邓迪大学数学与计算机科学系；1990年。 [2] Beatson RK, Ziegler Z.保持单调性的曲面插值。SIAM J Numer Anal 1985;22(2):401–11. [3]Carlson RE, Fritsch FN. 单调分段双三次插值。SIAM J Numer Anal1985;22(2):386–400. [4] Costantini P, Fontanella F.保持形状的双变量插值。SIAM J Numer Anal 1990;27(2):488–506. [5]Floater MS. Be´zier和B样条曲面凸性的弱条件。Adv Comput Math1994;2(1):67–80. [6] Hussain MZ, Sarfraz M, Misbah Irshad, MadehaAmjad.保持3D正数据的有理双三次函数。第8届国际会议，新加坡计算机图形学、成像和可视化，2011年8月16-19日。第47-52页。 [7] Hussain MZ, SarfrazM, Shaikh TS.保持正和凸数据的形状保持有理三次样条。埃及信息学杂志2011;12(3):231–6. [8] Sarfraz M, Butt S, Hussain MZ.用于保持单调性的科学数据可视化的曲面。在：Goodman TNT，MartinR，编辑。IMA数学曲面VII会议论文集，1997年9月2-5日，英国邓迪；1997年。第479-95页。 [9] Sarfraz M, Hussain MZ.使用有理样条插值的数据可视化。J Comput Appl Math 2006;189:513–25。0图14 C 1 凸有理双三次函数。0图13 C 1 凸有理双三次函数。0表4 3D凸数据集。0y / x 1 2 3 4 5 60154 M.Z. Hussain等人。